गैर-तुलनीय प्राकृतिक संख्या

Question

"नाम सबसे बड़ी संख्या का खेल" दो खिलाड़ियों को गुप्त रूप से एक संख्या लिखने के लिए कहता है, और विजेता वह व्यक्ति होता है जिसने बड़ी संख्या लिखी होती है। खेल आमतौर पर खिलाड़ियों को एक बिंदु पर मूल्यांकन किए गए कार्यों को लिखने की अनुमति देता है, इसलिए नीचे लिखना भी एक स्वीकार्य बात होगी।$2^{2^{2^{2}}}$

व्यस्त ऊदबिलाव फंक्शन का मान, , निर्धारित नहीं किया जा सकता है के बड़े मूल्यों के लिए (ZFC, या किसी भी उचित संगत अक्षीय प्रणाली में) । विशेष रूप से, इस कागज के अनुसार निर्धारित नहीं किया जा सकता है । हालाँकि, इसका मतलब यह नहीं है कि हम व्यस्त बीवर फ़ंक्शन के मूल्यों की तुलना नहीं कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, हम यह साबित कर सकते हैं कि सख्ती से एकरस है ।$BB(x)$$x$$BB(10^4)$$BB(x)$

मान लीजिए कि हम खिलाड़ियों को प्राथमिक कार्यों, प्राकृतिक संख्याओं और व्यस्त बीवर फ़ंक्शन की रचनाओं से संबंधित अभिव्यक्ति लिखने की अनुमति देते हैं। क्या दो अभिव्यक्तियाँ हैं जो दो खिलाड़ी लिख सकते हैं जैसे कि हम ZFC में साबित कर सकते हैं कि ZFC में विजेता का निर्धारण असंभव है (ZFC सुसंगत है)?

संपादित करें: मूल रूप से इस सवाल ने कहा "... कम्प्यूटेशनल कार्यों, प्राकृतिक संख्या और व्यस्त बीवर फ़ंक्शन के मनमाने संयोजन।"

अगर हम को के मान पर लेते हैं, तो [इस वेबसाइट पर कुछ बड़ी-बड़ी और अकथनीय] और यदि यह नहीं है, तो और अतुलनीय हैं।$f(x)$$3$$BB(x) >$$7$$f(10^4)$$6$

यह मुझे संतुष्ट नहीं करता मुख्यतः क्योंकि कोई इस खेल में उपयोग करने के लिए के लिए एक उचित कार्य नहीं है। मैं यह नहीं देखता कि इस बारे में अपने अंतर्ज्ञान को कैसे वाक्यांश दिया जाए, इसलिए मैंने टुकड़ा-टुकड़ा कार्यों से बचने के लिए प्रश्न को प्रतिबंधित कर दिया है।$f$

Comments

क्या की अनिर्वायता को व्यक्तिगत बिट्स के लिए बढ़ाया जा सकता है? यदि ऐसा है, तो आपको बस कुछ करना होगा जैसे कि के 3 सबसे कम महत्वपूर्ण बिट की तुलना करें 8 वीं सबसे कम महत्वपूर्ण बिट के साथ। B B ( 10 4$BB(10^4)$$BB(10^4)$

— mhum

@ मम जैसे सवाल पेचीदा हैं क्योंकि का मूल्य वास्तव में निर्भरता को कूट रहा है। ऐसे एनकोडिंग हैं जिनके लिए हमेशा उदाहरण के लिए होती है। मेरी समझ यह है कि एन्कोडिंग के आधार पर उन पंक्तियों के साथ सभी प्रश्न या तो तुच्छ रूप से गणना योग्य या खुले हैं। बी बी ( एक्स $BB(x)$$BB(x)$

— स्टेला बिडरमैन

इस पोस्ट में उत्तर के अनुसार: cstheory.stackexchange.com/questions/9652/… , ऐसा लगता है जैसे बीबी वास्तव में सख्ती से नीरस है

— Avi Tal

इस तरह के खेल खेलने की कला नियमों को मोड़ने के लिए है, इसलिए मुझे नहीं लगता कि यह कहना कि कोई समारोह अनुचित है। यदि हम खेल खेलते हैं, तो मैं निश्चित रूप से सबसे घृणित कार्य के साथ आपको मारूंगा जो मैं सोच सकता हूं (और मैं एक तर्कशास्त्री हूं)।

— बाउर

Answer 1

जब आप "अयोग्य" कहते हैं, तो मेरा मानना ​​है कि यह ZFC जैसे सिद्धांत से स्वतंत्र है। (प्राकृतिक संख्या एम , एन के लिए ) जैसे बयान होंगे जो जेडएफसी द्वारा तय नहीं किए गए हैं, मान लें कि जेडएफसी लगातार है। क्योंकि अन्यथा हम ऐसे बयानों के ZFC में प्रमाणों की खोज करके फ़ंक्शन B की गणना कर सकते हैं ।

$$B(m)>n$$ $m$$n$$B$

चूंकि पूरा ट्यूरिंग है वहाँ कुछ ट्यूरिंग मशीन है Φ कोन (ZFC) के साथ$B$$\Phi$$\iff$ ऑरेकल बी (इनपुट 0, कहते हैं) और Z कॉन (ZFC) केसाथ स्वीकार करता है$\Phi$$B$$\neg$$\iff$ खारिज कर दिया।$\Phi$

अब यह सोचते हैं कि वास्तव में कोन (ZFC) सच है कि हम जानते हैं स्वीकार करता है और वहाँ तथ्यों के कुछ संग्रह है बी ( मीटर मैं ) = n मैं , 1 ≤ मैं ≤ कश्मीर कि गणना में इस्तेमाल किया गया था (हम इसे इतना है कि निर्धारित कर सकते हैं अप oracle का उपयोग इस तरह से काम करता है)। फिर k Σ मैं = 1 ( बी ( मीटर मैं ) - n मैं ) 2 > 0 झूठी है, लेकिन इस तथ्य ZFC में साध्य नहीं है, अन्यथा ZFC अपनी ही स्थिरता साबित हो सकता है। बेशक यह k के रूप में फिर से लिखा जा सकता है $\Phi$$B(m_i)=n_i$$1\le i\le k$

$$\sum_{i=1}^k (B(m_i)-n_i)^2>0$$ और इतने यकीनन (*) एक प्रदान करता हैहाँअपने प्रश्न का उत्तर। $$\sum_{i=1}^k B(m_i)^2+n_i^2>\sum_{i=1}^k 2B(m_i)n_i\tag{*}$$

हालाँकि, मुझे नहीं लगता कि हम यह पता लगा सकते हैं कि ये संख्याएँ , n i हैं, क्योंकि प्रश्न अनुकूली हैं (जो पूछा गया है, वह पिछले प्रश्नों के उत्तर पर निर्भर करता है, और हम उन उत्तरों को नहीं जानते हैं)।$m_i$$n_i$

Comments

$n,m$

$n_0=B(7910)$$B(7910)\le n_0$