कई रेखांकन पर एक खेल

Question

कुछ नोड पर एक चिप के साथ एक निर्देशित भारित ग्राफ पर निम्नलिखित खेल पर विचार करें ।$G$

सभी नोड A या B द्वारा चिह्नित हैं।$G$

दो खिलाड़ी हैं एलिस और बॉब। ऐलिस (बॉब) का लक्ष्य चिप को एक नोड में बदलना है जो ए (बी) द्वारा चिह्नित है।

शुरुआत में एलिस और बॉब के पास क्रमशः और डॉलर हैं।$m_A$$m_B$

यदि कोई खिलाड़ी हारने की स्थिति में है (यानी चिप की वर्तमान स्थिति को विपरीत अक्षर द्वारा चिह्नित किया जाता है) तो वह चिप को पड़ोसी नोड में स्थानांतरित कर सकता है। इस तरह के कदम से कुछ डॉलर (संबंधित किनारे का वजन) होता है।

खिलाड़ी हार जाता है यदि वह हारने की स्थिति में है या उसे ठीक करने के लिए पैसे नहीं हैं।

अब उस भाषा GAME पर विचार करें जिसमें सभी निर्देशित भारित रेखांकन (सभी भार सकारात्मक पूर्णांक हैं), चिप की प्रारंभिक स्थिति और ऐलिस और बॉब की राजधानियाँ हैं जो एकात्मक प्रतिनिधित्व में दी गई हैं।$G$

इस तरह की ऐलिस इस खेल में एक शानदार रणनीति है।

GAME भाषा P से संबंधित है । दरअसल, खेल की वर्तमान स्थिति को चिप की स्थिति और ऐलिस और बॉब की वर्तमान राजधानियों द्वारा परिभाषित किया गया है, इसलिए गतिशील प्रोग्रामिंग काम करता है (यहां यह महत्वपूर्ण है कि प्रारंभिक राजधानियां एकात्मक प्रतिनिधित्व में दी गई हैं)।

अब इस खेल के निम्नलिखित सामान्यीकरण पर विचार करें। प्रत्येक ग्राफ़ पर चिप के साथ कई निर्देशित भारित ग्राफ़ पर विचार करें । सभी ग्राफ़ के सभी नोड्स ए और बी द्वारा चिह्नित हैं। अब बॉब जीतता है यदि सभी चिप्स बी द्वारा चिह्नित हैं और एलिस जीतता है यदि ए द्वारा चिह्नित कम से कम एक चिप।$G_1, \ldots G_n$

उस भाषा MULTI-GAME पर विचार करें जिसमें सभी ग्राफ़ , प्रारंभिक स्थिति और राजधानियाँ और ( प्रतिनिधित्व में) शामिल हैं, जैसे कि ऐलिस इसी खेल में जीतता है। यहां यह महत्वपूर्ण है कि सभी रेखांकन के लिए राजधानियां सामान्य हैं, इसलिए यह केवल कई स्वतंत्र गेम नहीं हैं।$G_1, \ldots, G_n$$m_A$$m_B$

प्रश्न MULTI-GAMES भाषा की जटिलता क्या है? (क्या इसका संबंध P से भी है या कुछ कारणों से यह समस्या कठिन है?)

UPD1 नील यंग ने कॉनवे के सिद्धांत का उपयोग करने का सुझाव दिया। हालाँकि मुझे नहीं पता कि सामान्य पूंजी वाले कई खेलों के लिए इस सिद्धांत का उपयोग करना संभव है।

UPD2 मैं एक उदाहरण दिखाना चाहता हूं जो दिखाता है कि MULTI-GAME बहुत सरल नहीं है। बता दें कि ऐलिस ने अपनी पूंजी को कुछ शर्तों विभाजित किया है (वह -th ग्राफ के लिए डॉलर का उपयोग करने जा रही है )। को न्यूनतम संख्या के रूप में परिभाषित करें जैसे कि -th गेम में बॉब जीतता है यदि एलिस और बॉब के पास क्रमशः और डॉलर हैं। यदि (कुछ अलग करने के लिए ) तो ऐलिस जीत जाता है। हालांकि, विपरीत सच नहीं है। निम्नलिखित ग्राफ की दो प्रतियों पर विचार करें (शुरुआत में चिप बाईं ओर A है): $m_A$$n$$m_A = a_1 + a_2 + \ldots a_n$$a_i$$i$$b_i$$i$$a_i$$b_i$$b_1 + \ldots b_n > m_B$$m_A = a_1 + a_2 + \ldots a_n$

