क्वांट्टी के आदेश को उलटने के लिए तकनीक। Ers

Question

यह सर्वविदित है कि सामान्य रूप से, सार्वभौमिक और अस्तित्वगत मात्रात्मक के क्रम को उलट नहीं किया जा सकता है। दूसरे शब्दों में, एक सामान्य तार्किक सूत्र ,$\phi(\cdot,\cdot)$

$(\forall x)(\exists y) \phi(x,y) \quad \not\Leftrightarrow \quad (\exists y)(\forall x) \phi(x,y)$

दूसरी ओर, हम जानते हैं कि दाएँ-बाएँ पक्ष बाएँ-हाथ की तुलना में अधिक प्रतिबंधात्मक है; वह है, $(\exists y)(\forall x) \phi(x,y) \Rightarrow (\forall x)(\exists y) \phi(x,y)$ ।

यह प्रश्न (\ forall x) (\ अस्तित्व y) \ phi (x, y) \ Rightarrow (\ मौजूद y) (\ forall x) \ phi (x, y) के लिए तकनीकों पर केंद्रित है $(\forall x)(\exists y) \phi(x,y) \Rightarrow (\exists y)(\forall x) \phi(x,y)$, जब भी यह आपके phi के लिए रखती है ((cdot, \ cdot)$\phi(\cdot,\cdot)$ ।

विकर्णीकरण एक ऐसी तकनीक है। मैं पहली बार द मैथमेटलाइज़ेशन ऑफ़ द डायग्नोलाइज़ेशन ऑफ़$\mathcal{P} \overset{?}{=} \mathcal{NP}$ द पेपर रिलेटिविटिशन्स ऑफ़ द मैथॉल {P} \ ओवरसेट {?} {=} \ Mathcal {NP} क्वेश्चन ( कटज़ द्वारा शॉर्ट नोट भी देखें ) देखें। उस पत्र में, लेखक पहले यह साबित करते हैं:

किसी भी नियतात्मक, बहुपद-काल-निर्धारण मशीन M के लिए, एक भाषा B मौजूद है जैसे $L_B \ne L(M^B)$ ।

फिर वे साबित करने के लिए क्वांटिफायर ( विकर्ण का उपयोग करके ) के क्रम को उल्टा कर देते हैं:

एक भाषा B मौजूद है जैसे कि सभी नियतात्मक, बहु-समय M के लिए हमारे पास ।$L_B \ne L(M^B)$

इस तकनीक का उपयोग अन्य पत्रों में किया जाता है, जैसे कि [CGH] और [AH] ।

मुझे [IR] के प्रमेय 6.3 के प्रमाण में एक और तकनीक मिली । यह क्वांटिफायर के क्रम को उलटने के लिए माप सिद्धांत और कबूतर-छेद सिद्धांत के संयोजन का उपयोग करता है ।

मैं यह जानना चाहता हूं कि सार्वभौमिक और अस्तित्व संबंधी क्वांटिफायर के क्रम को उलटने के लिए कंप्यूटर विज्ञान में अन्य तकनीकों का क्या उपयोग किया जाता है?

Comments

वाह, यह एक महान सवाल है। बस इसे पढ़ने से मुझे "परिचित" वस्तुओं को अलग तरह से देखना पड़ता है। धन्यवाद!

— मार्क रीटब्लाट

Answer 1

क्वांटिफायर का उत्क्रमण एक महत्वपूर्ण संपत्ति है जो अक्सर प्रसिद्ध प्रमेयों के पीछे है।

उदाहरण के लिए, विश्लेषण में बीच अंतर और पॉइंट और यूनिफॉर्म निरंतरता के बीच का अंतर है । एक प्रसिद्ध प्रमेय का कहना है कि हर बिंदुवार निरंतर मानचित्र समान रूप से निरंतर है, बशर्ते डोमेन अच्छा हो, यानी कॉम्पैक्ट ।$\forall \epsilon > 0 . \forall x . \exists \delta > 0$$\forall \epsilon > 0 . \exists \delta > 0 . \forall x$

