यह तय करने की समस्या कि क्या एक मोनोटोन सीएनएफ का मतलब एक मोनोटोन डीएनएफ है

निम्नलिखित निर्णय समस्या पर विचार करें

इनपुट : एक मोनोटोन CNF और एक मोनोटोन DNF । $\Phi$ $\Psi$

प्रश्न : क्या $\Phi \to \Psi$ एक तनातनी है?

निश्चित रूप से आप इस समस्या को $O(2^n \cdot \mathrm{poly}(l))$ -time में हल कर सकते हैं , जहाँ $n$ में चर की संख्या है और इनपुट की लंबाई है। दूसरी ओर, यह समस्या सह-पूर्ण है। इसके अलावा, एक कमी जो coNP-पूर्णता स्थापित करती है, यह भी दिखाती है कि, जब तक SETH विफल नहीं होता है, तब तक कोई -समय इस समस्या के लिए एल्गोरिथ्म (यह किसी भी सकारात्मक )। यहाँ यह कमी है। चलो एक (गैर लय) CNF हो सकता है और जाने अपनी चर हो। द्वारा हर सकारात्मक घटना को बदलें $\Phi \to \Psi$ $l$ $O(2^{(1/2 - \varepsilon)n} \mathrm{poly}(l))$ $\varepsilon$ $A$ $x$ $x$ $y$ और द्वारा की हर नकारात्मक घटना । हर वेरिएबल के लिए ऐसा ही करें। परिणामी मोनोटोन CNF को । यह देखना आसान है कि संतोषजनक है iff लिए एक नहीं है। यह कमी 2 के एक कारक द्वारा चर की संख्या को बढ़ाती है, जो उपरोक्त उल्लिखित (SETH- आधारित) निम्न बाउंड है। $x$ $z$ $\Phi$ $A$ $\Phi \to yz \lor \ldots$ $2^{n/2}$

इसलिए $2^{n/2}$ और $2^n$ -टाइम के बीच एक अंतर है । मेरा सवाल है कि क्या SETH से कोई बेहतर एल्गोरिदम या बेहतर कमी ज्ञात है?

समस्या से संबंधित केवल दो टिप्पणी:

एक मोनोटोन डीएनएफ का तात्पर्य एक उलटी समस्या है, जो मोनोटोन सीएनएफ बहुपत्नी समय में तुच्छ है।
दिलचस्प है, तय की समस्या और की गणना एक ही समारोह Fredman और Khachiyan (एक लय वियोगी सामान्य फार्म का Dualization, एल्गोरिदम 21 के जर्नल (1996), की जटिलता पर की वजह से अर्ध बहुपद समय में हल किया जा सकता कोई । 3, पीपी। 618–628, डोई: 10.1006 / jagm.1996.0062 ) $\Phi$ $\Psi$

exp-time-algorithms boolean-formulas fine-grained

— साशा कोज़चिंस्की
स्रोत

SETH की मानें, तो समस्या किसी भी लिए समय में नहीं है । $O\bigl(2^{(1-\epsilon)n}\mathrm{poly}(l)\bigr)$ $\epsilon>0$

पहले, मुझे यह दिखाने दो कि यह अधिक सामान्य समस्या के लिए सच है, जहां और मनमाना सूत्र हो सकते हैं। इस मामले में, TAUT से वैरिएबल की संख्या को संरक्षित करने वाली समस्या के लिए पॉली-टाइम ctt कमी है। चलो निरूपित सीमा समारोह Ajtai-Komlós-Szemerédi सॉर्टिंग नेटवर्क का उपयोग करते हुए, एक बहुपद-आकार के मोनोटोन सूत्र द्वारा लिखा जा सकता है, जो समय में में रचनात्मक होता है । $\Phi$ $\Psi$ $T^n_t(x_0,\dots,x_{n-1})$

T_{t}^{n} (x_{0}, \dots, x_{n - 1}) = 1 ⟺ | {i < n : x_{i} = 1} | \geq t .