एक ग्राफ के लिए बॉब जीतता है यदि और या यदि और । हालाँकि इस ग्राफ की दो प्रतियों के साथ खेल के लिए बॉब खो देता है यदि और । दरअसल, बॉब को द्वारा चिह्नित नोड में दोनों चिप्स को स्थानांतरित करने के लिए या डॉलर खर्च करने होंगे । तब ऐलिस ए द्वारा चिह्नित नोड में कम से कम एक चिप को स्थानांतरित कर सकता है। उसके बाद बॉब के पास अपनी स्थिति को बचाने के लिए पैसे नहीं हैं।$m_A=0$$m_B=2$$m_A=1$$m_B=3$$m_A=1$$m_B=5$$4$$5$$B$

UPD3 चूंकि मनमाने ढंग से रेखांकन के लिए प्रश्न विशिष्ट रेखांकन पर विचार करना मुश्किल लगता है। कुछ ग्राफ के नोड्स को रूप में निरूपित करें । मेरा प्रतिबंध निम्नलिखित है: प्रत्येक जोड़ी के लिए वहां मौजूद बढ़त से और रिवर्स किनारे नहीं है। इसके अलावा किनारों की लागत के लिए प्रतिबंध मौजूद है: लिए किनारे से , से तक अधिक नहीं है ।$G_i$$1, \ldots k$$i<j$$i$$j$$i<j<k$$j$$k$$i$$k$

Comments

बहु-खेल में, क्या एक चाल है? खिलाड़ी हर ग्राफ में एक चाल बनाता है? या एक चाल को चुनने के लिए एक ग्राफ चुनता है? क्या आपने देखा है कि क्या कॉनवे का गेम (हीटिंग और कूलिंग) का सिद्धांत यहां लागू होता है? (कुछ संदर्भ यहां मिल सकते हैं: en.wikipedia.org/wiki/… )

— नील युवा

@ नील यंग खिलाड़ी एक चाल का चयन करने के लिए एक ग्राफ चुनता है।

— अलेक्सी मिलोवानोव

एफडब्ल्यूआईडब्ल्यू, अगर मुझे याद है, तो कॉनवे के खेलों के सिद्धांत पर विचार किया जाता है कि उस गेम को कैसे खेलना है जो उस तरीके से अन्य खेलों से बना है (प्रत्येक चाल में, खिलाड़ी उप-गेम में से एक को स्थानांतरित करने के लिए चुनता है)। मुझे नहीं पता कि उनके सिद्धांत की प्रासंगिकता कितनी जटिल है।

— नील युवा

@ नीललौंग धन्यवाद, लेकिन जैसा कि मैं समझता हूं कि समस्या यह है कि सभी खेलों के लिए खिलाड़ियों के पास सामान्य राजधानियां हैं। मुझे नहीं पता कि यह कॉनवे के सिद्धांत द्वारा कैसे तय किया जा सकता है ...

— एलेक्सी मिलोवानोव

क्या ऐलिस (बॉब) को ए (बी) नोड पर होने पर चिप को स्थानांतरित करने के लिए मजबूर किया जाता है? बहु-खेल की जीत की स्थिति क्या है? क्या बी तब भी जीतता है जब सभी चिप्स बी नोड्स पर होते हैं, लेकिन ए के पास अभी भी कुछ पैसा है? आप कहते हैं कि ए जीतता है अगर कम से कम एक चिप ए पर है, तो ए केवल "कम महंगे" दो ग्राफ में ए के साथ चिह्नित नोड में दो चिप्स रखने की कोशिश कर सकता है; जैसे ही B नोड A से दो चिपों में से एक को स्थानांतरित करता है, ऐलिस इसे वापस लाता है (और दूसरे ग्राफ़ को अनदेखा करता है)

— Marzio De Biasi

Answer 1

चूँकि स्टीवन स्टैडनिक का उत्तर प्रश्नकर्ता द्वारा स्वीकार नहीं किया गया है, इसलिए मुझे लगा कि यह अभी भी अपडेट प्रदान करने में सहायक हो सकता है: मेरे पास 3SAT से MULTI-GAME तक की कमी है। मैंने स्टीवन के उत्तर को ध्यान से नहीं देखा या उसके द्वारा दिए गए लिंक के माध्यम से पीछा नहीं किया, लेकिन निम्नलिखित कमी के आधार पर मुझे आश्चर्य नहीं होगा यदि MULTI-GAME वास्तव में PSPACE-complete है। हालाँकि, मैं एनपी-कठोरता से परे इस परिणाम का विस्तार नहीं कर सकता।

