इस ग्राफ समस्या की जटिलता क्या है?

एक सरल अप्रत्यक्ष ग्राफ को देखते हुए $G$ , उपसमूह $A\neq \emptyset$ का पता लगाएं , जैसे कि

के लिए किसी भी शिखर $x\in A$ पर की पड़ोसियों के कम से कम आधा $x$ में भी कर रहे हैं $A$ , और
$A$ का आकार न्यूनतम है।

यही है, हम एक क्लस्टर की तलाश कर रहे हैं, जिसमें प्रत्येक आंतरिक शीर्ष के कम से कम आधे हिस्से में आंतरिक रहता है। ऐसे क्लस्टर का मात्र अस्तित्व स्पष्ट है, क्योंकि पूरे शीर्ष सेट $V(G)$ हमेशा संपत्ति 1 होती है। लेकिन इस तरह के सबसे छोटे (गैर-रिक्त) ऐसे क्लस्टर को ढूंढना कितना कठिन है?

क्या इस समस्या का एक मानक नाम है? इसकी जटिलता के बारे में क्या जाना जाता है?

graph-theory graph-algorithms np-hardness

— एंड्रास फरगो
स्रोत

यह संतोषजनक विभाजन समस्या का एक प्रकार है। मुझे नहीं पता कि आपके वेरिएंट को जाना जाता है और NPC साबित हुआ है; लेकिन शायद k-गुट से कमी से काम करना चाहिए: लिंक प्रत्येक नोड

v_{i}

$v_i$ मूल ग्राफ के लिए

k + 1

$k+1$ एक के नोड्स

C_{i}

$C_i$ आकार के "बाहरी गुट"

2 (k + 1)

$2(k+1)$ (प्रत्येक नोड उसके बाहरी गुट है)। तो फिर तुम एक nontrivial सेट प्राप्त कर सकते हैं

A

$A$ आकार के

k

$k$ तभी एक अगर

k

$k$ मूल ग्राफ में -clique मौजूद है (आपको कम से कम एक नोड चुनना चाहिए, लेकिन आपको किसी भी बाहरी क्‍लिक से बचना चाहिए)। लेकिन यह केवल एक विचार है; अगर मेरे पास पर्याप्त समय है तो मैं यह देखने की कोशिश करूंगा कि क्या कमी सही है।

— मार्जियो डी बियासी

@MarzioDeBiasi धन्यवाद, कुछ खोज के बाद मुझे पता चला कि संतोषजनक विभाजन समस्या वास्तव में संबंधित है। हालाँकि, प्रत्येक संस्करण में जो मुझे मिल सकता था, वे एक सेट के बजाय एक विभाजन की तलाश करते हैं । यह स्पष्ट नहीं है, कि वे कैसे संबंधित हैं। आपके कमी में, जब तक कि मैं कुछ गलत समझा, एक

k

$k$ मूल ग्राफ के -clique परिभाषा को पूरा नहीं करता है, क्योंकि यह में प्रत्येक नोड होगा

k - 1

$k-1$ आंतरिक पड़ोसियों, लेकिन कम से कम

k + 1

$k+1$ बाहरी पड़ोसियों के कारण बाहरी जोड़ा क्लिक्स।

— एंड्रास फरगो

मुझे लगता है कि इस समस्या को "रक्षात्मक गठबंधन" के रूप में जाना जाता है

— डेनियलो

@ डैनियलो: महान, मैंने सर्वेक्षण में खोज की आईजी येरो, जेए रोड्रिग्ज-वेलज़क्वेज़, "रेखांकन में रक्षात्मक गठबंधन: एक सर्वेक्षण", 2013 लेकिन शब्द "आधा" नहीं मिला; जब मेरे पास पर्याप्त समय होगा तो मैं इसे ध्यान से पढ़ूंगा; यह संभावना है कि ओपी समस्या ज्ञात है

— मार्जियो डी बियासी

ऐसा लगता है कि "प्रत्येक शीर्ष पर कम से कम बाहर के अंदर के कई पड़ोसी हैं" के रूप में तैयार किया गया है, जो कि राउंडिंग तक के प्रश्न में समान है, और संभवतः गिनती में ही शीर्ष सहित शामिल है / नहीं

— डेनियलो

यह Clique से आपकी समस्या में कमी है।

हम गुट का एक उदाहरण के साथ शुरू: एक ग्राफ और एक पूर्णांक , चलो । $G$ $k$ $V = \{ v_1, v_2,...,v_n\}$