$T^n_t(x_0,\dots,x_{n-1})=1\iff\bigl|\{i<n:x_i=1\}\bigr|\ge t.$

T_{t}^{n}

$T^n_t$

p o l y (n)

$\mathrm{poly}(n)$

बूलियन फॉर्मूला को देखते हुए , हम इसे प्रपत्र में लिखने के लिए डी मॉर्गन नियमों का उपयोग कर सकते हैं। जहाँ मोनोटोन है। तब एक टॉटोलॉजी है अगर और केवल अगर मोनोटोन का अर्थ है प्रत्येक लिए मान्य हैं , जहाँ $\phi(x_0,\dots,x_{n-1})$

ϕ^{'} (x_{0}, \dots, x_{n - 1}, \neg x_{0}, \dots, \neg x_{n - 1}),

$\phi'(x_0,\dots,x_{n-1},\neg x_0,\dots,\neg x_{n-1}),$

ϕ^{'}

$\phi'$

ϕ (x_{0}, \dots, x_{n - 1})

$\phi(x_0,\dots,x_{n-1})$

T_{t}^{n} (x_{0}, \dots, x_{n - 1}) \to ϕ^{'} (x_{0}, \dots, x_{n - 1}, N_{0}, \dots, N_{n - 1})

$T^n_t(x_0,\dots,x_{n-1})\to\phi'(x_0,\dots,x_{n-1},N_0,\dots,N_{n-1})$

t \leq n

$t\le n$

N_{i} = T_{t}^{n - 1} (x_{0}, \dots, x_{i - 1}, x_{i + 1}, \dots, x_{n - 1}) .

$N_i=T^{n-1}_t(x_0,\dots,x_{i-1},x_{i+1},\dots,x_{n-1}).$

बाएँ-से-सही निहितार्थ के लिए, चलो एक काम संतोषजनक होना , यानी, कम से कम के साथ वाले। वहाँ मौजूद है बिल्कुल लोगों के साथ । तब , इस प्रकार तात्पर्य । चूंकि यह एक मोनोटोन सूत्र है, इसलिए हमारे पास । दाएं-से-बाएं निहितार्थ समान हैं। $e$ $T^n_t$ $t$ $e'\le e$ $t$ $e'\models N_i\leftrightarrow\neg x_i$ $e'\models\phi$ $e'\models\phi'(x_0,\dots,x_{n-1},N_0,\dots,N_{n-1})$ $e\models\phi'(x_0,\dots,x_{n-1},N_0,\dots,N_{n-1})$

अब, मैं मूल समस्या पर लौटता हूँ। मैं निम्नलिखित दिखाऊंगा: यदि समस्या समय में हल हो रही है , तो किसी भी , -DNF-TAUT (या dally , -SAT) के लिए में हल है समय । इसका अर्थ है कि यदि SETH धारण करता है, तो यह । $2^{\delta n}\mathrm{poly}(l)$ $k$ $k$ $k$ $2^{\delta n+O(\sqrt{kn\log n})}\mathrm{poly}(l)$ $\delta\ge1$

तो, मान लें कि हमें -DNF जहां प्रत्येक लिए । हमने वेरिएबल्स को आकार में विभाजित किया है प्रत्येक। ऊपर दिए गए तर्क के अनुसार, एक उपशास्त्रीय है यदि और केवल तभी निहितार्थ हर लिए मान्य हैं -tuple , जहां किसी भी $k$

ϕ = \underset{i < l}{⋁} (\underset{j \in A_{i}}{⋀} x_{j} \land \underset{j \in B_{i}}{⋀} \neg x_{j}),

$\phi=\bigvee_{i<l}\Bigl(\bigwedge_{j\in A_i}x_j\land\bigwedge_{j\in B_i}\neg x_j\Bigr),$

| A_{i} | + | B_{i} | \leq k

$|A_i|+|B_i|\le k$

i

$i$

n

$n$

n^{'} = n / b

$n'=n/b$

b \approx \sqrt{k^{- 1} n \log n}

$b\approx\sqrt{k^{-1}n\log n}$

ϕ

$\phi$

\begin{matrix} (*) & \underset{u < n^{'}}{⋀} T_{t_{u}}^{b} (x_{b u}, \dots, x_{b (u + 1) - 1}) \to \underset{i < l}{⋁} (\underset{j \in A_{i}}{⋀} x_{j} \land \underset{j \in B_{i}}{⋀} N_{j}) \end{matrix}

$\tag{$*$}\bigwedge_{u<n'}T^b_{t_u}(x_{bu},\dots,x_{b(u+1)-1})\to \bigvee_{i<l}\Bigl(\bigwedge_{j\in A_i}x_j\land\bigwedge_{j\in B_i}N_j\Bigr)$

n^{'}

$n'$

t_{0}, \dots, t_{n^{'} - 1} \in [0, b]