वास्तव में, कॉम्पैक्टीनेस क्वांटिफायर रिवर्सल के दिल में है। दो डेटापेट्स और पर विचार करें , जिनमें से अधिक है और कॉम्पैक्ट है (इन शर्तों के स्पष्टीकरण के लिए नीचे देखें), और let और बीच एक महत्वपूर्ण संबंध है । कथन इस प्रकार के रूप में पढ़ा जा सकता है: हर बिंदु में कुछ लोगों द्वारा कवर किया जाता है । चूँकि सेट "कम्प्यूटली ओपन" (अर्धवार्षिक) और$X$$Y$$X$$Y$$\phi(x,y)$$X$$Y$$\forall y : Y . \exists x : X . \phi(x,y)$$y$$Y$$U_x = \lbrace z : Y \mid \phi(x,z) \rbrace$$U_x$$Y$वहाँ एक परिमित उपकेंद्र मौजूद है। हमने साबित कर दिया है कि तात्पर्य अक्सर हम परिमित सूची के अस्तित्व को एक कम कर सकते हैं । उदाहरण के लिए, यदि को रैखिक रूप से आदेश दिया गया है और आदेश के संबंध में में मोनोटोन है तो हम को में से सबसे बड़ा एक मान सकते हैं ।

$$\forall y : Y . \exists x : X . \phi(x,y)$$ $$\exists x_1, \ldots, x_n : X . \forall y : Y . \phi(x_1,y) \lor \cdots \lor \phi(x_n, y).$$ $x_1, \ldots, x_n$$x$$X$$\phi$$x$$x$$x_1, \ldots, x_n$

यह देखने के लिए कि इस सिद्धांत को एक परिचित मामले में कैसे लागू किया जाता है, आइए हम इस कथन को देखें कि एक सतत कार्य है। हम एक बाहरी सार्वभौमिक क्वांटिफायर के बारे में भ्रमित नहीं होने के लिए एक नि: शुल्क चर के रूप में : क्योंकि कॉम्पैक्ट है और वास्तविक की तुलना बहुत ही महत्वपूर्ण है, स्टेटमेंट semidecidable है। धनात्मक धरातल से आगे निकल जाते हैं और कॉम्पैक्ट होते हैं, इसलिए हम सिद्धांत को लागू कर सकते हैं: $f : [0,1] \to \mathbb{R}$$\epsilon > 0$

$$\forall x \in [0,1] . \exists \delta > 0 . \forall y \in [x - \delta, x + \delta] . |f(y) - f(x)| < \epsilon.$$ $[x - \delta, x + \delta]$$\phi(x, \delta) \equiv \forall y \in [x - \delta, x + \delta] . |f(y) - f(x)| < \epsilon$$[0,1]$ $$\exists \delta_1, \delta_2, \ldots, \delta_n > 0 . \forall x \in [0,1] . \phi(\delta_1, x) \lor \cdots \phi(\delta_n, x).$$ चूँकि में antimonotone है, इसलिए सबसे छोटा पहले से ही काम करता है, इसलिए हमें बस एक : हमें जो मिला है, वह है की एकरूपता ।$\phi(\delta, x)$$\delta$$\delta_1, \ldots, \delta_n$$\delta$ $$\exists \delta > 0 . \forall x \in [0,1] . \forall y \in [x - \delta, x + \delta] . |f(y) - f(x)| < \epsilon.$$ $f$

अस्पष्ट रूप से कहा जाए, तो एक डेटाटाइप कॉम्पैक्ट होता है, यदि इसमें एक कम्प्यूटेशनल यूनिवर्सल क्वांटिफायर होता है और अगर यह एक कंप्युटेबल प्रेजेंटेबल क्वांटिफायर होता है, तो इससे आगे निकल जाता है। (गैर-ऋणात्मक) पूर्णांक से अधिक हो जाते हैं, क्योंकि semidecide के लिए , semidecidable, हम dovetailing द्वारा पैरेलल खोज करते हैं । कैंटर स्पेस कॉम्पैक्ट और ओवरट है, जैसा कि पॉल टेलर के एब्सट्रैक्ट स्टोन ड्युएलिटी और मार्टिन एस्कोर्डो के "डायटेटिप्स एंड क्लासिकल स्पेसेस का सिंथेटिक टोपोलॉजी " (यह भी खोजा जा सकने वाले रिक्त स्थान का संबंधित सिद्धांत देखें ) द्वारा समझाया गया है ।$\mathbb{N}$$\exists n \in \mathbb{N} . \phi(n)$$\phi(n)$$2^\mathbb{N}$