एक 3SAT उदाहरण में , प्रत्येक क्लॉज प्रत्येक होता है या तो चर एक है। या चर में से किसी एक का निषेध।$C_1, \dots, C_m$$C_i = L_{i1} \vee L_{i2} \vee L_{i3}$$L_{ik}$$x_1, \dots, x_n$

इस तरह के 3SAT उदाहरण को देखते हुए, कमी गेम से मिलकर MULTI-GAME उदाहरण बनाती है - प्रत्येक चर के लिए एक और अतिरिक्त पूंजी सिंक के रूप में उपयोग किए जाने वाले अन्य गेम। पहले हम प्रत्येक खेल के लिए रेखांकन की संरचना को परिभाषित करेंगे, फिर एक उदाहरण देखेंगे और मूल विचार पर चर्चा करेंगे, और फिर हम यह पता लगाएंगे कि किन-किन लागतों को कम करने के लिए किनारों पर नियत किया जाए।$n + 1$

सबसे पहले, चर खेल ग्राफ हर चर के लिए :$G_j$$x_j$

1. एक ए के साथ चिह्नित लेबल लेबल बनाएँ (यानी ऐलिस के लिए एक जीत शीर्ष)। लिए चिप वर्टेक्स पर शुरू होती है ।$x_j$$G_j$$x_j$
2. और लेबल वाला नाम का एक वर्टेक्स बनाएं , प्रत्येक को B के साथ चिह्नित किया जाए (यानी दोनों बॉब के लिए स्थान जीत रहे हैं)। से और दोनों के लिए निर्देशित किनारों को बनाएं , दोनों की लागत ।$T$$F$$x_j$$T$$F$$1$

3. प्रत्येक शाब्दिक लिए खंड के , अगर या , लेबल कोने बनाने और एक साथ चिह्नित और कोने लेबल और बी किनारों जोड़े के साथ चिह्नित और दोनों लागतों के साथ सेट होते हैं । (हम बाद में को परिभाषित करेंगे ।)$L_{ik}$$C_i$$L_{ik} = x_j$$L_{ik} = \neg x_j$$C_iTA$$C_iFA$$C_iTB$$C_iFB$$(T, C_iTA)$$(F, C_iFA)$$l_{ik}$$l_{ik}$

   किनारों और । यदि , तो सेट करें की लागत और की लागत । अन्यथा सेट की लागत और की लागत ।$(C_iTA, C_iTB)$$(C_iTA, C_iTB)$$L_{ik} = x_j$$(C_iTA, C_iTB)$$l_{ik} - 1$$(C_iTA, C_iTB)$$l_{ik}$$(C_iTA, C_iTB)$$l_{ik}$$(C_iTA, C_iTB)$$l_{ik} - 1$

पूंजी सिंक खेल:

1. B के साथ चिह्नित , लेबल वाला एक शीर्ष बनाएँ ।$C$
2. प्रत्येक क्लॉज , A के साथ चिह्नित लेबल एक शीर्ष बनाएँ , और के साथ चिह्नित लेबल एक शीर्ष बनाएँ बढ़त लागत (फिर से नीचे निर्धारित होने के लिए साथ एक बढ़त बनाएं और एक किनारे भी बढ़त लागत ।$C_i$$C_iA$$C_iB$$(C, C_iA)$$c_i$$(C_iA, C_iB)$$c_i$

यह एक बहुत कुछ है, इसलिए उम्मीद है कि एक उदाहरण यह थोड़ा अधिक सुपाच्य बनाता है। हमारा 3SAT उदाहरण इस प्रकार है:

$C_1 = x_1 \vee x_2 \vee \neg x_3$

$C_2 = x_2 \vee x_3 \vee \neg x_4$

$C_3 = \neg x_1 \vee \neg x_3 \vee x_4$

कमी इस उदाहरण को 4 चर गेम ग्राफ और 1 कैपिटल सिंक ग्राफ में बदल देती है। नीचे दिए गए आरेखों में, लाल कोने को ए के साथ चिह्नित किया जाता है (यानी ऐलिस के लिए स्थिति जीत रहे हैं), और सियान के कोने बी के साथ चिह्नित हैं (बॉब के लिए स्थान जीत रहे हैं)।

