के दो सेट करता है, तो परीक्षण की जटिलता

कल्पना करें कि हमारे पास अंक दो आकार सेट हैं । यदि वे केवल रोटेशन से भिन्न होते हैं तो परीक्षण की जटिलता (समय) क्या है? : इसमें रोटेशन मैट्रिक्स जो कि ? $m$ $X,Y\subset \mathbb{R}^n$ $OO^T=O^TO=I$ $X=OY$

यहां वास्तविक मूल्यों का प्रतिनिधित्व करने का एक मुद्दा है - सादगी के लिए मान लें कि प्रत्येक समन्वय के लिए एक (लघु) बीजगणितीय सूत्र है, जैसे कि मूल अंकगणितीय संचालन की लागत को ओ (1) माना जा सकता है।

मूल प्रश्न यह है कि क्या यह समस्या P में है?

जबकि पहली नजर में यह समस्या सरल लग सकती है - आमतौर पर यह अंक के मानदंडों और स्थानीय संबंधों जैसे कोणों का परीक्षण करने के लिए पर्याप्त होता है, इसमें ऐसे उदासीन उदाहरण हैं , जैसे कि यह ग्राफ समरूपता समस्या के समतुल्य है ।

विशेष रूप से, दृढ़ता से नियमित रेखांकन (SRG) के आसन्न मैट्रिक्स के eigenspaces को देखते हुए , हम इसे ज्यामितीय व्याख्या दे सकते हैं । नीचे सबसे सरल उदाहरण है - दो 16 शीर्ष SRG, जो स्थानीय रूप से समान दिखते हैं, लेकिन समसामयिक नहीं हैं:

SRGs की निकटता मैट्रिक्स में हमेशा केवल तीन eigenvalues (ज्ञात सूत्रों के) होते हैं - ऊपर eigenvalue 2 के लिए eigenspace ( का कर्नेल ) को देखते हुए, इसका आयाम 6 है - ऊपर लिखे आधार का। इसे (ग्राम-श्मिट) को जन्म देने पर, हमें संभव ऑर्थोनॉमिक बेस की बड़ी जगह मिलती है - रोटेशन से भिन्न , जो "वर्टिकल वैक्टर" को घुमाता है: लंबाई 16: 6. पर वैक्टर के ऐसे सेट को परिभाषित करें। ; यहां, और दूसरे ग्राफ के लिए समान रूप से - ग्राफ आइसोमॉर्फिज्म को प्रश्न में परिवर्तित करना यदि और केवल रोटेशन से भिन्न होते हैं। $A-2I$ $O(6)$ $X\subset \mathbb{R}^6$ $|X|=16$ $Y$ $X$ $Y$

कठिनाई यह है कि ये सभी बिंदु एक क्षेत्र में हैं और मूल संबंधों को फिर से बनाते हैं: सभी पड़ोसी (6 यहाँ) निश्चित कोण में हैं <90 डिग्री, सभी गैर-पड़ोसी (9 यहाँ) एक अन्य निश्चित कोण में> 90 डिग्री, जैसे कि योजनाबद्ध ऊपर चित्र।

इसलिए मानदंड और स्थानीय कोणों के आधार पर परीक्षण ग्राफ आइसोमोर्फिज्म समस्या को वापस ले जाता है ... लेकिन ज्यामितीय व्याख्या रोटेशन आवृत्तियों जैसे वैश्विक गुणों पर काम करने की अनुमति देती है ।

आम तौर पर, एक प्राकृतिक "वैश्विक" दृष्टिकोण दोनों सेट "मोडुलो रोटेशन" का वर्णन करने की कोशिश कर रहा है (जिसमें डिग्री की स्वतंत्रता है), और फिर बस जांचें कि क्या दोनों विवरण समान हैं। $n(n-1)/2$

हम आम तौर पर परिभाषित कर सकते हैं रोटेशन अपरिवर्तनशीलताओं - सवाल रोटेशन invaraints का एक पूरा सेट निर्माण कर रही है: पूरी तरह से एक सेट सापेक्ष रोटेशन का निर्धारण।