आइए हम आपके द्वारा बताए गए उदाहरण पर सिद्धांत लागू करें। हम बूलियन मानों के लिए एक निश्चित वर्णमाला के ऊपर (परिमित) शब्दों से एक भाषा के रूप में एक भाषा देखते हैं। चूँकि परिमित शब्दों में पूर्णांक के साथ संगणनात्मक द्वंद्वात्मक पत्राचार होता है, इसलिए हम पूर्णांक से बूलियर मान तक एक भाषा को मानचित्र के रूप में देख सकते हैं। यही है, सभी भाषाओं का डेटाटाइप कम्प्यूटेशनल आइसोमोर्फिज्म तक है, ठीक कैंटर स्पेस nat -> boolमें या गणितीय संकेतन , जो कॉम्पैक्ट है। एक बहुपद-काल ट्यूरिंग मशीन को उसके प्रोग्राम द्वारा वर्णित किया गया है, जो एक परिमित तार है, इस प्रकार ट्यूरिंग मशीनों के सभी (प्रतिनिधित्व) का स्थान या लिया जा सकता है , जो कि खत्म हो गया है।$2^\mathbb{N}$nat$\mathbb{N}$

एक ट्यूरिंग मशीन को देखते हुए और एक भाषा , बयान कहते हैं जो "भाषा द्वारा अस्वीकार कर दिया गया है " semidecidable है, क्योंकि यह तथ्य डिसाइडेबल में है: बस चलाने इनपुट के साथ और देखो क्या ऐसा होता है। हमारे सिद्धांत के लिए शर्तें संतुष्ट हैं! कथन "हर ऑरेकल मशीन में एक भाषा जैसे कि को द्वारा स्वीकार नहीं किया जाता है " प्रतीकात्मक रूप से रूप में लिखा जाता है क्वांटिफायर के व्युत्क्रम के बाद हमें मिलता है $M$$c$$\mathsf{rejects}(M,c)$$c$$M$$M$$c$$M$$b$$b$$M^b$

$$\forall M : \mathbb{N} . \exists b : 2^\mathbb{N} . \mathsf{rejects}(M^b,b).$$ $$\exists b_1, \ldots, b_n : 2^\mathbb{N} . \forall M : \mathbb{N} . \mathsf{rejects}(M^{b_1}, b_1) \lor \cdots \lor \mathsf{rejects}(M^{b_n},b_n).$$ ठीक है, इसलिए हम कई भाषाओं के लिए नीचे हैं। क्या हम उन्हें एक में मिला सकते हैं? मैं इसे एक अभ्यास के रूप में (अपने और आपके लिए) छोड़ दूंगा।

तुम भी थोड़ा और अधिक सामान्य सवाल में रुचि हो सकती है कैसे करने के लिए बदलना है प्रपत्र कथन के बराबर , या इसके विपरीत। उदाहरण के लिए, ऐसा करने के कई तरीके हैं:$\forall x . \exists y . \phi(x,y)$$\exists u . \forall v . \psi(u,v)$

• स्कॉल्म सामान्य रूप ,
• हरब्रांड सामान्य रूप ,
• गोडेल की कार्यात्मक व्याख्या ।

Comments

यह एक बहुत ही सामान्य स्थिति है (एक स्थान को ओवरटेक करना चाहिए, दूसरा कॉम्पैक्ट, और रिलेशन खुला होना चाहिए), लेकिन यह भी एक तकनीक है: यदि आप उन टोपोलॉजी को पा सकते हैं जो परिस्थितियों को संतुष्ट करती हैं तो आप क्वांटिफायर को उल्टा कर सकते हैं।

— बाउर

@Andrej, आपका जवाब वास्तव में अच्छा और शैक्षिक है। मुझे कभी नहीं पता था कि कॉम्पैक्टनेस और रिवर्स क्वांटिफायर के बीच कोई संबंध है, जब तक कि यह पोस्ट दिखाई नहीं देता। मैं प्रबुद्ध महसूस करता हूं।

— हसीन-चिह चांग। '

क्या कमाल का जवाब है।

— सुरेश वेंकट

में खुश महसूस कर रहा हूँ। काश तर्क, संगणना और टोपोलॉजी के बीच अंतरंग संबंध के बारे में अधिक लोगों को पता होता।

— बाउर

@Andrej: क्या "तर्क, अभिकलन और टोपोलॉजी के बीच अंतरंग संबंध" पर एक अच्छा संदर्भ (विशेष रूप से एक किताब या एक व्याख्यान नोट) है?

