क्या एक कुशलता से एक पोलीटॉप के ग्राफ में एक शीर्ष के पड़ोसी का नमूना लिया जा सकता है?

मैं एक polytope है $P$ द्वारा परिभाषित $\{ x : Ax \leq b, x \geq 0\}$ ।

प्रश्न: एक शीर्ष देखते हुए $v$ के $P$ , वहाँ के पड़ोसियों से समान रूप से नमूने के एक बहुपद समय एल्गोरिथ्म है $v$ के ग्राफ में $P$ ? (आयाम में बहुपद, समीकरणों की संख्या और $b$ का प्रतिनिधित्व । मैं मान सकता हूं कि समीकरणों की संख्या आयाम में बहुपद है।)

अपडेट: मुझे लगता है कि मैं यह दिखाने में सक्षम था कि यह एनपी-हार्ड है, मेरा जवाब देखें जो तर्क को समझाता है। (और $NP$ भार द्वारा , मेरा मतलब है कि एक बहुपद समय एल्गोरिथ्म $RP = NP$ साबित होगा ... निश्चित नहीं कि सही शब्दावली यहां क्या है।)

अद्यतन 2: के एक 2 लाइन सबूत नहीं है $NP$ -hardness (दाएं मिश्रित polytope दिया) और मैं इसे Khachiyan ने एक लेख को खोजने के लिए सक्षम था। विवरण और लिंक के लिए उत्तर देखें। :-D

समतुल्य समस्या :

टिप्पणियों में पीटर शोर ने बताया कि यह सवाल इस सवाल के बराबर है कि क्या हम किसी दिए गए पॉलीटॉप के कोने से समान रूप से नमूना ले सकते हैं। (मुझे लगता है कि तुल्यता इस प्रकार है: एक ही दिशा में, हम एक polytope से जा सकते हैं $P$ एक शीर्ष के साथ $v$ पर शिखर आंकड़ा करने के लिए $v$ , $P/v$ , और के कोने नमूने $P/v$ के पड़ोसियों के नमूने के बराबर है पर $v$ । दूसरी दिशा में, हम एक बहुभुज से एक उच्च आयाम में एक बहुभुज के शीर्ष पर जा सकते हैं और शीर्ष और आधार साथ शंकु जोड़कर $P$ $P$ $Q$ $v$ $P$ । फिर में $v$ के पड़ोसियों का नमूना के कोने के नमूने के बराबर है ।) $Q$ $P$

प्रश्न का यह सूत्रीकरण पहले पूछा गया है: /mathpro/319930/sampling-uniformly-from-the-vertices-of-a-polytope

— लोरेंजो नजत
स्रोत

मुझे आपके प्रश्न का उत्तर नहीं पता है, लेकिन मेरे ज्ञान में, स्पष्ट रूप से दिए गए एक पोलितोप के शीर्ष को समान रूप से नमूना करने के लिए कोई ज्ञात एनपी-कठोरता नहीं है। उदाहरण के लिए, लगभग नमूना चक्र एनपी-हार्ड है। हालांकि, अगर कुछ रेखीय कार्यक्रम थे, जिनके कोने चक्र को कूटबद्ध करते हैं, तो बहुत संभावना है कि आप चक्र की लंबाई को अनुकूलित कर सकते हैं, और इस तरह हैमिल्टनियन-साइकिल को हल कर सकते हैं।

— हेंग गुओ

एक और टिप्पणी यह है कि भले ही आपके प्रश्न का सकारात्मक उत्तर हो, लेकिन यह वर्टिस के लिए एक समान नमूना नहीं देता है (0-1 पॉलीटोप अनुमान)। अधिकांश दिलचस्प मामलों में पॉलीटोप का कंकाल नियमित नहीं है, और डिग्री में भिन्नता हो सकती है।

— हेंग गुओ

@HengGuo फिर से टिप्पणी के लिए धन्यवाद, वे बहुत उपयोगी हैं। क्या आप एक अच्छा उदाहरण जानने के लिए होते हैं जहां डिग्री तेजी से बदलती हैं? (मुझे आश्चर्य नहीं है कि यह सामान्य पॉलीटॉप्स के लिए हो सकता है; आपके सिर के ऊपर से एक के बारे में पता होने पर यह एक कॉम्बिनेटोरियल उदाहरण के लिए अच्छा होगा।)

— लोरेंजो नाज्ट

एक द्विदलीय ग्राफ के स्वतंत्र सेट पॉलीटॉप पर विचार करें। दो समरूपता (दो स्वतंत्र सेट) जुड़े हुए हैं यदि उनका सममित अंतर एक जुड़े उपसमूह को प्रेरित करता है। अब, एक द्विदलीय ग्राफ लें, जिसके एक तरफ केवल दो कोने हैं,