हालांकि मुझे व्यावहारिक रोटेशन के लिए एक रास्ता नहीं मिला, जो सीधे बिंदुओं पर काम कर रहे हैं (?), यह बहुपद ( स्टैक ) के लिए किया जा सकता है । डिग्री के लिए 2 बहुपद , रोटेशन अपरिवर्तनशीलताओं की एक पूरी आधार जैसे है के लिए । आरेखीय रूप से उन्हें लंबाई चक्र के रूप में दर्शाया जा सकता है, और हम उच्च क्रम बहुपद (शेष प्रश्न उनकी स्वतंत्रता है), उदाहरण के लिए, बारी-बारी से इनवेटर का निर्माण कर सकते हैं , जैसे $x^T A x$ $Tr(A^k)$ $k=1,\ldots,n$ $k$ नीचे प्रत्येक ग्राफ डिग्री 1,2,3,4 बहुपद के एक एकल घूर्णन अपरिवर्तनीय से मेल खाता है :

सवाल एक बहुपद के साथ अंक का एक सेट का वर्णन करने के लिए कैसे है - आम तौर पर हम उच्च स्तर बहुआयामी पद, जैसे की जरूरत , लेकिन SRGs के लिए सेट काफी नियमित रूप से कर रहे हैं - कर सकते हैं केवल 6 डिग्री बहुपद के साथ वर्णित किया जा सकता है: $p(z)=\prod_{x\in X} (x\cdot (z-x))$

जहां का वर्णन आदर्श और सेटों में कोण दिए गए एसआरजी के लिए प्राप्त ( जाने जाते हैं)।

p (z) = \sum_{x \in X} (x \cdot z - a)^{2} (x \cdot z - b)^{2} (x \cdot z - c)^{2}

$p(z)=\sum_{x\in X} (x\cdot z -a)^2 (x\cdot z -b)^2 (x\cdot z -c)^2$

a, b, c

$a,b,c$

तो क्या हम परीक्षण कर सकते हैं कि दो डिग्री 6 बहुपद केवल बहुपद के समय में घूर्णन से भिन्न होते हैं? यदि हां, एसआरजी के लिए ग्राफ आइसोमोर्फिज्म पी में है।

क्या एसआरजी की तुलना में कठिन उदाहरण हैं (यदि परीक्षण दो सेट केवल रोटेशन से भिन्न हैं)? मुझे संदेह है, बाबई (?) के लिए अर्ध-बहुपद ऊपरी बाध्यता के लिए अनुमति है?

अद्यतन : मुझे ( समस्याग्रस्त ) ऑर्थोगोनल प्रोक्रिजेस समस्या के साथ समानता की ओर इशारा किया गया था :

min_{O : O^{T} O = I} ‖ O A - B ‖_{F} achieved for O = U V^{T}, where B A^{T} = U D V^{T}

$\min_{O:O^TO=I} \|OA-B\|_F \quad\textrm{achieved for}\quad O=UV^T,\quad\textrm{ where}\quad BA^T=UDV^T$

एकवचन मूल्य अपघटन से। हम अपने बिंदुओं से इन मैट्रिक्स का निर्माण कर सकते हैं, हालाँकि, इसके लिए आदेश जानने की आवश्यकता होगी - जिसे हम नहीं जानते हैं औरसंभावनाओं। $m!$

हम कोशिश कर सकते हैं जैसे कि मोंटे-कार्लो या आनुवंशिक एल्गोरिथ्म: उपरोक्त सूत्र का उपयोग करके कुछ बिंदुओं और परीक्षण दूरी में सुधार, हालांकि, मुझे संदेह है कि इस तरह के अनुमानी एल्गोरिथ्म में स्थानीय मिनीमा (?) की घातीय संख्या हो सकती है?

