शर्त G [M] के साथ अधिकतम मिलान M 2K_2 मुक्त है

Question

निम्नलिखित समस्या के करीब साहित्य में कुछ भी है:

संतुलित द्विपक्षता साथ एक द्विदलीय ग्राफ को देखते हुए , क्या में एक परिपूर्ण मिलान मौजूद है जैसे कि हर 2 किनारों के लिए , वहाँ एक किनारे है या किनारे (या दोनों) ?$G(V,E)$$\{U,W\}$$M$$G$$u_1w_1, u_2w_2\in M$$u_1w_2$$u_2w_1$$G$

दूसरे शब्दों में, वहाँ एक सही मिलान है ऐसी है कि प्रेरित subgraph है -free। (संतुलित द्विदलीय के साथ, मेरा मतलब था )$M$$G[M]$$2K_2$$|U|=|W|$

अतिरिक्त स्थिति कुछ विपरीत विपरीत है जो प्रेरित मिलान समस्या में उपयोग की जाती है। संभवतः एक और संबंधित एक है बिपार्टाइट ग्राफ में अधिकतम आकार मिलान खोजने की समस्या ऐसे है कि में किनारों का संकुचन ग्राफ में छोड़े गए किनारों की संख्या को कम करता है।$M$$G$$M$

मैंने मैचिंग और वर्टेक्स पैकिंग में प्लमर द्वारा दी जाने वाली मिलान संबंधी समस्याओं की सूची की जाँच की : वे कितनी "कठिन" हैं? बिना सफलता के।

पुनश्च: यह समस्या इस निर्णय समस्या का एक विशेष मामला है: - के लिए किसी दिए गए , वहाँ एक अधिकतम मिलान है एक द्विपक्षीय ग्राफ ऐसा है कि है -free और । यदि इनपुट ग्राफ संतुलित द्विपद और, हम उपरोक्त समस्या प्राप्त करते हैं।$k\in\mathbb{N}$$M$$G$$G[M]$$2K_2$$|M|>k$$k=|U|$

धन्यवाद।

Comments

सही मिलान सही शब्द नहीं हो सकता है। हम मूल रूप से पूछ रहे हैं कि क्या अधिकतम मिलान आकार है$|U|$उल्लेख की गई संपत्ति के साथ।

— सिरियाक एंटनी

एक मायने में, हम एक मजबूत मेलिंग के विपरीत कुछ मांग रहे हैं। एक मजबूत मेल$M$ एक ग्राफ में $G$ एक मेल है $M$ इस तरह कि इसमें कोई धार नहीं है $G$ के किसी भी दो किनारों को जोड़ने $M$

— साइरैक एंटनी

क्षमा करें, द्वारा $G[M]$, मेरा मतलब था सबग्राफ $G$ 'इन' $M$

— साइरिएक एंटनी

Answer 1

आश्चर्य! (मेरे लिए)।
इस प्रकार के मिलान साहित्य में पहले से ही अध्ययन किए जाते हैं। उन्हें कनेक्टेड मैचिंग कहा जाता है ।

हडविगर अनुमान पर उनके अध्ययन में प्लमर, स्टिबिट्ज़ और टॉफ्ट द्वारा उन्हें पेश किया गया था। "कॉम्बिनेटरियल ऑप्टिमाइज़ेशन - यूरेका, यू शिंक!" पुस्तक में कैमरन द्वारा अध्याय "कनेक्टेड मैचिंग" देखें।

द्विदलीय रेखांकन (आवश्यक संतुलित नहीं) में जुड़े मिलानों की स्थिति मेरे ज्ञान के सर्वश्रेष्ठ के लिए खुली है ( मैं अपडेट करूँगा )। समस्या का भारित संस्करण द्विभाजित रेखांकन के लिए एनपी-पूर्ण है। समस्या बहुपद समय है जो कोरल बिपर्टाइट ग्राफ के लिए हल करती है।

