समूह समरूपता समस्या के लिए सबसे कठिन उदाहरण क्या है?

Question

दो समूहों और को isomorphic iff कहा जाता है, से तक एक समरूपता मौजूद है जो कि विशेषण है। समूह समरूपता समस्या निम्नानुसार है: दो समूह दिए गए हैं, जांचें कि वे समरूपता हैं या नहीं। एक समूह को इनपुट करने के अलग-अलग तरीके हैं, ज्यादातर दो का उपयोग केली टेबल और एक जनरेटिंग सेट द्वारा किया जाता है। यहां मैं मान रहा हूं कि इनपुट समूह उनकी केली टेबल द्वारा दिए गए हैं। अधिक औपचारिक रूप से:$(G,\cdot)$$(H, \times)$$G$$H$

$\textbf{Group Isomorphism Problem}$

$\textbf{Input : }$ दो समूह और ।$(G,\cdot)$$(H,\times)$

$\textbf{Decide : }$ Is ?$G \cong H$

हम मान लेते हैं कि$n = |G| = |H|$

समूह Isomorphism समस्या जब केली तालिका द्वारा दिए गए इनपुट समूहों को सामान्य रूप से में जाना नहीं जाता है । हालाँकि समूह की कक्षाएं हैं जैसे कि एबेलियन ग्रुप क्लास जिसके लिए समस्या को बहुपद समय में जाना जाता है, ऐसे समूह जो एक एबेलियन समूह, सरल समूहों आदि का विस्तार होते हैं। यहां तक ​​कि निलेप्टेंट वर्ग दो समूहों के लिए, कोई एल्गोरिथ्म ब्रूट बल से बेहतर नहीं है। मालूम।$\textbf{P}$

समूह समरूपता के लिए एक क्रूर बल एल्गोरिथ्म टारजन द्वारा दिया गया है, जो इस प्रकार है। बता दें कि और दो इनपुट ग्रुप हैं और , ग्रुप का एक जेनरेटिंग सेट है । यह एक सर्वविदित तथ्य है कि प्रत्येक परिमित समूह आकार के एक सेट को स्वीकार करता है और जो बहुपद समय में पाया जा सकता है। पैदा सेट की छवियों की संख्या से समरूपता में को है कई। अब, जांचें कि प्रत्येक संभावित होमोमोर्फिज़्म बायजेक्टिव है या नहीं। समग्र रनटाइम ।$G$$H$$S$$G$$\mathcal{O}(\log n)$$S$$G$$H$$n^{\log n}$$n^{\log n + \mathcal{O}(1)}$

मुझे पहले समूह के केंद्र को परिभाषित करने दें :$G$

$$Z(G) = \{g \in G \mid ag=ga, \forall a \in G\}$$

$Z(G)$G G G / Z ( G ) समूह के तत्वों को दर्शाता है जो समूह के अन्य सभी तत्वों के साथ आवागमन पर । जिन समूहों के लिए (/ भागफल के लिए उपयोग किया जाता है) एबेलियन को एक निस्पंदक वर्ग दो समूहों के रूप में जाना जाता है। मेरे लिए यह प्रतीत होता है कि समूह के समसामयिक समस्या को हल करने के लिए शून्य वर्गीय दो समूह सबसे कठिन उदाहरण हैं। "सबसे कठिन उदाहरण" का अर्थ है: उस मामले को हल करना उन शोधकर्ताओं को अनुमति देगा जो समूह सिद्धांत में काम करते हैं जो बड़ी संख्या में समूहों की आइसोमॉर्फिज़्म समस्या को हल करते हैं।$G$$G$$G/Z(G)$

प्रारंभ में, मैंने सोचा कि सरल समूह सबसे कठिन उदाहरण हैं क्योंकि वे सभी समूहों के ब्लॉक का निर्माण कर रहे हैं, लेकिन बाद में पता चला कि साधारण समूहों के लिए आइसोमॉर्फिज्म की समस्या ।$\textbf{P}$

प्रश्न : समूह समरूपता समस्या के लिए सबसे कठिन उदाहरण क्या है?

Comments

नमस्ते, क्या आप समूह आइसोमोर्फिज्म समस्या (इनपुट क्या है, आउटपुट क्या है) और / या एक संदर्भ की परिभाषा को फिर से समझने के लिए अपने प्रश्न को थोड़ा विस्तारित करने पर विचार कर सकते हैं? क्या आप किसी समूह के केंद्र की परिभाषा को फिर से बनाने पर विचार कर सकते हैं? अंतिम, क्या आप स्पष्ट कर सकते हैं कि "हल करने की अनुमति दें" ("हमें"?) एक कमी के अस्तित्व के बारे में दावा है?

— a3nm

Answer 1

$p$ वर्ग 2 और प्रतिपादक के -समूह व्यापक रूप से समूह समाकृतिकता (का सबसे कठिन मामला माना जाता है )। ( , हमें घातांक 4 पर विचार करने की आवश्यकता है, क्योंकि प्रतिपादक 2 के सभी समूह abelian हैं - पाठक के लिए आसान हैं।) हालांकि सामान्य GpIso से इस वर्ग के समूहों में कोई कमी नहीं है (हालाँकि बिंदु 0.5 नीचे देखें) ), इस विश्वास के कई कारण हैं। मुझे उनमें से कुछ की रूपरेखा यहाँ दें।$p$$p > 2$$p=2$

0) व्यावहारिक अनुभव (देखें न्यूमैन, ईक, ओ ब्रायन, होल्ट, तोप, विल्सन, ... जो एल्गोरिदम जीएपी और मैग्मा में कार्यान्वित होते हैं) द्वारा कागजात देखें।