— जारेक डूडा
स्रोत

खैर, व्यावहारिक ग्राफ आइसोमोर्फिज्म एल्गोरिदम के लिए हत्यारा उदाहरण एसआरजी आवश्यक नहीं हैं। डैनियल न्येन और पास्कल श्वित्जर द्वारा दो पेपर हैं जिन पर मैंने यहां चर्चा की , जो वर्तमान में सबसे कठिन उदाहरण देते हैं। मेरी चर्चा का दावा है कि "मल्टीफ़ीड कंस्ट्रक्शन ... मूल रूप से एक सामान्य मल्टी-हाइपरग्राफ पर लागू सामान्य सीएफआई निर्माण है"। इस निर्माण को और अधिक कठोर बनाने के लिए इसे संशोधित किया गया है, जो सभी वाहन चालकों को हटा देता है। यह पहले कोई एसआरजी नहीं था, लेकिन इसके बाद यह निश्चित रूप से एसआरजी नहीं होगा।

— थॉमस क्लिंपेल

मुझे लगता है कि बिंदु सेट के प्रमुख घटकों को खोजना और उनकी जांच करना मदद करेगा क्योंकि पीसीए परिवर्तन में कुछ बहुत अच्छे गुण हैं।

— FazeL

थॉमसक्लिम्पेल, क्या आप इन अन्य कठिन उदाहरणों के आइगेंसस्पेस के बारे में कुछ कह सकते हैं? @FazeL, PCA से सहसंबंध मैट्रिक्स के eigenvalues रोटेशन आक्रमणकारियों के उदाहरण हैं - केवल रोटेशन से भिन्न होने के लिए आवश्यक शर्तें (एसआरजी के लिए तुच्छ)। समस्या एक पर्याप्त स्थिति प्राप्त करने के लिए है, उदाहरण के लिए रोटेशन के पूर्ण आधार के माध्यम से - पूरी तरह से निर्धारित निर्धारण (या बहुपद) मोडुलो रोटेशन। यहां बहुपद के लिए एक सामान्य निर्माण है: arxiv.org/pdf/1801.01058 , सवाल यह है कि स्वतंत्र आक्रमणकारियों की पर्याप्त संख्या (ज्ञात) का चयन कैसे किया जाए?

— जारेक डूडा

वे रेखांकन पहले से ही रंगीन हैं, फिक्स्ड , ऐसे रंग हैं जिनके लिए नोड्स में वह रंग है, और जिन रंगों के लिए 2 नोड्स का रंग है। ईगेंसस्पेस के संदर्भ में, इसका मतलब है कि आपको आयाम कई ईगेंसस्पेस मिलते हैं , और आयाम और भी ईजेन्सस्पेस । कम से कम यही होता है अगर सीएफआई निर्माण को एक नियमित रूप से अप्रत्यक्ष ग्राफ पर लागू किया जाता है। (लेकिन चिंता न करें, एसआरजी की समरूपता एक खुली समस्या भी है।)

k

$k$

2^{k - 1}

$2^{k-1}$

2^{k - 1}

$2^{k-1}$

2

$2$

— थॉमस क्लिम्पेल

आयाम eigenspaces वास्तव में भी छोटे eigenspaces में अलग हो सकते हैं, यहां तक कि SRG के लिए, हमारे पास 1 से अधिक eigenspace हैं, लेकिन ऊपर दिए गए तर्क से पता चलता है कि सिर्फ एक हीigenspace है। छोटे (अधिक सैद्धांतिक) पेपर में आकृति ४.२ पर एक नज़र डालें, इसलिए देखें कि वे कैसे दिखते हैं।