के लिए ग्राफ :$x_1$

लिए ग्राफ़ :$x_2$

लिए ग्राफ़ :$x_3$

लिए ग्राफ़ :$x_4$

पूंजी सिंक के लिए ग्राफ:

विचार अग्रांकित है:

बॉब को वेरिएबल गेम्स में हारने की स्थिति से बाहर निकलने के लिए पहली चाल बनाने के लिए मजबूर किया जाता है । इस तरह के प्रत्येक कदम से संबंधित चर के लिए सही या गलत का असाइनमेंट होता है।$n$$n$

इसके बाद एलिस के पास ठीक 4 चाल चलने के लिए पर्याप्त पूंजी होगी, जिनमें से प्रत्येक के लिए बॉब को जीतने के लिए मैच के लिए बॉब के पास पर्याप्त पूंजी की आवश्यकता होगी। मूल्यों और मानों ऐलिस ही संभव जीतने की रणनीति के रूप में कुछ खंड के लिए इस प्रकार है, इसलिए चुना जाना हैं :$c_i$$l_{ik}$$C_i$

ऐलिस खंड रणनीति:$C_i$ चलो । प्रत्येक , यदि या , लिए चर खेल में । कैपिटल सिंक गेम में भी जाएं ।$C_i = L_{i1} \vee L_{i2} \vee L_{i3}$$k \in \{1, 2, 3\}$$L_{ik} = x_j$$\neg x_j$$C_i?A$$x_j$$C_iA$

( या तो या को दर्शाता है , जिनमें से केवल एक बॉब की शुरुआती चाल के बाद दिए गए परिवर्तनीय खेल में उपलब्ध है।)$C_i?A$$C_iTA$$C_iFA$

यदि बॉब का उद्घाटन एक सत्य असाइनमेंट से मेल खाता है, जो कुछ खंड असंतुष्ट छोड़ देता है , तो ऐलिस चयन और ऊपर दिए गए कार्यनीति को क्रियान्वित करता है ऐलिस पूंजी को लागू करने के लिए, और Bob वही हराने के लिए; यदि दूसरी ओर संतुष्ट है, तो बॉब के काउंटरप्ले को कम से कम की छूट मिलती है । और मूल्यों और ऐलिस और बॉब की शुरुआती राजधानियों को स्थापित करने में हमारा लक्ष्य यह सुनिश्चित करना है कि उक्त छूट या बॉब की जीत में निर्णायक कारक है।$C_i$$C_i$$l_{i1} + l_{i2} + l_{i3} + c_i$$C_i$$1$$c_i$$l_{ik}$

उस अंत तक, सेट करें, और सेट करें$b = m + 1$

$l_{ik} = 2b^{10} + ib^{2k}$ प्रत्येक ,$k \in \{1, 2, 3\}$

$c_i = 3b^{10} + b^8 - \sum_{k=1}^3 ib^{2k}$ ,

ऐलिस की प्रारंभिक राजधानी ,$9b^{10} + b^8$

और बॉब की प्रारंभिक राजधानी$9b^{10} + b^8 + n - 1.$

ध्यान दें कि इन मूल्यों के सभी में बहुपद हैं है, तो बहु-खेल उदाहरण कमी द्वारा outputted 3SAT उदाहरण के आकार में आकार बहुपद भले ही इन लागत एकल में इनकोड है।$m$

यह भी ध्यान दें कि प्रत्येक खंड , ऐलिस की प्रारंभिक राजधानी है। (जो पहली चाल चलने के बाद बॉब की पूंजी से अधिक है ।)$C_i$$l_{i1} + l_{i2} + l_{i3} + c_i = 9b^{10} + b^8$$1$$n$

सबसे पहले, यह तुरंत स्पष्ट है कि यदि बॉब का उद्घाटन एक सच असाइनमेंट को परिभाषित करता है जो एक खंड असंतुष्ट छोड़ देता है , तो ऐलिस ऊपर दिए गए उसके खंड रणनीति का उपयोग करके जीतता है।$C_i$$C_i$

