सर्वश्रेष्ठ ज्ञात विषम पीसीपी आकार / 3-सैट

Question

संभाव्य रूप से जाँच योग्य साक्ष्यों के आकार पर सबसे अधिक ज्ञात असममित ऊपरी सीमाएं क्या हैं? आदर्श रूप से, मैं इस व्यापक प्रश्न पर एक समकालीन सर्वेक्षण की तलाश कर रहा हूं, लेकिन अगर कोई नहीं है, तो मुझे विशेष रूप से 3-SAT की अनुचितता में दिलचस्पी है।

7/8 + ε-3-SAT को इस वादे के साथ 3-SAT होने दें कि यदि खंडों के 7/8 + of अंश संतोषजनक हैं, तो उदाहरण संतोषजनक है। 7/8 + best-3-SAT के साथ क्लॉस के साथ 3-सैट के सर्वश्रेष्ठ ज्ञात कटौती क्या हैं ? उदाहरण के लिए, क्या क्लॉज़ का उपयोग करने में कमी आई है ? ($n$$O(n \log n)$$O(n)$क्लॉस एक खुली समस्या है।) यूनिफ़ॉर्म क्वासिलिनियर साइज़ NC में कमी? पर निर्भरता क्या है , जब सहित ? एक ज्ञात रैखिक आकार (पर निर्भर है ) (1-ε) की कमी-सैट -3 7/8 + ε-3-सैट करने के लिए, और यदि नहीं, तो हम (1-ε) के लिए बेहतर सीमा क्या है -3 -बैठ गया? यहां तक ​​कि एक आंशिक उत्तर भी दिलचस्प होगा।$ε$$ε→0$$ε$

इसके अलावा, जबकि यह शायद सवाल को बहुत व्यापक बना देगा, मुझे यह उल्लेख करना चाहिए कि यहां एक और महत्वपूर्ण मुद्दा स्थिर कारक हैं, जो कि लंबे कोड जैसी तकनीकों के कारण आमतौर पर पर्याप्त रूप से बड़े होते हैं।

Answer 1

PCPs के लिए अत्याधुनिक कला जो 3-SAT (यहां तक ​​कि उप-स्थिर ) दाना मर्कोवित्ज़ और रैन रेज़ की हैं , जो लंबाई । मुझे नहीं पता, हालांकि, अगर किसी ने लंबाई की सटीक निर्भरता की गणना करने की कोशिश की तो , या कटौती की गणना की जटिलता। उनका मुख्य तकनीकी परिणाम बाद में इरित दिनूर और प्रह्लाद हर्ष द्वारा सरल किया गया ।$(\frac{7}{8}+\varepsilon)$$\varepsilon$$n^{1 + o(1)}$$\varepsilon$

यदि आप लगातार कम संख्या में पीसीपी में रुचि रखते हैं, जो आवश्यक रूप से इष्टतम कठोरता-की-अनुमानित कटौती (उर्फ "उच्च-त्रुटि पीसीपी") नहीं देते हैं, तो अत्याधुनिक परिणाम पीसीपी की लंबाई एली बेन-सासन और मधु सूडान और दिनूर के साथ इसके सुधार के कारण । फिर से, मुझे नहीं पता कि क्या किसी को भी कमी की गणना करने की सटीक जटिलता है।$n\cdot \mathrm{poly}\log n$

Comments

धन्यवाद; दोनों भाग सहायक थे। मैं उस quasilinear size O (1) प्रश्नों के साथ PCP इकट्ठा करता हूं और निरंतर त्रुटि एक खुली समस्या बनी हुई है।

— दिमित्रो तारणोव्स्की

नहीं, यह वास्तव में बेन-सासन और सूडान के काम से है। ऐसे पीसीपी को उप-स्थिर त्रुटि के साथ प्राप्त करना एक खुली समस्या है।

— या मीर

मैंने कुछ और देखा और दिनूर 2007 ने दिखाने के लिए दूसरे पैराग्राफ में आपके द्वारा उद्धृत पेपर का विस्तार किया। । अगर मैं सही ढंग से समझ, यह कुछ quasilinear आकार के लिए 3-सैट की कमी का तात्पर्य 3-सैट, लेकिन परिणाम आप पहले पैराग्राफ में उद्धृत nonredundant क्योंकि यह हमें देता है और अधिक। $SAT ∈ PCP_{\frac{1}{2},1}[\log_2 n + O(\log \log n), O(1)]$$1-ε$$7/8+ε$

— दिमित्रो तारणोवस्की

हाँ, यह सही है। मैं दिनूर के परिणाम का उल्लेख करना भूल गया, मैं इसे उत्तर में जोड़ूंगा।

— या मीर