सबूत है कि मैट्रिक्स गुणा

Question

आमतौर पर यह माना जाता है कि सभी के लिए $\epsilon > 0$ , यह गुणा दो के लिए संभव है $n \times n$ में मैट्रिक्स $O(n^{2 + \epsilon})$ समय। कुछ चर्चा यहाँ है ।

मैंने कुछ ऐसे लोगों से पूछा है, जो इस शोध से अधिक परिचित हैं कि क्या उन्हें लगता है कि वहाँ $k>0$$n$ स्वतंत्र है कि वहाँ एक $O(n^2 \log^k n)$ मैट्रिक्स गुणन के लिए एल्गोरिथ्म मौजूद है और वे अत्यधिक अंतर्ज्ञान के लिए लग रहे थे कि उत्तर "नहीं" है, लेकिन यह क्यों नहीं समझा सकता है। यही है, उनका मानना ​​है कि हम इसे $O(n^{2.001})$ समय में कर सकते हैं , लेकिन $O(n^2 \log^{100} n)$ समय नहीं।

यह मानने के क्या कारण हैं कि एक निश्चित k > 0 पर कोई $O(n^2 \log^k n)$ एल्गोरिदम नहीं है ?$k>0$

Answer 1

वहाँ एक गुणा करने के लिए एक एल्गोरिथ्म है $N \times N^{0.172}$ एक साथ मैट्रिक्स $N^{0.172} \times N$ में मैट्रिक्स $N^2 \operatorname{polylog}\left(N\right)$ अंकगणितीय आपरेशनों। मुख्य इसके लिए प्रयोग किया जाता है पहचान ताम्रकार के कागज "आयताकार मैट्रिक्स का तेजी से गुणा", लेकिन क्यों यह करने के लिए सुराग के लिए विवरण से आता $N^2 \operatorname{polylog}\left(N\right)$ के बजाय $N^{2 + \epsilon}$ विलियम्स के परिशिष्ट में है कागज , "नई एल्गोरिदम और रैखिक दहलीज द्वार के साथ सर्किट के लिए कम सीमा "।

$N \times N \times N$

Answer 2

$A_\epsilon$$O(n^{2+\epsilon})$$O(n^2 poly(\log n))$

$O(n^2 poly(\log n))$

Comments

मुझे यकीन नहीं है कि एक परिवार के बाद से O (n ^ 2poly (log n)) पर बहुत अधिक प्रभाव नहीं पड़ता है क्योंकि यदि कोई परिवार का अच्छी तरह से वर्णन कर सकता है तो कोई बड़ा n के लिए परिवार के अधिक से अधिक कुशल सदस्यों को चुन सकता है। एकमात्र कारण यह है कि यह पूरी तरह से हे (n ^ 2poly (लॉग एन)) नहीं है कि इसमें शामिल स्थिरांक बहुत बड़े होंगे, लेकिन यह स्पष्ट नहीं है कि यह जरूरी है।

— जोशुआज

$O(n^{2+x})$$\varepsilon > 0$$O(n^{2+\varepsilon})$

@ जोशुआज़ मैं एक और भी अजीब तरीका मान सकता हूँ कि यह विफल हो सकता है अगर किसी तरह से परिवार के सदस्य का चयन करना / निर्माण करना O से अधिक लिया गया (n ^ 2 पाली (लॉग एन)) समय - जैसे शायद O (1 / e) कोड की आवश्यकता है O (n ^ (2 + e)) एल्गोरिथम या कुछ और को लागू करें। कि जंगली नहीं होगा ??

— डैनियल वैगनर

Answer 3

जोश अलमन ने MM के कुछ शांत निचले परिणामों को दिखाया, जिसमें CCC 2019 का सर्वश्रेष्ठ छात्र पेपर पुरस्कार जीता! http://drops.dagstuhl.de/opus/volltexte/2019/10834/pdf/LIPIcs-CCC-2019-12.pdf

Comments

$O(n^2 poly(log n))$

@JoshuaGrochow इस मुद्दे को इंगित करने के लिए धन्यवाद।

— रुपेई जू