सबसे छोटी पथ समस्या के "रिश्तेदार"

Question

गैर-नकारात्मक बढ़त भार के साथ एक जुड़े अप्रत्यक्ष ग्राफ पर विचार करें, और दो प्रतिष्ठित कोने $s,t$ । नीचे कुछ पथ समस्याएं दी गई हैं, जो निम्न प्रकार से हैं: एक $s-t$ पथ ढूंढें , जैसे कि पथ पर किनारे भार का कुछ कार्य न्यूनतम है। इस अर्थ में वे सभी सबसे छोटे पथ समस्या के "रिश्तेदार" हैं; उत्तरार्द्ध में फ़ंक्शन केवल योग है।

ध्यान दें: हम सरल रास्तों की तलाश कर रहे हैं, जो कि बिना किसी दोहराए कंधे के बिना हैं। चूँकि मुझे साहित्य में इन समस्याओं के लिए मानक नाम नहीं मिले, इसलिए मैंने इनका नाम खुद रखा।

न्यूनतम वज़न के अंतर वाला पथ: एक $s-t$ पथ ढूंढें , जैसे कि पथ पर सबसे बड़े और सबसे छोटे किनारे के बीच का अंतर न्यूनतम हो।

सबसे चिकनी पथ: एक $s-t$ पथ ढूंढें , जैसे कि पथ पर सबसे बड़ा चरण आकार न्यूनतम है, जहाँ एक चरण आकार दो लगातार किनारों के बीच भार अंतर का निरपेक्ष मान है ।

न्यूनतम ऊँचाई वाले पथ: आइए हम पथ के साथ चरण आकार के योग से पथ की ऊँचाई को परिभाषित करें (ऊपर चरण आकार की परिभाषा देखें)। न्यूनतम ऊंचाई के साथ एक $s-t$ रास्ता खोजें ।

न्यूनतम प्राइम वेट के साथ पथ: यह मानते हुए कि सभी एज वज़न सकारात्मक पूर्णांक हैं, एक $s-t$ पथ ढूंढें , जैसे कि इसका वेट एक अभाज्य संख्या है। यदि ऐसा कोई रास्ता है, तो सबसे छोटे संभव मुख्य वजन के साथ एक को ढूंढें।

प्रश्न: इन पथ समस्याओं के बारे में क्या ज्ञात है? (और अन्य जो एक समान भावना से कल्पना की जा सकती है, वज़न के एक अलग कार्य को लागू कर सकते हैं।) सामान्य तौर पर, क्या कोई मार्गदर्शन है कि किन वजन के कार्यों को बहुपद समय में कम से कम किया जा सकता है, और जो एनपी-हार्ड हैं?

$s$$t$$s-t$

Answer 1

यहाँ पहली समस्या का जवाब है:

न्यूनतम वज़न के अंतर वाला पथ: एक s - t पथ ढूंढें $s-t$

1984 के एक पेपर से पता चलता है कि जब भी हम बहुपद समय में कुछ दहनशील अनुकूलन समस्या के लिए व्यवहार्यता (अनजाने मामले में एक समाधान मौजूद है) का फैसला कर सकते हैं, तो हम बहुपद समय में एक समाधान भी पा सकते हैं जो सबसे बड़े और सबसे छोटे के बीच अंतर को कम करता है। लागत गुणांक (भारित मामले में):

एस। मार्टेलो, डब्ल्यूआर पुललेब्लांक, पी। टॉथ, डी। डी। वेरा
बैलेंस्ड ऑप्टिमाइज़ेशन
प्रॉब्लम्स ऑपरेशंस रिसर्च लेटर्स 3, 1984, पृष्ठ 275-278

यह आपके प्रश्न के लिए एक बहुपद समय एल्गोरिथ्म का अर्थ है।

Comments

यह किनारों के सभी जोड़े पर एक क्रूर बल खोज द्वारा भी किया जा सकता है जो अधिकतम और न्यूनतम, और उनके क्रम / झुकाव का गठन कर सकता है।

