संभावना है कि एक यादृच्छिक सॉर्टिंग नेटवर्क काम करता है

यह देखते हुए आदानों , हम साथ एक यादृच्छिक छंटाई नेटवर्क का निर्माण iteratively उठा दो चर द्वारा फाटकों के साथ और एक तुलनित्र गेट कहा कि स्वैप उन्हें अगर । $n$ $x_0, \ldots, x_{n-1}$ $m$ $x_i, x_j$ $i < j$ $x_i > x_j$

प्रश्न 1 : फिक्स्ड लिए, नेटवर्क के लिए कितना बड़ा होना चाहिए ताकि सही ढंग से संभावना साथ सॉर्ट किया जा सके $n$ $m$ ? $> \frac{1}{2}$

हमारे पास कम से कम बाउंड क्योंकि एक इनपुट जो सही ढंग से छांटा गया है, सिवाय इसके कि प्रत्येक जोड़े को स्वैप किया जाता है , प्रत्येक जोड़ी के लिए एक तुलनित्र के रूप में चुने जाने में समय लगेगा। । क्या यह भी ऊपरी बाध्य है, संभवतः अधिक कारकों के साथ? $m = \Omega(n^2 \log n)$ $\Theta(n^2 \log n^2)$ $\log n$

प्रश्न 2 : वहाँ तुलनित्र फाटक के एक वितरण को प्राप्त करता है कि , शायद उच्च संभावना के साथ निकट तुलनाकारक का चयन करके? $m = \tilde{O}(n)$

sorting-network

— जेफ्री इरविंग
स्रोत

मुझे लगता है कि एक समय में एक इनपुट को देखकर और फिर यूनियन बाउंडिंग से एक

ऊपरी बाध्य हो सकता है, लेकिन यह बहुत दूर से लगता है।

O (n^{3} l o g^{O (1)})

$O(n^3log^{O(1)})$

— डेनियलो

प्रश्न 2 के लिए आइडिया: गहराई

की छँटाई नेटवर्क चुनें । प्रत्येक चरण में, बेतरतीब ढंग से सॉर्टिंग नेटवर्क के फाटकों में से एक को चुनें, और उस तुलना को निष्पादित करें। बाद

कदम, पहली परत में सभी फाटकों लागू किया गया है जाएगा। एक के बाद

कदम, दूसरी परत में सभी फाटकों लागू किया गया है जाएगा। आपको बता सकता है कि इस monotonic है (छँटाई नेटवर्क के बीच में अतिरिक्त तुलना डालने चोट नहीं कर सकते हैं), तो आप के साथ एक समाधान प्राप्त किया है जाएगा

O (\log^{2} n)

$O(\log^2 n)$

\tilde{O} (n)

$\tilde{O}(n)$

\tilde{O} (n)

$\tilde{O}(n)$

\tilde{O} (n)

$\tilde{O}(n)$ औसत पर कुल में तुलनित्र। मुझे यकीन नहीं है कि क्या वास्तव में एकरूपता है।

— डीडब्ल्यू

@DW: एकरसता जरूरी नहीं रखती है। पर विचार करें दृश्यों

अनुक्रम

काम करता है;

नहीं (इनपुट (1, 0, 0) पर विचार करें) करता है। विचार यह है कि

\begin{array}{rcl} s & = & (x_{1}, x_{2}), (x_{0}, x_{2}), (x_{0}, x_{1}); \\ s^{'} & = & (x_{1}, x_{2}), (x_{0}, x_{1}), (x_{0}, x_{2}), (x_{0}, x_{1}) . \end{array}

$\begin{eqnarray*} s &=&(x_1, x_2), (x_0, x_2), (x_0, x_1);\\ s'&=&(x_1, x_2), \mathbf{(x_0, x_1)}, (x_0, x_2), (x_0, x_1).\end{eqnarray*}$

s

$s$

s^{'}

$s'$

(x_{0}, x_{2}), (x_{0}, x_{1})

$(x_0, x_2), (x_0, x_1)$

को छोड़कर किसी भी इनपुट को प्राप्त करें ( यहां देखें )। में

, कि इनपुट नहीं पहुँच सकते हैं

। में

यह कर सकते हैं।

(0, 1, 0)

$(0, 1, 0)$

s

$s$

(x_{0}, x_{2}), (x_{0}, x_{1})

$(x_0, x_2), (x_0, x_1)$

s^{'}

$s'$

— नील यंग

वैरिएंट पर विचार करें जहां प्रत्येक चरण पर दो आसन्न चर

यादृच्छिक रूप से चुनकर नेटवर्क चुना जाता है । अब एकरसता धारण (आसन्न स्वैप के रूप में आक्रमण पैदा नहीं करते हैं)। @ DW के विचार को एक सम-विषम सॉर्टिंग नेटवर्क पर लागू करें , जिसमें