यदि बॉब के उद्घाटन से सभी खंडों पर प्रतिबंध लग जाता है, तो हम ऐलिस के विकल्पों पर बाधाओं का तर्क दे सकते हैं जो कि ऐलिस के जीतने की किसी भी अन्य संभावना से इनकार करते हैं। ध्यान दें कि जिस क्रम में ऐलिस अपनी चाल चलता है वह अप्रासंगिक है, क्योंकि बॉब की प्रतिक्रियाएं मजबूर हैं और कुल पूंजी बॉब को ऐलिस की चालों के आदेश से अपरिवर्तित होने की आवश्यकता होगी।

• ऐलिस 4 से अधिक चाल नहीं बना सकता है: यदि ऐलिस 5 या अधिक चाल बनाता है, तो उसकी चालों की कुल लागत , जो उसके बजट से अधिक है।$\ge 5b^{10}$
• ऐलिस को 4 चालें करनी चाहिए: यदि ऐलिस कैपिटल सिंक गेम से 3 चालों का चयन करता है तो उसकी कुल लागत जो बजट से अधिक है । यदि वह एक चर गेम से 3 में से एक भी चाल का चयन करती है, तो उसकी कुल लागत जो बॉब की पोस्ट-ओपनिंग पूंजी की तुलना में काफी कम है, इसलिए बॉब आसानी से खर्च कर सकता है प्रतिरूप।$\ge 9b^{10} + 3b^8 - 3b^7 > 9b^{10} + 2b^8$$\le 8b^{10} + 2b^8 + b^7$
• ऐलिस को कैपिटल सिंक गेम से एक चाल का चयन करना चाहिए: यदि वह नहीं करती है, तो वह चर गेम से 4 चालों का चयन करती है, कुल लागत , और फिर बॉब आसानी से काउंटरप्ले का खर्च उठा सकता है। (ध्यान दें कि यदि प्रति खंड में एक अलग पूंजी सिंक गेम था, तो हम यह भी दिखा सकते हैं कि ऐलिस को वास्तव में इस तरह के खेल में खेलना चाहिए।)$\le 8b^{10} + 4b^7$

इस चरण से हम चुने गए कदम की लागत में और शब्दों की अवहेलना कर सकते हैं , क्योंकि वे हमेशा बराबर होंगे । चूंकि ऐलिस को कैपिटल सिंक गेम में बिल्कुल एक चाल का चयन करना चाहिए, इसलिए मान लें कि यह कदम । फिर ऐलिस ने ( और पद की अनदेखी की ) पूंजी शेष है, और बॉब के पास इस राशि से कम शेष है।$b^{10}$$b^8$$9b^{10} + b^8$$C_iA$$b^{10}$$b^8$$\sum_{k=1}^3 ib^{2k}$$1$

• ऐलिस को कुछ खंड लिए कम से कम एक चाल चयन करना चाहिए :$l_{j3}$$C_j$ यदि वह नहीं करती है, तो उसकी चाल लागत (फिर से निचले क्रम की शर्तें) , और बॉब के पास काउंटरप्ले के लिए पर्याप्त पूंजी है।$\le 3b^5$
• कहा इस कदम की लागत इस कदम की लागत होना चाहिए :$l_{j3}$$l_{i3}$ यह एक चाल की लागत नहीं किया जा सकता के लिए , अन्यथा इस कदम अकेले लागत जो ऐलिस के शेष बजट से अधिक है। यदि यह लिए , तो द्वारा बॉब के शेष बजट में टर्म शब्द को समाप्त करने के लिए लागत चाल को भी चुना जाना चाहिए । लेकिन तब या तो बॉब की शेष बजट या -order अवधि -order अवधि समाप्त हो नहीं है, इसलिए बॉब handily जीत जाता है।$l_{j3}$$j > i$$\ge (i+1)b^6$$l_{j3}$$j < i$$l_{(i - j)3}$$b^6$$b^2$$b^2$

इसी तरह के तर्कों को स्थापित करना चाहिए कि एलिस को और की चाल का चयन करना चाहिए । यदि बॉब का सच असाइनमेंट संतुष्ट , तो यह रणनीति भी काम नहीं करती है, क्योंकि छूट बॉब को में से एक पर मिलती है- आधारित लागतें उसके खुलने के बाद होने वाली कम पूंजी के लिए बनाती हैं ।$l_{i2}$$l_{i1}$$C_i$$l_{ik}$$1$