$t_0,\dots,t_{n'-1}\in[0,b]$

j = b u + j^{'}

$j=bu+j'$ , , हम हम को आकार एक मोनोटोन CNF के रूप में लिख सकते हैं , इसलिए LHS of आकार का एक मोनोटोन CNF है । दाईं ओर, हम को आकार एक मोनोटोन DNF के रूप में लिख सकते हैं । इस प्रकार, distributivity का उपयोग कर, आरएचएस से प्रत्येक असंबद्ध आकार का एक एक लय DNF के रूप में लिखा जा सकता है , और पूरे आरएचएस आकार का एक DNF है । यह इस प्रकार है कि में आकार की हमारी समस्या का एक उदाहरण है

0 \leq j^{'} < b

$0\le j'<b$

N_{j} = T_{t_{u}}^{b - 1} (x_{b u}, \dots, x_{b u + j^{'} - 1}, x_{b u + j^{'} + 1}, \dots, x_{b (u + 1) - 1}) .

$N_j=T^{b-1}_{t_u}(x_{bu},\dots,x_{bu+j'-1},x_{bu+j'+1},\dots,x_{b(u+1)-1}).$

T_{t}^{b}

$T^b_{t}$

O (2^{b})

$O(2^b)$

(*)

$(*)$

O (n 2^{b})

$O(n2^b)$

N_{j}

$N_j$

O (2^{b})

$O(2^b)$

O (2^{k b})

$O(2^{kb})$

O (l 2^{k b})

$O(l2^{kb})$

(*)

$(*)$

O (l 2^{O (k b)})

$O(l2^{O(kb)})$

n

$n$ चर। धारणा के द्वारा, हम समय में इसकी वैधता की जाँच कर सकते हैं । हम सब के लिए इस चेक को दोहराने के विकल्पों , इस प्रकार कुल समय है जैसा दावा किया गया है।

O (2^{δ n + O (k b)} l^{O (1)})

$O(2^{\delta n+O(kb)}l^{O(1)})$

b^{n^{'}}

$b^{n'}$

\vec{t}

$\vec t$

O ((b + 1)^{n / b} 2^{δ n + O (k b)} l^{O (1)}) = O (2^{δ n + O (\sqrt{k n \log n})} l^{O (1)})

$O\bigl((b+1)^{n/b}2^{\delta n+O(kb)}l^{O(1)}\bigr)=O\bigl(2^{\delta n+O(\sqrt{kn\log n})}l^{O(1)}\bigr)$

हम समस्या के -चौड़े संस्करण पर विचार करके (S) ETH के साथ एक सख्त संबंध प्राप्त करते हैं: किसी भी , -MonImp को उस समस्या के प्रतिबंध का संकेत देते हैं जहां एक -CNF, और एक है -DNF। S (S) ETH को स्थिरांक इसी तरह, हमें स्पष्ट रूप से, $k\ge3$ $k$ $\Phi$ $k$ $\Psi$ $k$

\begin{aligned} s_{k} & = inf {δ : k - S A T \in D T I M E (2^{δ n})}, \\ s_{\infty} & = sup {s_{k} : k \geq 3} . \end{aligned}

$\begin{align*} s_k&=\inf\{\delta:k\text-\mathrm{SAT}\in\mathrm{DTIME}(2^{\delta n})\},\\ s_\infty&=\sup\{s_k:k\ge3\}. \end{align*}$

\begin{aligned} s_{k}^{'} & = inf {δ : k - M o n I m p \in D T I M E (2^{δ n})}, \\ s_{\infty}^{'} & = sup {s_{k}^{'} : k \geq 3} . \end{aligned}

$\begin{align*} s'_k&=\inf\{\delta:k\text-\mathrm{MonImp}\in\mathrm{DTIME}(2^{\delta n})\},\\ s'_\infty&=\sup\{s'_k:k\ge3\}. \end{align*}$

s_{3}^{'} \leq s_{4}^{'} \leq \dots \leq s_{\infty}^{'} \leq 1

$s'_3\le s'_4\le\dots\le s'_\infty\le1$ SAT मामले में जैसा है। हमारे पास और प्रश्न में डबल-चर कमी अब, अगर हम साथ लगातार ब्लॉक आकार ऊपर निर्माण लागू , हम प्राप्त इसलिए विशेष रूप से, SETH बराबर है, और ETH सभी लिए बराबर है ।

s_{k}^{'} \leq s_{k},

$s'_k\le s_k,$

s_{k} \leq 2 s_{k}^{'} .

$s_k\le2s'_k.$

b

$b$

s_{k} \leq s_{b k}^{'} + \frac{\log (b + 1)}{b},

$s_k\le s'_{bk}+\frac{\log(b+1)}b,$

s_{\infty} = s_{\infty}^{'} .