— एमएस डौस्टी

Answer 2

इम्पेग्लियाज़ो की हार्ड-कोर सेट लेम्मा आपको कम्प्यूटेशनल-कठोरता मान्यताओं के संदर्भ में क्वांटिफायर को स्विच करने की अनुमति देती है। यहाँ मूल कागज है । आप Googling द्वारा संबंधित कागजात और पोस्ट के टन पा सकते हैं।

लेम्मा कहती है कि यदि प्रत्येक एल्गोरिदम ए के लिए इनपुट का एक बड़ा सेट मौजूद है जिस पर ए निश्चित फ़ंक्शन f की गणना करने में विफल रहता है, तो वास्तव में इनपुट का एक बड़ा सेट मौजूद है, जिस पर हर एल्गोरिथ्म संभावना 1 के करीब एफ की गणना करने में विफल रहता है। / 2।

इस लेम्मा को न्यूनतम-अधिकतम प्रमेय या बूस्टिंग (कम्प्यूटेशनल लर्निंग सिद्धांत से एक तकनीक) का उपयोग करके साबित किया जा सकता है, दोनों ही क्वांटिफायर स्विच करने के उदाहरण हैं।

Comments

यह एक उत्कृष्ट बिंदु है।

— सुरेश वेंकट

Answer 3

मेरे लिए, कार्प-लिप्टन प्रमेय के "विहित" प्रमाण (कि ) में यह स्वाद है। लेकिन यहाँ यह वास्तविक प्रमेय कथन नहीं है जिसमें क्वांटिफायर उलट जाते हैं, बल्कि "क्वांटिफायर" बारी-बारी से गणना के मॉडल के भीतर उलट जाते हैं, इस धारणा का उपयोग करते हुए कि में छोटे सर्किट हैं।$NP \subseteq P/poly \Longrightarrow \Pi_2 P = \Sigma_2 P$$NP$

आप प्रपत्र की गणना करना चाहते हैं

$(\forall y)(\exists z)R(x,y,z)$

जहां एक बहुपद-समय की भविष्यवाणी है। आप एक छोटे सर्किट लिए (कह) संतोषजनकता का अनुमान लगाकर ऐसा कर सकते हैं , को संशोधित ताकि वह स्वयं जांच करे और जब उसका इनपुट संतोषजनक हो तो एक संतोषजनक असाइनमेंट तैयार कर सके। फिर सभी , एक SAT उदाहरण बनाएं जो कि के बराबर है और इसे हल करें। तो आपने फॉर्म की एक बराबर गणना तैयार की है$R$$C$$C$$y$$S(x,y)$$(\exists z)R(x,y,z)$

$(\exists C)(\forall y)[S(x,y)$ अनुसार संतोषजनक ।$C]$

Comments

बकाया! यह धारणा-आधारित क्वांटिफायर स्विचिंग का एक उदाहरण है।

— एमएस डौस्टी

हालांकि इस पूरी तरह से सही है, मैं लिख सुझाव देने के लिए करना चाहता था के बजाय , के बाद से एनपी कभी नहीं बराबर पी / पाली कर सकते हैं। $NP \subset P/poly$$NP \subseteq P/poly$

— एमएस डौस्टी

Answer 4

प्रोबेबिलिस्टिक विधि में बंधे संघ के मूल उपयोग को क्वांटिफायर के क्रम को उलटने के तरीके के रूप में व्याख्या किया जा सकता है। हालांकि यह पहले से ही प्रश्न में स्पष्ट रूप से उल्लिखित है क्योंकि इम्पेग्लियाज़ो और रूडीच द्वारा प्रमाण इस का एक उदाहरण है, मुझे लगता है कि यह अधिक स्पष्ट रूप से बताते हुए लायक है।