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मेरे पिछले उत्तर पर एक टिप्पणी: यह स्पष्टता में स्पष्ट है कि, MULTI-GAME के ​​TABLE-GAME संस्करण के लिए, मैंने उस उत्तर की टिप्पणियों में परिभाषित किया, एक नैकपैक-शैली DP यह निर्धारित करने के लिए होता है कि किस खिलाड़ी की जीत की रणनीति है। आप तर्क दे सकते हैं कि बॉब की सबसे अच्छी रणनीति हमेशा किसी दिए गए गेम टेबल में कम से कम निवेश के साथ एक खोई हुई स्थिति का जवाब देना है (यह बॉब के लिए एक बाद की चाल को काट नहीं सकता है कि वह अन्यथा होगा), और वहां से आदेश ऐलिस की चाल से कोई फर्क नहीं पड़ता। इसके बाद खेलों के बीच ऐलिस की पूंजी का एक विभाजन चुनने का मामला बन जाता है, जैसे कि उन खेलों पर बॉब की न्यूनतम जीतने वाली प्रतिक्रियाओं का योग उसके बजट से अधिक हो जाता है, जिसे नॉकपैक-शैली की समस्या के रूप में फिर से परिभाषित किया जा सकता है, जिसमें एक बहुपद-काल डीपी के कारण होता है लागतों के एकात्मक प्रतिनिधित्व के लिए। (मेरी पुनरावृत्ति वास्तव में होगी)

यह पता चलता है कि प्रत्येक गेम के लिए एक साधारण पेड़ की संरचना, निरंतर गहराई के साथ और वास्तव में केवल एक सार्थक कांटा प्रति खेल (अर्थात् शुरुआत में जो बॉब को एक सच काम चुनने के लिए मजबूर करते हैं) एनपी-कठोरता प्राप्त करने के लिए पर्याप्त है। मुझे लगता है कि प्रारंभिक कांटा है, जो किसी भी तरह बॉब मजबूर कर में राजधानी के एक अपेक्षाकृत बड़े निश्चित राशि का निवेश करने पर बाहर ठप से छुटकारा पाने के लिए कुछ विचार था ऐलिस अग्रिम में उन खेल के लिए precommit बिना खेल, लेकिन स्पष्ट रूप से के बाद से टेबल-खेल में है P यह कांटे के बिना संभव नहीं है।$n$

मैंने UPD3 से आपके विशेष मामले के बारे में ज्यादा नहीं सोचा है । मुझे संदेह है कि यह एनपी-हार्ड भी है, इस कारण से कि मेरे चर गैजेट एक नज़र में लगते हैं जैसे वे उन बाधाओं के अनुकूल हो सकते हैं, लेकिन मैं शायद इसे आगे नहीं देखूंगा।

Answer 2

अद्यतन: गलत होने की संभावना है, अब एवेन्यू का पता लगाने के रिकॉर्ड के रूप में। टिप्पणी देखो।

अपडेट 2: निश्चित रूप से गलत है।

फॉर्म (B) ​​-1-> (A) -1-> (B), यानी , जहां , , कोने 1, 2, 3 क्रमशः बी, ए, बी लेबल किए जाते हैं, और किनारों को 1 के सभी निर्दिष्ट लागत होते हैं।$G = (V, E)$$V = \{1, 2, 3\}$$E = \{(1, 2), (2, 3)\}$

, को सेट करके सभी 3 गेम के उदाहरण को परिभाषित करें , सभी तीन गेम शीर्ष पर शुरू होने के साथ 1. स्पष्ट रूप से ऐलिस इस गेम को नहीं जीत सकता है।$m_A = m_B = 2$$G_1 = G_2 = G_3 = G$

हालांकि, लिए नीचे की पुनरावृत्ति विफल हो जाती है : बॉब के फंड का कोई विभाजन नहीं है पहले दो गेम और तीसरे गेम के बीच ऐसा है कि एलिस के फंड के सभी विभाजन के लिए , दोनों और । यदि या , तो ; और अगर तो ।$M[3,2,2]$$2-u, u$$v, 2 - v$$M[2, 2 - u, 2 - v] = B$$W[3, u, v] = B$$u = 1$$u = 2$$M[2, 2 - u, 2] = A$$u = 0$$W[3, u, 2] = A$

मैं इस दृष्टिकोण को उबारने का एक तात्कालिक तरीका नहीं देखता। और पर परिमाणीकरण के क्रम को उलट देना, प्रश्न 2 के अपडेट 2 में उदाहरण पर पुनरावृत्ति को विफल बनाता है।$u$$v$