राउंड है: विषम राउंड में यह सभी आसन्न जोड़े की तुलना करता है जहां

विषम है, यहां तक कि राउंड में यह सभी आसन्न जोड़े की तुलना करता है जहां

भी

।

तुलनाओं में यादृच्छिक नेटवर्क सही है , क्योंकि यह "" इस नेटवर्क को शामिल करता है। (या क्या मैं कुछ न कुछ भूल रहा हूं?)

x_{i}, x_{i + 1}

$x_i, x_{i+1}$

n

$n$

i

$i$

i

$i$

O (n^{2} \log n)

$O(n^2\log n)$

— नील यंग

आसन्न नेटवर्क के दिष्टता: को देखते हुए

के लिए,

परिभाषित

। कहो

अगर

(

a, b \in {0, 1}^{n}

$a, b\in\{0,1\}^n$

j \in {0, 1, \dots, n}

$j\in\{0,1,\ldots,n\}$

s_{j} (a) = \sum_{i = 1}^{j} a_{i}

$s_j(a) = \sum_{i=1}^j a_i$

a ⪯ b

$a\preceq b$

s_{j} (a) \leq s_{j} (b)

$s_j(a) \le s_j(b)$

\forall j

$\forall j$ )। किसी भी तुलना को ठीक करें "

"। चलो

और

से आते हैं

और

है कि तुलना करके। दावा 1. और । दावा 2: अगर , तो । तब उपपादन द्वारा प्रदर्शित होते हैं:

तुलना अनुक्रम का परिणाम है

पर इनपुट

x_{i} < x_{i + 1}

$x_i < x_{i+1}$

a^{'}

$a'$

b^{'}

$b'$

a

$a$

b

$b$ $a' \preceq a$ $b' \preceq b$ $a\preceq b$ $a' \preceq b'$

y

$y$

s

$s$

x

$x$ , और

सुपर अनुक्रम का परिणाम है

की

पर

, तो

। तो अगर

को सॉर्ट किया जाता है, तो

।

y^{'}

$y'$

s^{'}

$s'$

s

$s$

x

$x$

y^{'} ⪯ y

$y' \preceq y$

y

$y$

y^{'}

$y'$

— नील यंग

यहाँ प्रश्न 2 के लिए कुछ अनुभवजन्य डेटा है, जो बिटकॉइन सॉर्ट पर लागू डीडब्ल्यू के विचार पर आधारित है। के लिए चर, चुनें संभावना के साथ आनुपातिक करने के लिए , फिर चुनें समान रूप से अनियमित रूप से कुछ तुलनित्र पाने के लिए । यह तुलनात्मक रूप से बिटोनिक सॉर्ट के वितरण से मेल खाता है यदि 2 की शक्ति है, और इसे अन्यथा अनुमानित करता है। $n$ $j - i = 2^k$ $\lg n - k$ $i$ $(i,j)$ $n$

इस वितरण से खींचे गए फाटकों के अनंत अनुक्रम के लिए, हम कई यादृच्छिक बिट अनुक्रमों को क्रमबद्ध करके सॉर्टिंग नेटवर्क प्राप्त करने के लिए आवश्यक गेटों की संख्या का अनुमान लगा सकते हैं। यहाँ के लिए कि अनुमान है मतलब पदभार संभालने के के साथ गेट दृश्यों : बिट गिनती अनुमान लगाने के लिए इस्तेमाल किया दृश्यों यह मेल खाती नजर आती bitonic प्रकार के रूप में एक ही जटिलता,। यदि ऐसा है, तो हम प्रत्येक गेट पर आने वाले कूपन कलेक्टर समस्या के कारण एक अतिरिक्त कारक नहीं खाते हैं । $n < 200$ $100$ $6400$ $\Theta(n \log^2 n)$ $\log n$

$6400$ $2^n$ $n = 199$ $6400$ $64000$ $640000$ $14270 \pm 1069$ $14353 \pm 1013$ $14539 \pm 965$

$n = 80$ $d = j-i$ $d \in [1,\frac{n}{2}]$ $\frac{\log n - \log d}{d}$ $\Theta(n \log^2 n)$

— जेफ्री इरविंग
स्रोत

2^{n}

$2^n$

2^{n}

$2^n$

n

$n$

n = 20

$n=20$

n = 30

$n=30$

— जोशुआ ग्रोचो

n = 27

$n = 27$

n = 80

$n = 80$

\log n

$\log n$

\log n

$\log n$

\log n

$\log n$

\lg n \approx 6

$\lg n \approx 6$

1

$1$