$s_\infty=s'_\infty.$

s_{\infty}^{'} = 1

$s'_\infty=1$

s_{k}^{'} > 0

$s'_k>0$

k \geq 3

$k\ge3$

— एमिल जियाबेक 3.0
स्रोत

आपके उत्तर के लिए धन्यवाद! मैं उत्सुक हूँ कि क्या इस निर्माण में और लगातार गहराई देना संभव है ? अर्थात्, मुझे पता नहीं है कि क्या सब-एक्सपेन्शनल-साइज कंटिन्यू-डेप्थ मोनोटोन बुलियन फॉर्मूले (या यहां तक कि नॉन-मोनोटोन सर्किट) (विशेष रूप से अधिकांश के लिए) के लिए जाने जाते हैं? बेशक वहाँ एक गहराई के लिए कम बाध्य- , लेकिन, कहते हैं, आकार ठीक होगा।

Φ

$\Phi$

Ψ

$\Psi$

T_{k}^{n}

$T^n_k$

2^{n^{Ω (1 / d)}}

$2^{n^{\Omega(1/d)}}$

d

$d$

2^{\sqrt{n}}

$2^{\sqrt{n}}$

— साशा कोज़ाचिंस्की

T_{k}^{n}

$T^n_k$ , और सामान्य रूप से बहुपद-आकार के सूत्रों (यानी, NC ^ 1 में) के , गहराई के आकार के सर्किट होते हैं, । उदाहरण के लिए देखें cstheory.stackexchange.com/q/14700 । मुझे यह सोचना होगा कि क्या आप उन्हें एकरस बना सकते हैं, लेकिन यह प्रशंसनीय लगता है।

d

$d$

2^{n^{O (1 / d)}}

$2^{n^{O(1/d)}}$

— एमिल जेकाबेक 3.0

ठीक। सबसे पहले, जेनेरिक कंस्ट्रक्शन मोनोटोन सेटिंग में ठीक काम करता है: यदि किसी फ़ंक्शन में पॉली-साइज़ मोनोटोन फ़ार्मुले हैं, तो इसकी गहराई- मोनोटोन सर्किट्स आकार किसी भी । दूसरा, विशेष रूप से, मोनोटोन गहराई- सर्किटों का आकार को आकार के खंडों में विभाजित करके इनपुट का निर्माण करना आसान है ।

d

$d$

2^{n^{O (1 / d)}} p o l y (n)

$2^{n^{O(1/d)}}\mathrm{poly}(n)$

d \geq 2

$d\ge2$

T_{k}^{n}

$T^n_k$

3

$3$

2^{O (\sqrt{n \log n})}

$2^{O(\sqrt{n\log n})}$

Θ (\sqrt{n \log n})

$\Theta(\sqrt{n\log n})$

— एमिल जेकाबेक 3.0

दरअसल, इस विचार को थोड़ा और आगे बढ़ाते हुए, यह मूल प्रश्न का उत्तर प्रदान करता है: SETH को मानते हुए, निचली सीमा पहले से ही मोनोटोन CNF और मोनोटोन DNF के लिए है। मैं इसे बाद में लिखूंगा।

Φ

$\Phi$

Ψ

$\Psi$

— एमिल जेकाबेक 3.0

मुझे लगता है कि आप सभी चर को ब्लॉक में विभाजित कर सकते हैं और फिर प्रत्येक लिए । आप प्रत्येक थ्रेशोल्ड फ़ंक्शन के लिए -Size CNF का उपयोग कर सकते हैं । लेकिन फिर एक दाहिने हाथ पर आप DNF नहीं, लेकिन एक गहराई -3 सूत्र होगा ...

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

x^{1}, \dots x^{\sqrt{n}}

$x^1, \ldots x^{\sqrt{n}}$

T_{k_{1}}^{\sqrt{n}} (x^{1}) \land \dots \land T_{k_{\sqrt{n}}}^{\sqrt{n}} (x^{\sqrt{n}}) \to ϕ^{'}

$T^{\sqrt{n}}_{k_1}(x^1)\land \ldots \land T^{\sqrt{n}}_{k_\sqrt{n}}(x^{\sqrt{n}}) \to \phi^\prime$

k_{1} + \dots + k_{\sqrt{n}} \leq n

$k_1 + \ldots + k_{\sqrt{n}} \le n$

2^{\sqrt{n}}

$2^{\sqrt{n}}$

— साशा Kozachinskiy