---

MULTI-GAME उदाहरण को देखते हुए$m_A, m_B, G_1, \dots, G_n,$

precompute

$W[k, x, y] = \begin{cases}A & \text{if Alice wins GAME on $G_k$ with initial funds $x$ for Alice and $y$ for Bob,} \\ B & \text{otherwise}\end{cases}$

सभी खेलों और सभी , ।$x \le m_A$$y \le m_B$

द्वारा निरूपित बहु-खेल के विजेता अगर उदाहरण के पहले तक ही सीमित है रेखांकन और धन , । ( अगर बॉब जीतता है, तो ।) फिर$M[k, x, y]$$k$$x \le m_A$$y \le m_B$$M[k, x, y] = B$$A$

$M[1, x, y] = W[1, x, y]$

तथा

$M[k+1, x, y] = B \quad\text{if and only if}\quad \exists v \forall u, W[k+1, u, v] = B \:\:\text{and}\:\: M[k, x-u, y-v] = B.$

आउटपुट "हाँ" यदि , "नहीं" अन्यथा।$M[n, m_A, m_B] = A$

Comments

आपका एल्गोरिथ्म गलत है। मेरी पोस्ट में चित्र पर ग्राफ पर विचार करें। इस तरह के दो ग्राफ के साथ बहु-खेल पर विचार करें। यहाँ W [1,0,2] = W [2,0,2] = B और W [1,1,3] = W [2,1,3] = B है। हालाँकि, M_TI = GAME के ​​साथ m_A = 1 और m_B = 5 ऐलिस जीतता है

— Alexey Milovanov

उफ़। पुनरावृत्ति में एकतरफा मात्रात्मक कोशिश करो ? मैं इस बीच की जाँच करेंगे। $u$

— gdmclellan

@AlexeyMilovanov मात्रात्मक परिवर्तन के साथ पुनरावृत्ति उदाहरण के लिए जाना चाहिए। लेकिन आपने इस दृष्टिकोण के बारे में मेरे मन में संदेह रखा है। ऐसा लगता है कि बॉब को फंडों का एक एकल वितरण करने की आवश्यकता हो सकती है जो कि उन सभी वितरणों को धड़कता है जो ऐलिस गर्भ धारण कर सकते हैं। उस ने कहा, मुझे यकीन नहीं है कि मुझे यहां मूल विचार से दूर कर दिया गया है: यह समस्या वास्तव में गेम के बारे में नहीं है। क्या संबंधित समस्या के बारे में कुछ भी ज्ञात है जहां प्रत्येक GAME उदाहरण को एक साधारण तालिका a la W से बदल दिया जाता है?

— gdmclellan

टेबल डब्ल्यू विजेता को परिभाषित नहीं करता है। मुझे नहीं पता कि यह किसी और तालिका के लिए सही है ...

— एलेक्सी मिलोवानोव

परिभाषा के अनुसार @AlexeyMilovanov टेबल डब्ल्यू इनपुट ग्राफ के किसी भी विशिष्ट एक के लिए पृथक गेम उदाहरणों के विजेता को निर्धारित करता है। मुझे यकीन नहीं है कि आप अन्यथा क्यों कहेंगे। मैंने अपने जवाब को एक प्रतिसाद के साथ अद्यतन किया है, हालांकि, मामले में कोई भी संदेहजनक संदेह था कि यह गलत था।

— gdmclellan

Answer 3

ऊपर मेरी टिप्पणियों के अनुसार, यहां एक कमी है जो मुझे लगता है कि समस्या को PSPACE-hard (और संभवतः पूर्ण) होना दर्शाता है। चलो के साथ ग्राफ होना नोड्स, गिने से नोड के लिंक के साथ, के लिए सभी के लिए , सभी के अलावा अन्य नोड्स एक के लिए, नोड चिह्नित बी के लिए चिह्नित, और चिट शुरू में पर प्रसन्न हुआ । (यहां सभी किनारों की लागत 1 है)। यह स्पष्ट होना चाहिए कि बी जीतता है अगर उनके पास डॉलर है। (यदि आवश्यक हो, तो हम अलावा प्रत्येक नोड से यूनिट-कॉस्ट किनारों को दे सकते हैं$[n]$$n+1$$n\ldots 0$$i+1$$i$$0\leq i\lt n$$0$$0$$n$$[n]$$\geq n$$0$अपने आप से, चूँकि A हमेशा चित को यथासंभव से दूर रखना चाहेगा और B हमेशा इसे करीब ले जाना चाहेगा; वास्तव में, यदि स्व-लिंक की अनुमति नहीं है, तो हम द्विदिश लिंक के साथ एक सीढ़ी बनाते हुए, दो प्रतियों में लाइन को 'डबल' कर सकते हैं।$0$