अपडेट: समस्या संतुलित द्विपदी ग्राफ के लिए NP- पूर्ण है (यानी, प्रश्न में सटीक समस्या)। अलोन एट अल द्वारा पेपर " मल्टीटास्किंग क्षमता: कठोरता परिणाम और बेहतर निर्माण " में यह साबित हुआ है । वे यह भी रिपोर्ट करते हैं कि सबसे बड़े कनेक्टेड मिलान के आकार का पता लगाना एक कारक के भीतर लगभग कठिन है$n^{1-\epsilon}$ जब तक एनपी = सह-आरपी।

पहले जोड़ा नोट्स (रुचि रखने वाले लोगों के लिए रखा):
" डोरी का द्विपक्षीय ग्राफ में जुड़े matchings " Jobson एट अल द्वारा। (doi: https://doi.org/10.1016/j.disopt.2014.06.003 ) और कैरागियनिस (थीसिस) द्वारा " ग्राफ के विशेष परिवारों में जुड़े मिलान " दो उल्लेखनीय संदर्भ हैं।

Answer 2

इस सवाल को रखने का एक और तरीका है। क्या परफेक्ट मैचिंग है$M$ एक संतुलित द्विदलीय ग्राफ का $G$ किनारों में हर जोड़ी ऐसी $M$ एक दूसरे से बिल्कुल 1 की दूरी पर है $G$?
(किनारों के बीच की दूरी$e$ तथा $e’$ की एक चोटी से सबसे छोटी पथ की लंबाई है $e$ के शीर्ष पर $e’$)।

इसके कारण, अतिरिक्त स्थिति लाइन ग्राफ से कोने के सबसेट को खोजने के लिए कम हो जाती है $L(G)$ का $G$जो कि ठीक दूरी पर युग्मक हैं। इस प्रकार एक दूसरे से ठीक 2 पर दूरी के अधिकतम आकार के सेट को खोजने की समस्या एक उम्मीदवार समस्या है (प्रश्न में समस्या के करीब होना)। हाल के पत्र में मजबूत सबकोलिंग (एमए शालू, एस। विजयकुमार, एस। देवी यामिनी और टीपी संध्या द्वारा) के एल्गोरिथम पहलुओं पर , वे इस समस्या को मजबूत सेट कहते हैं।

स्टोंग सेट समस्या को कुछ ग्राफ कक्षाओं में एनपी-पूर्ण होने के लिए जाना जाता है। मैं द्विदलीय रेखांकन के रेखांकन पर इसकी स्थिति नहीं जानता। कागज कहता है कि यह एनपी-पूर्ण द्विदलीय रेखांकन पर है। यहां हमारी रुचि द्विदलीय रेखांकन के रेखाचित्रों के वर्ग में होगी।

Comments

एक गलती को सुधारने के लिए संपादित; मुझे लगा कि द्विदलीय रेखांकन के रेखाचित्र द्विदलीय हैं। :)

— साइरिक एंटनी

मुझे लगता है कि किनारों के बीच की दूरी की आपकी परिभाषा में +1 होना चाहिए (वर्तमान परिभाषा के अनुसार M के किनारे 1 दूरी पर होंगे क्योंकि एक किनारा है --- लंबाई का एक रास्ता --- प्रत्येक जोड़ी के किनारों को जोड़ना एम के, लेकिन आप वास्तव में दूरी 2 का मतलब है)।

— फ्लोरेंट फौकाड

"किनारों ... एक दूसरे से दूरी 1 पर हैं" के रूप में इसे सही किया। साभार @Florent Foucaud

— Antony

यह काम करता है, लेकिन अब दुख की बात है कि आपके "किनारों की दूरी" लाइन ग्राफ में संबंधित कोने के शीर्ष-दूरी के अनुरूप नहीं है।

— फ्लोरेंट फौकाड

मॉडलिंग को अपनी समस्या के करीब लाने के लिए, याद रखें कि ग्राफ़ में अधिकतम मिलान इसके लाइन ग्राफ़ में अधिकतम स्वतंत्र सेट से मेल खाता है। इस प्रकार, लाइन ग्राफ में आप एक मजबूत सेट की तलाश कर रहे हैं जो एक अधिकतम स्वतंत्र सेट भी है (विशेष रूप से, यह एक डोमिनर सेट भी होना चाहिए)।

— फ्लोरेंट फौकाड