कौन से इंटीग्रेटर रैखिक कार्यक्रम आसान हैं?

एक समस्या को हल करने की कोशिश करते हुए, मैंने निम्नलिखित पूर्णांक रैखिक कार्यक्रम के रूप में इसका हिस्सा व्यक्त किया। यहाँ हैं जो सभी सकारात्मक पूर्णांक दिए गए हैं। इनपुट का हिस्सा चर का एक निर्दिष्ट उप- सेट शून्य पर सेट है, और बाकी सकारात्मक अभिन्न मान ले सकते हैं: $\ell,m,n_{1},n_{2},\ldots,n_{\ell},c_{1},c_{2},\ldots,c_{m},w$ $x_{ij}$

छोटा करना

$\sum_{j=1}^{m}c_{j}\sum_{i=1}^{\ell}x_{ij}$

का विषय है:

$\sum_{j=1}^{m}x_{ij}=n_{i}\,\,\forall i$

$\sum_{i=1}^{\ell}x_{ij}\ge w\,\,\forall j$

मैं जानना चाहूंगा कि क्या यह पूर्णांक कार्यक्रम बहुपद काल में हल करने योग्य है; अगर यह है, तो मेरी मूल समस्या हल हो गई है, और अगर ऐसा नहीं है तो मुझे कोई और तरीका आजमाना होगा। तो मेरा सवाल है:

यदि मैं एक निश्चित पूर्णांक रैखिक कार्यक्रम को बहुपद समय में हल कर सकता हूं तो मुझे कैसे पता चलेगा? कौन से पूर्णांक रैखिक कार्यक्रम आसान होने के लिए जाने जाते हैं? विशेष रूप से, उपरोक्त कार्यक्रम को बहुपद समय में हल किया जा सकता है? क्या आप मुझे इस पर कुछ संदर्भ दे सकते हैं?

— gphilip
स्रोत

जवाबों:

यह परिवहन समस्या (या न्यूनतम-लागत प्रवाह समस्या) का एक विशेष मामला है, और इसलिए इसे बहुपद समय में हल किया जा सकता है। गुणांक मैट्रिक्स पूरी तरह से एकरूपता है क्योंकि यह एक द्विदलीय ग्राफ की घटना मैट्रिक्स है।

निम्नलिखित विकिपीडिया लेख उपयोगी हो सकते हैं।

— योशियो ओकामोटो
स्रोत

@ योशियो: धन्यवाद, जो मेरी विशेष समस्या का जवाब देता है (एक बार मैंने इसे अपने लिए सत्यापित कर लिया है)। क्या आप कुल एकरूपता के अलावा अन्य स्थितियों के बारे में जानते हैं जो एक बहुपद-समय समाधान की गारंटी देते हैं?

— gphilip

@gphilip: मैं "पॉलीहेड्रा की अभिन्नता" शब्द के द्वारा थिस्स के सवालों का सारांश दूंगा और इस विषय पर साहित्य बहुत बड़ा है। गेरार्ड कॉर्नजोल (2001 में प्रकाशित) की पुस्तक "कॉम्बिनेटरियल ऑप्टिमाइजेशन: पैकिंग एंड कवरिंग" इस पंक्ति के साथ कई परिणामों का वर्णन करती है।

— योशियो ओकामोटो

@ योशियो: क्या आप मुझे बता सकते हैं कि आपको क्यों लगता है कि गुणांक मैट्रिक्स एक द्विदलीय ग्राफ की घटना मैट्रिक्स है? मेरी अज्ञानता को क्षमा करें, लेकिन एक गुणांक मैट्रिक्स की बात करने के लिए, क्या हमें पहले सभी बाधाओं को मानक रूप में परिवर्तित नहीं करना है ( )? एक बार जब हम ऐसा करते हैं, तो मैट्रिक्स में -1 प्रविष्टियां होंगी, और फिर यह एक घटना मैट्रिक्स (AFAIK) की परिभाषा से मेल नहीं खाती। या क्या यह ऐसा मामला है कि हम गुणांक मैट्रिक्स को पहले मानक रूप में बाधाओं को परिवर्तित किए बिना बोल सकते हैं ?