0.5) [संपादित करें: जोड़ा गया 8/7/19] कटौती। जब इस तरह के -ग्रुप्स को मैथबीज़ के सेट्स द्वारा मैथबीब पर सेट करके दिए जाते हैं , तो समस्या [ जी-क़ियाओ ’19 ] है। इसके अलावा (सीएफ बिंदु (4) नीचे), की समाकृतिकता प्रतिपादक के -समूह और वर्ग के समाकृतिकता पाली समय में कम कर देता है प्रतिपादक के -समूह और वर्ग 2 (ibid।)।$p$$\mathbb{F}_p$$\mathsf{TI}$ p p c < p p p$p$$p$$c < p$$p$$p$

1) संरचना (सॉल्व करने के लिए कम करें, फिर ग्रूप के लिए)। प्रत्येक परिमित समूह में एक अद्वितीय अधिकतम संमिलित सामान्य उपसमूह होता है, जिसे सॉल्वेबल रेडिकल कहा जाता है, जिसे कहा जाता है । में कोई एबेलियन सामान्य उपसमूह नहीं है, और इस तरह के समूहों के आइसोमोर्फिज्म को व्यवहार में कुशलता से संभाला जा सकता है ( तोप-होल्ट जे। सिम। कॉम्पुट। 2003 ) और सिद्धांत रूप में ( बाबाई-कोडेनेसी-किआओ आईसीएएलपी 2012 )। यहां तक ​​कि ऐसे समूहों के लिए जहां एबेलियन है, इनमें से कुछ को समय ( G-Qiao CCC '14, SICOMP '17 ) में संभाला जा सकता है - इसलिए, काफी द्विपद नहीं, लेकिन से बहुत करीब$p$$Rad(G)$$G/Rad(G)$आर एक घ ( जी ) एन हे ( लॉग लॉग एन ) एन लॉग इन करें n पी पी$Rad(G)$$n^{O(\log \log n)}$$n^{\log n}$। इस प्रकार मुख्य बाधा सॉल्वेबल (सामान्य उप) समूह प्रतीत होती है। अब, सॉल्व करने योग्य समूहों के भीतर, बहुत सारी संरचना है - इस तथ्य से शुरू करना कि प्रत्येक सॉल्व करने योग्य समूह अपने सिलो -सुबग्रुप्स का एक बुना हुआ उत्पाद है - और ऐसा लगता है कि सबसे कठिन मामले ग्रुप हैं।$p$$p$

2) गिनती। आदेश के समूहों की संख्या है , जहां किसी भी प्रधानमंत्री के सबसे बड़े प्रतिपादक है विभाजन ( Pyber 1993 )। आदेश के -groups की संख्या कम से कम ( Higman 1960 ) है। तो आप देखते हैं कि घातांक मिलान में अग्रणी शब्दों का गुणांक है। इस अर्थ में "अधिकांश" समूह ग्रूप्स (यहां तक ​​कि कक्षा 2 और एक्सपोनेंट ) हैं। एक दीर्घकालिक अनुमान है जो कहता है कि पूर्ववर्ती कमजोर अर्थों में "अधिकांश" को आदेश के समूहों के अनुपात में कहने के लिए मजबूत किया जा सकता है$n$$\leq n^{(\frac{2}{27} + o(1))\mu(n)^2}$$\mu(n)$$n$$p$$n=p^m$$p^{(\frac{2}{27} + o(1))m^2}$पीपी≤nपीएन→∞$p$$p$$\leq n$ जो -groups हैं वे 1 से _ ।$p$$n \to \infty$

3) सार्वभौमिकता (/ जंगलीपन)। ग्रूप्स का एक वर्गीकरण देने से किसी भी परिमित समूह (या यहां तक ​​कि आर्टिअन बीजगणित) के सभी मॉड्यूलर निरूपण का वर्गीकरण होगा जो कि विशेषता ( सर्गेइचुक 1977 ) में है।$p$$p$

4) लचीलापन। क्यों वर्ग 2 और नहीं उच्च वर्ग की -समूह? (ध्यान दें कि लगभग-अधिक से अधिक वर्ग के -समूह,, तथाकथित "छोटे coclass" अनिवार्य रूप से वर्गीकृत किया गया है, Eick और Leedham-ग्रीन 2006 , भी जवाब में से कुछ देखने के लिए यहाँ किसी भी करने के लिए।)$p$$p$पी पी पी सी < पी$p$-ग्रुप एक श्रेणीबद्ध लेट रिंग को जोड़ सकता है, जहां ले रिंग में ब्रैकेट समूह में कम्यूटेटर से मेल खाती है। समूह में सहानुभूति का अर्थ है कि कोष्ठक के लिए जैकोबी पहचान, इस प्रकार एक वास्तविक लेय रिंग को जन्म देती है। हालांकि, ध्यान दें कि जब समूह 2 कक्षा का होता है, तो जैकोबी पहचान तुच्छ रूप से संतुष्ट होती है (इसके सभी शब्द स्वचालित रूप से 0 हैं), इसलिए यह संरचना पर कोई अतिरिक्त बाधा नहीं डालता है। यह मूल रूप से बस एक मनमाना तिरछा-सममित बिलिनियर मानचित्र से मेल खाता है। के लिए प्रतिपादक के -समूह , वहाँ भी एक कमी है वर्ग से वर्ग 2 के लिए।$p$$p$$c < p$

Comments

क्या आप कक्षा 2 की परिभाषा को संपादित कर सकते हैं? ग्रूप्स पर विकिपीडिया पेज में केवल निपल्स क्लास का उल्लेख किया गया है, क्या आपके मन में क्लास की वही धारणा है? $p$

— विंसेंट

हाँ, निस्पृहता वर्ग।

— जोशुआ ग्रोको

स्पष्टीकरण के लिए धन्यवाद!

— विंसेंट