अब, दो अतिरिक्त नोड्स और साथ ग्राफ पर विचार करें : नोड लिंक कुछ और टू , और नोड के लिंक और (मान लें कि ) है। इन सभी लिंक की लागत शून्य है। (यह कमी के लिए कड़ाई से आवश्यक नहीं है, लेकिन यह सुविधाजनक है।) दोनों और के लिए चिह्नित हैं। स्पष्ट रूप से बी से जाना चाहते हैं, जबकि ए को जाना होगा।$G$$\alpha$$\beta$$\alpha$$[i]$$\beta$$\beta$$[j]$$[k]$$j\lt k$$\alpha$$\beta$$\beta$$[j]$$[k]$(ए बिल्कुल नहीं चलना पसंद करेगा, लेकिन बी के लिए लागत अधिक करने के लिए इसे स्थानांतरित करने के लायक हो सकता है )। इसी तरह, यह व्यवस्था की जा सकती है कि B कभी भी नहीं जाना चाहता है और A हमेशा चाहता है। फिर इन पदों का खेल-सैद्धांतिक मूल्य । लेकिन यह ज्ञात है कि इस प्रकार के गेम्स (यानी ग्राफ़) के मूल्य का मूल्य PSPACE- पूर्ण है; यह लौरा जो येदवा के परास्नातक थीसिस में दिखाया गया था । तो आपकी समस्या कम से कम PSPACE- हार्ड है।$[k]$$[i]$$\{i\mid\{j\mid k\}\}$

Comments

थीसिस के प्रमाण मुझे खेलों में आई, जे और के के बड़े मूल्यों का उपयोग करते प्रतीत होते हैं। ध्यान दें कि यहां सभी भार को अधिकांश खिलाड़ियों की राजधानियों में माना जा सकता है, जिन्हें एकता में दर्शाया गया था।

— अंती रोयसको

@ AnttiRöyskö मैं सबूत पर एक बहुत करीब से देखना होगा, फिर; मेरा मानना ​​है कि गो एंडगेम्स की PSPACE-पूर्णता पर परिणाम थीसिस के परिणाम का उपयोग करता है और साथ ही साथ (जब से, मैं / j / k बोर्ड क्षेत्रों के आकार से आते हैं) के रूप में असमान गिनती की गणना करता है।

— स्टीवन स्टडनिक

यह स्पष्ट नहीं है: क्या किनारों पर या ? यदि सभी ( को छोड़कर ) नोड्स ए द्वारा चिह्नित हैं तो ऐलिस नहीं चलेगा ...β $\alpha$$\beta$$0$

— एलेक्सी मिलोवानोव

@AlexeyMilovanov वूप्स, कि मेरी गलती है - भी से लिंक होना चाहिए । इसके अलावा, ऐलिस अभी भी ऐसी स्थिति से आगे बढ़ना चाह सकती है; उस मामले की कल्पना करें, जहां हमारे पास लिंक के साथ एक एकल नोड, , और बॉब के पास $ । तब ऐलिस बॉब को और अंत में जीतने से रखने के लिए चलेगा । बीटा अल्फा [ मैं ] > [ जे ] जे + 1 [ मैं ] [ जे $\alpha$$\beta$$\alpha$$[i] \gt [j]$$j+1$$[i]$$[j]$

— स्टीवन स्टडनिक

@StevenStadnicki यह चोरी स्पष्ट नहीं है: क्या यह initital से या को प्राप्त करना संभव है ? इसके अलावा अगर सभी चिप्स B पर नहीं हैं तो बॉब को जाना है, इसलिए आपके खेल में या तो बॉब सभी ग्राफ्स में A को प्राप्त करेगा (और जीत जाएगा) या बॉब के पास बहुत सारे नहीं होंगे और हार जाएंगे। β $\alpha$$\beta$$n$

— एलेक्सी मिलोवानोव