मान लीजिए कि एक्स परिमित है और है कि हर के लिए एक्स ∈ एक्स , हम जानते हैं न केवल यह है कि कुछ y ∈ वाई संतुष्ट φ ( एक्स , वाई ), लेकिन यह भी की है कि कई विकल्प y ∈ वाई संतुष्ट φ ( एक्स , वाई )। औपचारिक रूप से, लगता है कि हम जानते हैं कि (∀ एक्स ∈ एक्स ) पीआर _{y ∈ वाई} [¬ φ ( एक्स , वाई )] <1 / | एक्स | Y पर कुछ संभाव्य माप के लिए। तब बाध्य संघ समाप्त करने के लिए पीआर की अनुमति देता है _{y ∈ वाई} [(∃ एक्स ∈ एक्स ) ¬ φ ( एक्स , वाई )] <1 है, जो (∃ के बराबर है y ∈ वाई ) (∀ एक्स ∈ एक्स ) φ ( एक्स , वाई )।

इस तर्क के रूपांतर हैं:

1. यदि एक्स अनंत है, हम कर सकते हैं कभी कभी discretize एक्स पर एक उपयुक्त मीट्रिक पर विचार करके एक्स और एक ε इसके बारे में -net। एक्स को डिस्क्राइब करने के बाद , हम ऊपर दिए गए संघ बंध का उपयोग कर सकते हैं।

2. घटनाओं जब φ ( एक्स , वाई ) के विभिन्न मूल्यों के लिए एक्स लगभग स्वतंत्र हैं, हम उपयोग कर सकते हैं Lovasz स्थानीय लेम्मा बाध्य संघ के बजाय।

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त्सुयोशी, यह बहुत ही विषय है, लेकिन यह खुद को एक मध्यस्थ के रूप में नामांकित करने का समय है :)

— सुरेश वेंकट

Answer 5

मैं कई अन्य तकनीकों को जोड़ना चाहूंगा। यद्यपि पहले दो तकनीक सार्वभौमिक और अस्तित्व के मात्रात्मक के क्रम को उलटने के लिए नहीं हैं, लेकिन उनके पास एक समान स्वाद है। इसलिए, मैंने उन्हें यहाँ वर्णन करने का अवसर दिया:

एवरेजिंग लेम्मा: और कई अन्य दिलचस्प प्रमेयों को साबित करने के लिए उपयोग किया जाता है । अनौपचारिक रूप से , मान लें कि कुछ लाइब्रेरी के लिए ग्राहकों के सेट को दर्शाता है , लाइब्रेरी में पुस्तकों के सेट को दर्शाता है, और और , प्रस्ताव सही है iff "ग्राहक किताब पसंद करती है । " औसत लेम्मा कहा गया है कि: हर के लिए करता है, तो , वहां मौजूद कम से कम 2/3 में की ऐसी है कि धारण, तो एक भी मौजूद है$BPP \subset P/poly$$S$$B$$s\in S$$b \in B$$\phi(s,b)$$s$$b$$s \in S$$b$$B$$\phi(s,b)$$b \in B$, इस तरह के कम से कम 2/3 के लिए कि 'में , प्रस्ताव आयोजित करता है। (यह reductio ad absurdum और एक गिनती तर्क के माध्यम से आसानी से सिद्ध किया जा सकता है।)$s$$S$$\phi(s,b)$

अब दें, और को PPT मशीन होने दें, जो तय करता है । मान लीजिए कि का चलने का समय एक बहुपद से घिरा है । फिर, के लिए किसी भी , और कम से कम 2/3 के लिए के, , यह उस । यहाँ, मशीन जो यादृच्छिकता का उपयोग करती है , और की विशेषता कार्य है । फिर औसत लेम्मा का उपयोग यह दिखाने के लिए किया जाता है कि किसी भी$L \in BPP$$M(\cdot)$$L$$M$$q(\cdot)$$x \in \{0,1\}^*$$r$$r \in \{0,1\}^{q(|x|)}$$M_r(x) = \chi_L(x)$$M_r(\cdot)$$M$$r$$\chi_L(\cdot)$$L$$n \in \mathbb{N}$, एक भी वहां मौजूद , ऐसा है कि कम से कम 2/3 के लिए 'की लंबाई के रों , । यह एकल लिए एक सलाह के रूप में काम करता है , और इसलिए ।$r \in \{0,1\}^{q(n)}$$x$$n$$M_r(x) = \chi_L(x)$$r$$M$$BPP \subset P/poly$

NOTE: I re-emphasize that this is not a quantifier switching technique, but it has the same spirit.