A x \leq b

$Ax\le b$

— Gphilip

@gphilip: क्षमा करें। मैंने एक अंतर्निहित शॉर्ट-कट बनाया, और मैं मानक रूप में परिवर्तित किए बिना गुणांक मैट्रिक्स की बात कर रहा था। मैंने निम्नलिखित शॉर्ट-कट का उपयोग किया। (१) यदि पूरी तरह से एककोशिकीय है (TU, संक्षेप में), तो भी TU है, जिसका अर्थ है कि हमें असमानताओं की दिशा की परवाह नहीं है। (२) यदि TU है, तो भी TU है, जिसका अर्थ है कि हमें समानता की कमी की परवाह नहीं है। (3) TU मैट्रिक्स का प्रत्येक सबमेट्रिक्स TU है। इन नियमों को एक द्विदलीय ग्राफ के घटना मैट्रिक्स में लागू करने से मानक रूप के लिए संपत्ति साबित होनी चाहिए।

A

$A$

- A

$-A$

A

$A$

[A ∣ - A]

$[A \mid -A]$

— योशियो ओकामोटो

मुझे अपने शॉर्ट-कट नियमों को निम्नानुसार बदलना चाहिए। (१) एक पंक्ति का दोहराव पूरी तरह से एकरूपता बनाए रखता है। (२) एक पंक्ति के चिन्ह का उलटा होना कुल एकरूपता को बनाए रखता है। उन्हें काम करना चाहिए।

— योशियो ओकामोटो

सामान्य तौर पर, यह कहना मुश्किल है। लेकिन एक पर्याप्त स्थिति यह है कि आपका बाधा मैट्रिक्स पूरी तरह से एक-आकार का है और दाहिना हाथ हमेशा पूर्णांक होता है (इस मामले में दाहिना हाथ पक्ष पूर्णांक होता है, लेकिन आपको अभी भी एकरूपता की जांच करनी होगी)

आपको इस पर एक नज़र रखना चाहिए: http://en.wikipedia.org/wiki/Linear_program#Integer_unkowns

— विनीसियस डॉस सैंटोस
स्रोत

मैं आपके मैट्रिक्स के बारे में सोच रहा था और यह पूरी तरह से एकरूपता दिखती है।

— विनीसियस डॉस सैंटोस

@Vicicius: क्या आप मुझे बता सकते हैं कि मैट्रिक्स आपके लिए पूरी तरह से एकरूपता क्यों दिखता है? योशियो की टिप्पणी के बावजूद मैं यह पता नहीं लगा सका (कृपया मेरी प्रतिक्रिया वहां देखें)।

— Gphilip

@gphilip: en.wikipedia.org/wiki/Unimodular_matrix पर "कॉमन बिलकुल अनिमॉड्यूलर मैट्रिसेस" सेक्शन में, पहले आइटम की सूची मैट्रिक्स के लिए 4 पर्याप्त परिस्थितियां एक-से-एक होती हैं। मुझे लगता है कि ये स्थितियां, योशियो की टिप्पणी के साथ मिलकर, यह दिखाने के लिए पर्याप्त हैं कि समस्या को बहुपत्नी समय में हल किया जा सकता है।

— विनीसियस डॉस सैंटोस

@gphilip: इस रैखिक कार्यक्रम की प्रेरणा क्या है?

— विनीसियस डॉस सैंटोस

@Vinicius: हम एक इनपुट मैट्रिक्स को एक निश्चित तरीके से संशोधित करने के संदर्भ में एक समस्या को हल करने का प्रयास कर रहे हैं ताकि कुछ अच्छे गुणों के साथ एक और मैट्रिक्स प्राप्त किया जा सके। यह एलपी प्रक्रिया के दौरान एक उप-समस्या से बाहर आया।

— Gphilip

केवल समता वाले एक पूर्णांक प्रोग्राम को रैखिक प्रोग्राम द्वारा हल किया जा सकता है।

— टी ....
स्रोत

यह अपने आप के लिए महत्वपूर्ण लग रहा था।

— T ....

मैं उस पूर्णांक कार्यक्रम को नहीं कहूंगा। यह पूर्णांक पर रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली है, जो हर्माइट सामान्य रूप की गणना करके कुशलता से हल करती है।

— शशो निकोलेव

@SashoNikolov एक पतित मामला है, लेकिन निश्चित रूप से एक वैध है।

— टी ....

नकारात्मक वोट क्यों?

— टी ....