दूसरी तरफ प्रत्येक शीर्ष पर जुड़ता है और

केवल एक ही होता है। स्वतंत्र सेटों पर विचार करें

और

।

v_{1}

$v_1$

v_{2}

$v_2$

{v_{1}}

$\{v_1\}$

{v_{2}}

$\{v_2\}$

— हेंग गुओ

समान रूप से एक पॉलीटॉप के दिए गए शीर्ष के पड़ोसी कोने को समान रूप से नमूना करना एक समान समस्या है जो समान रूप से एक पॉलीटॉप के यादृच्छिक वर्टेक्स का नमूना लेती है। एक शंकु बंद करें जो असीम रूप से शीर्ष के करीब है। एक में एक नया पॉलीटोप होता है, और यदि आप इस नए पॉलीटॉप का एक शीर्ष नमूना कर सकते हैं, तो एक मूल पॉलीटॉप का एक पड़ोसी शीर्ष नमूना कर सकता है। मैं अनुमान लगाता हूं कि यह लगभग बीपीपी में है, लेकिन मुझे ऐसा कोई कागज नहीं मिला जो यह साबित करता हो।

— पीटर शोर

$NP$

सबसे पहले, एक पॉलीहेड्रोन के सभी कोने उत्पन्न करने के पृष्ठ 4 के तल पर एक ग्राफ के संचलन पॉलीटॉप को याद करना कठिन है ।

यह निर्देशित सरल चक्रों के साथ द्विदिश पत्राचार में लंबवत हैं। इसलिए, वे JVV प्रस्ताव 5.1 द्वारा नमूना या गणना करना कठिन है । :-D

इन खोजशब्दों से लैस, मैं खचियान द्वारा पॉलीहेड्रल कॉन्स के ट्रांसवर्सल हाइपरग्राफ और फैमिलीज के प्रमेय 1 के रूप में नमूना परिणाम की कठोरता का पता लगाने में सक्षम था ।

संपादित करें: मैंने नीचे तर्क लिखा है, और यह सही प्रतीत होता है। हालाँकि, बहुत सरल तर्क है, जिसे मैं यहाँ रेखांकित करूँगा:

a) उत्तल पॉलीहेड्रॉन (Fudauda et al।) के सभी कोने और सभी चेहरों को सूचीबद्ध करने के लिए बैकट्रैक एल्गोरिदम का विश्लेषण करके, यह बहुधा निम्नलिखित समस्या को हल करने के लिए दृढ़ता से NP- कठिन है:

$Ax = b , x \geq 0$ $\mathbb{R}^n$ $S \subseteq n$

$v$ $P$ $S$

$y_{ik}$ $i \in S$ $k = 1, \ldots, d$ $0 \leq y_{ik} \leq x_i$ $P_{S,d}$ $d |supp(x) \cap S|$

$2^{d | supp(x) \cap S|}$ $supp$

$d$ $P_{S,d}$ $S$

इसके विभिन्न विस्तार प्रतीत होते हैं। जब लेखन हो जाएगा तो मैं एक लिंक के साथ अपडेट करूंगा।

(पुराना तर्क यहाँ हुआ करता था - यह संपादन इतिहास में है। मैंने इसे हटा दिया है क्योंकि यह बहुत लंबा है और प्रश्न का सही उत्तर खोजने में हस्तक्षेप करेगा।)

— लोरेंजो नजत
स्रोत

H_{1}

$H_1$

H_{0}

$H_0$

l e a v e s

$leaves$

d

$d$

| H_{0} |

$|H_0|$

| H_{1} |

$|H_1|$

इसमें कुछ गड़बड़ जरूर होगी। यदि कोई ऐसा पॉलीटॉप है जिसका सिरा लसो और सरल चक्र हैं, तो क्या हम इस पॉलीटॉप के ऊपर किसी भी रैखिक कार्य को अधिकतम करने के लिए रैखिक प्रोग्रामिंग का उपयोग नहीं कर सकते हैं? और क्या हम बहुपद समय में एक फैले हुए लस्सो को नहीं खोज पाएंगे?

— पीटर शोर

@PeterShor मुझे लगता है कि ऐसा नहीं होता है क्योंकि पॉलीटॉप हाइपरप्लेन के अंदर रहता है जो कि किनारे के चर की राशि को एक पर सेट करके निर्धारित होता है। तो यह है कि कार्यात्मक पॉलीटॉप पर स्थिर है। किनारों की संख्या का प्रतिनिधित्व करने वाला कार्य वेक्टर के समर्थन का आकार है, जो इस पॉलीटॉप पर गैर रेखीय है।

— लोरेंजो नजट

@PeterShor मैंने एक प्रमाण जोड़ा कि 'किनारों की संख्या' फ़ंक्शन रैखिक नहीं हो सकता है, नीचे चित्र देखें।

— लोरेंजो नजट