रेखांकन के रसीला सर्किट प्रतिनिधित्व

Question

जटिलता वर्ग पीपीएडी (उदाहरण के लिए विभिन्न नैश इक्विलिब्रिया की गणना) को कुल खोज समस्याओं के सेट के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जो कभी भी लाइन ऑफ़ अंत में लाइन की तरह हो सकती है :

लाइन ऑफ़ END : एन इनपुट बिट्स और एन आउटपुट बिट्स के साथ सर्किट एस और पी को देखते हुए कि पी (0 ^एन ) = 0 ^एन ! = एस (0 ^एन ) , {0,1} ⁿ में एक इनपुट x ढूंढें जैसे कि पी (S (x)) ! = X या S (P (x)) ! = X ! = 0 ⁿ ।

एस और पी जैसे सर्किट या एल्गोरिदम एक स्पष्ट रूप से बड़े ग्राफ़ को परिभाषित करते हैं जो केवल क्वेरी-बाय-क्वेरी आधार पर ( PSPACE में समस्या को रखने के लिए !), उदाहरण के लिए Papadimitrou के पेपर पर प्रकट होता है ।

हालाँकि, मुझे समझ में नहीं आता है कि कोई सर्किट कैसे डिज़ाइन करेगा जो मनमाने ढंग से ग्राफ़ को सक्षम करता है (यदि ग्राफ के लिए एक व्यवस्थित संरचना है, तो सर्किट को खोजना बहुत आसान है)। उदाहरण के लिए, एक बहुपद-आकार के सर्किट को कैसे डिज़ाइन किया जाएगा जो एक घातीय-लंबी निर्देशित रेखा का प्रतिनिधित्व करता है, स्रोत वर्टेक्स के लिए एक सभी -0 लेबल और अन्य सभी कोने के लिए बेतरतीब ढंग से असाइन किए गए बाइनरी लेबल के साथ? यह पीपीएडी- संबंधित कागजों में निहित है ।

निकटतम मैं एक खोज ऑनलाइन से आया हूं, गैपरिन / विडगर्सन पेपर है , लेकिन वहां वर्णित सर्किट दो वर्टेक्स लेबल लेता है और एक बूलियन जवाब देता है "क्या ये कोने आसन्न हैं?"

तो, आप एक घातीय-आकार के ग्राफ के बहुपद-आकार के सर्किट को कैसे डिजाइन करेंगे जो एक एन -बिट इनपुट लेता है और क्रमशः अपने पूर्ववर्ती या उत्तराधिकारी के एन -बिट लेबल को आउटपुट करता है? या फिर, क्या कोई ऐसे संसाधन के बारे में जानता है जो इसे अच्छी तरह से समझाता है?

Answer 1

आपका सवाल यह लगता है: कोई व्यक्ति बहुपद आकार के सर्किट के रूप में मनमाने ढंग से रेखांकन (या यहाँ तक कि मनमाने ढंग से रेखांकन) का प्रतिनिधित्व कैसे करता है? जवाब है, आप नहीं। 2 ⁿ कोने वाले विभिन्न पथ रेखांकन की संख्या (2 ⁿ ) है!, N ^c gates (n ^c log n में घातांक ) के साथ विभिन्न सर्किटों की संख्या से कहीं अधिक है । तो लगभग सभी रेखांकन इस कई कोने के साथ एक सक्सेज सर्किट द्वारा दर्शाए नहीं जा सकते।

इसलिए, जैसा कि आप संकेत करते हैं, कुछ अर्थों में केवल ऐसे ग्राफ़ जिनमें उच्च स्तर की संरचना होती है, को इस तरह से दर्शाया जा सकता है। पीपीएडी जैसी जटिलता कक्षाएं दिलचस्प बनाती हैं: संरचना के बावजूद, जो हमें ईओएल समस्या के इनपुट ग्राफ के बारे में पता होना चाहिए, हमें पता नहीं है कि समस्या का कुशलता से हल करने के लिए संरचना का लाभ कैसे उठाया जाए।

यदि मैं आपके प्रश्न को गलत समझ रहा हूं और आप वास्तव में पूछ रहे हैं: कोई एक सर्किट कैसे बनाता है जो ईओएल के लिए इनपुट आवश्यकताओं को पूरा करता है, यहां तक ​​कि बहुत अधिक संरचित ग्राफ़ के लिए: पथ ग्राफ़ को आज़माएं जो वर्टेक्स x (संख्या के रूप में माना जाता है) को जोड़ता है बाइनरी में) x-1 और x + 1 के साथ, शून्य पर और 2 ^ n-1 पर समाप्त होता है। या यदि आप कुछ कम तुच्छ चाहते हैं जो ईओएल को हल करना अधिक कठिन लगता है: तो ई और डी अपने पसंदीदा क्रिप्टोकरेंसी में एक निश्चित कुंजी के लिए एन्क्रिप्शन और डिक्रिप्शन फ़ंक्शन करें, ग्राफ़ में x के पड़ोसियों को E (x) और D होने दें। (x), और पंक्ति के सिरों को 0 और D (0) होने दें।

Answer 2

चूँकि n vertices पर अधिकांश रेखांकन Kolmogorov-random हैं, उन्हें एक सर्किट (या किसी अन्य प्रोग्राम) द्वारा वर्णित नहीं किया जा सकता है जो कि ग्राफ़ से ही काफी छोटा है। (यदि आपको नहीं पता कि कोलमोगोरोव-यादृच्छिक का मतलब क्या है, तो आप मूल रूप से पिछले वाक्य के निष्कर्ष को इसकी परिभाषा के रूप में ले सकते हैं। फिर इस तथ्य पर भरोसा करें कि लगभग सभी तार कोलमोगोरोव-यादृच्छिक हैं।)

यद्यपि मैं आपके द्वारा उद्धृत कार्यों से परिचित नहीं हूं, मेरा अनुमान है कि वे हमेशा ग्राफ़-वर्णित-बाय-सर्किट के बारे में बात कर रहे हैं। दूसरे शब्दों में, सर्किट पर ध्यान केंद्रित करके, वे अनिवार्य रूप से रेखांकन के वर्ग पर अपना ध्यान केंद्रित कर रहे हैं, जिसमें सक्सेस सर्किट होते हैं (जिनका आकार ग्राफ के आकार में लघुगणक होता है)।