लेम्मा की अदला-बदली: Zachos और Fürer शुरू की एक नई संभाव्य परिमाणक (जो मोटे तौर पर अर्थ है "अधिकांश के लिए")। उन्होंने साबित कर दिया कि (विवरण को छोड़ना):$\exists^+$

$(\forall y)(\exists^+z) \phi(x,y,z) \Rightarrow (\exists^+ \mathbf{C})(\forall y)(\exists z \in \mathbf{C})\phi(x,y,z)$

ध्यान दें कि यह एक दूसरे क्रम का तर्क प्रमेय है।

स्वैपिंग लेम्मा का उपयोग करते हुए, उन्होंने कई दिलचस्प प्रमेयों को साबित किया, जैसे कि बीपीपी-प्रमेय और बाबई के प्रमेय। मैं आपको अधिक जानकारी के लिए मूल पेपर का संदर्भ देता हूं।$MA \subseteq AM$

एक प्रमेय कार्प-लिप्टन प्रमेय में उल्लेख किया है के लिए इसी तरह रयान विलियम्स पोस्ट: ।$coNP \subset NP/Poly \Longrightarrow \Pi_3 P = \Sigma_3 P$

Comments

नाइटपैकिंग: मैं यह नोट करना चाहूंगा कि बीपीपी requiresपी / पॉली के वास्तविक प्रमाण के लिए यहां लिखे जाने की तुलना में थोड़ी अधिक आवश्यकता है, क्योंकि एक सलाह स्ट्रिंग जो केवल 2/3 अंशों के लिए काम करती है, अपर्याप्त है। लेकिन मुझे लगता है कि इस उत्तर की पहली छमाही का महत्वपूर्ण बिंदु यह है कि BPP⊆P / पाली के प्रमाण को क्वांटिफायर रिवर्सल के समान कुछ के रूप में देखा जा सकता है, जो पूरी तरह से मान्य है।

— त्सुयोशी इतो

@ त्सुयोशी: आप सही कह रहे हैं। लेकिन सबूत के बाकी अनुक्रमिक दोहराव का उपयोग और Chernoff ही, एक के अस्तित्व को साबित करने के लिए जो सभी लेकिन आदानों की एक तेजी से छोटा सा अंश के लिए काम करता है; और जैसा कि आपने कहा, इसका क्वांटिफायर रिवर्सल से कोई लेना-देना नहीं है, इसलिए मैंने इसे छोड़ दिया। $r$

— बजे एमएस डौस्ती

मुझे यकीन नहीं है कि आपको मेरी बात मिल गई है। मेरा कहना है कि बीपीपीओपी / पाली को साबित करने के लिए "औसत लेम्मा" का कथन पर्याप्त नहीं है। आपको थोड़े महीन अनुमान की आवश्यकता है, अर्थात् अनुमानित प्रायिकता E_b [Pr_s φ (s, b)] के बजाय max_b [Pr_s φ (s, b)] का अनुमान।

— त्सुयोशी इटो

@Tsuyoshi: मुझे डर है कि मैं तुम्हें नहीं मिला। पिछली टिप्पणी में, मैंने नोट किया कि हम पहली बार 1/3 त्रुटि को बढ़ाते हैं , और फिर औसत लेम्मा लागू करते हैं। यहाँ एक पूर्ण विकसित सबूत, Goldreich की पुस्तक से लिया है। क्या मैं कुछ भूल रहा हूँ? $2^{-|x|}$

— एमएस डौस्ती

धन्यवाद! मुझे आपकी टिप्पणी गलत लगी। मुझे नहीं पता था कि BPP⊆P / पाली को पहले त्रुटि को कम करके और फिर औसत लेम्मा को लागू करने से साबित किया जा सकता है (मैं विपरीत क्रम के बारे में सोच रहा था)।

— त्सुयोशी इतो