— योनातन एन

Answer 2

$\tilde{O}(|E|^2)$$|E|$$|E|$

$\tilde{O}(|E|)$$|E|^2$$k$$k-1$

$S$$Θ(n/\log n)$$\mathrm{P}^S$बाइनरी वेट के लिए भी: यह प्रत्येक बिंदु पर बहुपद ( पर निर्भर ) सबसे कम पथ वज़न पर नज़र रखने के लिए पर्याप्त है । हालाँकि, प्राइम वेट के साथ, हमें वज़न के अंतर के विभाजक को अलग करना पड़ सकता है (केवल सबसे कम वज़न पर नज़र रखने के बजाय), और यह स्पष्ट नहीं है कि यह पर्याप्त है या नहीं।$S$

सबसे चिकनी पथ: एनपी पूरा। यदि हमने स्वयं-चौराहों की अनुमति दी है, तो यह समय में सॉल्व होगा , लेकिन स्व-चौराहों के बिना संस्करण के लिए, यहां चरों के साथ 3-SAT से कमी है । लो कोने और प्रत्येक खंड के लिए एक शीर्ष। प्रत्येक चर के लिए ( ), से एक चिकनी पथ (अतिरिक्त कोने यदि आवश्यक हो तो उपयोग करते हुए) को जोड़ने के को इस बात का सकारात्मक घटना के साथ सभी खंड से होकर गुजरता है , और साथ खंड के लिए वही रास्ता$\tilde{O}(|E|)$$n$$s=v_0,v_1,...,t=v_n$$x_i$$i<n$$v_i$$v_{i+1}$$x_i$$¬x_i$। प्रत्येक पथ के पहले और अंतिम किनारे के वजन को 1 (या किसी अन्य स्थिर) पर सेट करें, लेकिन अन्यथा ऐसे वज़न चुनें कि कोई अन्य मार्ग चिकना न हो। अंत में, सभी क्लॉज़ वर्टिकल और आस-पास के किनारों को डुप्लिकेट करें; इस तरह से प्रत्येक क्लॉज का अधिकतम दो बार दौरा किया जा सकता है, जो 3-सैट के लिए पर्याप्त है।

Comments

मुझे लगता है, निम्नलिखित परिवर्तन के कारण, स्मूथेस्ट मार्ग पी में है। मान लें कि डिग्री का शीर्ष है । को एक आकार के साथ बदलें , जैसे कि प्रत्येक किनारे जो कि मूल रूप से समीप था अब के एक अलग शीर्ष पर समाप्त होता है । यदि दो ऐसे मूल किनारों हैं, तो वजन निर्दिष्ट करेंसमूह में किनारे के लिए। यह परिवर्तन प्रत्येक शीर्ष , और मूल ग्राफ़ किनारों पर 0 भार असाइन करें। फिर एक न्यूनतम वजन$v$$d$$v$$d$$e$$v$$v_e$$e,f$$|w(e)-w(f)|$$(v_e,v_f)$$v\neq s,t$$s-t$नए ग्राफ में पथ परिवर्तन को पूर्ववत करने के बाद, मूल में सबसे आसान रास्ता देता है।

— एंड्रास फरगाओ

@AndrasFarago आपके तर्क के साथ समस्या यह है कि विस्तारित ग्राफ में कुछ सरल रास्तों ने मूल ग्राफ़ में दोहराव को दोहराया है। मुझे यह पसंद है कि सबसे चिकनी पथ समस्या भ्रामक सरल दिखती है।

— Dmytro Taranovsky

@ Dmytro Taranovsky ऐसा लगता है, आप सही हैं, यह वास्तव में हो सकता है कि मूल ग्राफ़ पर लौटने के बाद हम पथ पर दोहराए गए कोने (लेकिन कोई दोहराया किनारों) नहीं पा सकते हैं। हालांकि, यदि मूल ग्राफ में प्रत्येक डिग्री अधिकतम 3 पर है, तो कोई पुनरावृत्ति नहीं हो सकती है। इसका मतलब है, स्मूथेस्ट पाथ की समस्या P में कम से कम अधिकतम डिग्री साथ रेखांकन के लिए है । $\leq 3$

— एंड्रास फरगाओ

क्षमा करें, रूपांतरित ग्राफ़ में हमें सबसे छोटे कुल वजन के बजाय सबसे छोटे अधिकतम वजन (जो कि P में भी है) के साथ एक रास्ता खोजने की आवश्यकता है। कुल वजन न्यूनतम ऊंचाई के साथ एक पथ की ओर ले जाएगा (अधिकतम डिग्री साथ रेखांकन में , ताकि बार-बार लंबवत को बाहर रखा जाए)। $\leq 3$

— एंड्रास फरगाओ