2^{k - 1}

$2^{k-1}$

— थॉमस क्लिम्पेल

मुझे लगता है कि यह खुला है। ध्यान दें कि यदि आप रोटेशन के तहत तुल्यता परीक्षण के बजाय सामान्य रेखीय समूह के तहत तुल्यता पूछते हैं, तो पहले से ही डिग्री तीन बहुपद की तुल्यता का परीक्षण जीआई-हार्ड है ( अग्रवाल-सक्सेना STACS '06 , लेखक स्वतंत्र रूप से संस्करण ), और वास्तव में कम से कम के रूप में परीक्षण isgeorphism के रूप में बीजगणित। अब, जीआई-कठोरता इस बात का प्रमाण नहीं है कि आपकी समस्या , वास्तव में, आपके पूरे प्रश्न अनिवार्य रूप से हैं कि क्या हम GI को में डाल सकते हैं $\mathsf{P}$ $\mathsf{P}$ आपके द्वारा सुझाए गए दृष्टिकोण से। हालांकि, तथ्य यह है कि घन रूप समतुल्यता पहले से ही जीआई की तुलना में काफी कठिन लगती है (जैसे कि हम अभी भी नहीं जानते हैं कि बीजगणित समरूपता अर्ध-पाली समय में है, जीआई के विपरीत) यह सुझाव देता है कि (ए) लोगों ने इस दृष्टिकोण के बारे में सोचा है और (बी) अभी भी खुला है।

हालांकि मैं यह सुनिश्चित करने के लिए नहीं जानता कि यदि समान परिणाम ऑर्थोगोनल समूह के लिए हैं, तो मुझे आश्चर्य होगा कि क्या वे नहीं पकड़ते हैं (esp। यदि आप डिग्री 3 से डिग्री 6 में जाते हैं)।

— जोशुआ ग्रोचो
स्रोत

धन्यवाद, मुझे लगता है कि मेरे पास पढ़ने के लिए बहुत कुछ है। क्या बहुपद के रोटेशन से परीक्षण करना भी डिग्री तीन के लिए कठिन हो गया है? गुणांक की संख्या O (मंद ^ डिग्री) है, रोटेशन में मंद (मंद -1) / 2 गुणांक हैं, इसलिए पूर्ण विवरण modulo रोटेशन को O (मंद ^ डिग्री) स्वतंत्र रोटेशन आवेषण द्वारा दिया जाना चाहिए। मुझे पता है कि रोटेशन इनवेरिएंट्स का निर्माण कैसे किया जाता है ( arxiv.org/pdf/1801.01058 ), स्वतंत्रता की स्थिति कठिन साबित होती है, लेकिन उच्च निर्भरता की संभावना कम लगती है (?)

— जेरेक डूडा

@JarekDuda: आपकी टिप्पणी में आपके द्वारा किया गया एक ही तर्क सामान्य रेखीय समतुल्यता पर लागू होगा, सिवाय गुणांक के अलावा, आपके पास , लेकिन वे दोनों । .. आक्रमणकारियों के बीच निर्भरता अक्सर एक बहुत गहरा सवाल है। इसके अलावा, यह केवल एक सवाल नहीं है कि आपको कितने स्वतंत्र आवेगों की आवश्यकता है, लेकिन (क) क्या आप पाली-समय में जिन आवेषणों की आवश्यकता है, उनकी गणना कर सकते हैं, और (ख) क्या आप भी पाली-समय में ऐसे प्रत्येक अपरिवर्तनीय के मूल्य की गणना कर सकते हैं?

(\binom{d i m}{2})

$\binom{dim}{2}$

d i m^{2}

$dim^2$

Θ (d i m^{2})

$\Theta(dim^2)$

— जोशुआ ग्रोवो

निश्चित रूप से, यदि केवल बड़ी संख्या में इनवेरिएंट्स का निर्माण करने में सक्षम होने के नाते - जबकि मुझे नहीं पता कि क्या यह अन्य समतुल्य प्रकारों (?) के लिए सही है, तो रोटेशन एंरिएंट्स के लिए वहाँ निर्माण होता है जहाँ हर ग्राफ एक इंवेरेंट देता है, और व्यवस्थित निर्माण होते हैं बड़ी संख्या में उदाहरण के लिए ट्राय (A ^ k) के लिए लंबाई k चक्र रेखांकन के लिए डिग्री 2 बहुपद x ^ कुल्हाड़ी के लिए। निश्चित डिग्री बहुपद के लिए, हम पाली समय में पर्याप्त संख्या में (या बहुत अधिक) आक्रमणकारियों का उत्पादन कर सकते हैं - शेष समस्या उनके बीच पर्याप्त संख्या में स्वतंत्र लोगों को सुनिश्चित करना है।

— जारेक डूडा