गुट भी बाधा है कि के तहत एनपीसी रहता (सबूत स्केच: यदि फिर एक जोड़ें जहाँ $max(deg(v_i)) \leq 2(k-1)$ $max(deg(v_i) > 2(k-1)$ $K_t$ और के सभी नोड्स से कनेक्ट और आकार के एक गुट के लिए पूछना नया ग्राफ में)। $t = 2(k-1) - max(deg(v_i))$ $G$ $k' = k + t$

तो हम मान लेते हैं कि में , । प्रत्येक नोड लिए जिसके लिए हम आकार ( हर नोड एक "बाहरी" क्लिक बनाते हैं। $G$ $max(deg(v_i)) \leq 2(k-1)$ $v_i$ $deg(v_i) < 2(k-1)$ $C_i$ $2(k+1)+1$ clique में कम से कम पड़ोसी हैं)। $C_i$ $2(k+1)$

यदि की डिग्री है , हम कनेक्ट करने के लिए के नोड्स । $deg(v_i)$ $v_i$ $v_i$ $2(k-1) - deg(v_i)$ $C_i$

जिसके परिणामस्वरूप में , प्रत्येक डिग्री है ; ऐसा क्योंकि कम से कम एक शीर्ष का चयन किया जाना चाहिए। $G'$ $v_i$ $2(k-1)$ $|A| \geq k$

यह स्पष्ट है कि यदि के शीर्ष में से को में शामिल किया जाता है तो कम से कम नोड्स को भी इसमें सम्मिलित किया जाना चाहिए। ध्यान दें कि यदि एक मूल नोड है तो जुड़ा हुआ कम से कम एक नोड शामिल किया जाना चाहिए, के लिए अग्रणी । $C_i$ $A$ $2(k+1)/2 = k+1$ $deg(v_i) < k-1$ $C_i$ $|A| > k$

तो हम न्यूनतम आकार का एक सेट बना सकते हैं यदि और केवल यदि में आकार का एक समूह है । $A$ $|A| = k$ $G$ $k$

कमी का एक उदाहरण जिसमें हम पूछते हैं कि क्या ग्राफ को पीले नोड्स और बोल्ड किनारों द्वारा दर्शाया गया है जिसमें आकार (एक त्रिकोण) का एक समूह है। $G$ $k = 3$

नीले रंग के नोड्स (बेहतर पठनीयता के लिए समूहीकृत) , लाल किनारों को साथ नोड्स के बीच लिंक हैं । $K_9$ $G$ $deg(v_i) < 2(k-1)$

— मारजियो दे बियासी
स्रोत

@WillardZhan: क्योंकि के हर शिखर

डिग्री है

निर्माण से है, इसलिए यदि

एक शीर्ष होते हैं, यह कम से कम शामिल होना चाहिए

पड़ोसियों (और एक ही

सभी कोने पर लागू होता है , इसलिए

। "न्यूनतम आकार"

को तभी प्राप्त किया जा सकता है, जब

आकार

का एक समूह है ।

G^{'}

$G'$

\geq 2 (k - 1)

$\geq 2(k-1)$

A

$A$

2 (k - 1) / 2 = k - 1

$2(k-1)/2 = k-1$

A

$A$

| A | \geq k

$|A| \geq k$

k

$k$

A

$A$

k

$k$

— मार्ज़ियो डी बियासी

@WillardZhan: मैंने आरंभिक क्लिक समस्या में एक और शर्त जोड़ दी (लेकिन यह NPC बनी रहनी चाहिए) ... मैं अब भी इसकी जाँच कर रहा हूँ (सही तरीके से इसकी सही पुष्टि नहीं)।

— Marzio De Biasi

हाँ, अब यह पूरी तरह से काम करता है (हालांकि यह होना चाहिए

की अभिव्यक्ति में

)। शायद मैं अपनी टिप्पणियों को हटा दूं?

k^{'}

$k'$

t

$t$

— विलार्ड ज़न

@WillardZhan: मुझे लगता है यह सही है, क्योंकि उस पैराग्राफ में मैं गुट [उदाहरण से कमी की बात कर रहा हूँ

] गुट के लिए + बाधा

[उदाहरण

]।

, नक्षत्र के नए उदाहरण को प्राप्त करने के लिए G को जोड़ने के लिए नोड्स (क्लिक) की संख्या है जो बाधा को रोकता है।

(G, k)

$(G,k)$

m a x (d e g (v_{i})) \leq 2 (k - 1)

$max(deg(v_i)) \leq 2(k-1)$

(G^{'}, k^{'})

$(G',k')$

t

$t$

— मारजियो दे ब्यासी