क्या संभावना है कि एक यादृच्छिक बूलियन फ़ंक्शन में एक तुच्छ स्वप्रवर्तनवाद समूह है?

Question

एक बूलियन फ़ंक्शन को देखते हुए $f$, हमारे पास ऑटोमोर्फिज्म समूह है $Aut(f) = \{\sigma \in S_n\ \mid \forall x, f(\sigma(x)) = f(x) \}$।

क्या कोई ज्ञात सीमाएं हैं $Pr_f(Aut(f) \neq 1)$? क्या फॉर्म की मात्राओं के लिए कुछ जाना जाता है$Pr_f(G \leq Aut(f))$ कुछ समूह के लिए $G$?

Answer 1

हाँ। आपके पहले प्रश्न के लिए, संभावना शून्य डबल-घातीय तेजी से जाती है। इसकी गणना निम्न प्रकार से की जा सकती है। प्रत्येक क्रमपरिवर्तन के लिए$\pi$, हम संभावना है कि बाध्य कर सकते हैं $\pi \in Aut(f)$, यानी कि $f(\pi(x)) = f(x)$ सबके लिए $x \in \{0,1\}^n$। की कक्षाओं पर विचार करें$\pi$ अभिनय कर रहे $\{0,1\}^n$। हमारे पास वह है$\pi$ का आटोमोटिव है $f$ iff $f$ पर स्थिर है $\pi$-orbits। अगर$\pi$ nontrivial है, इसकी कम से कम एक कक्षा है $[n]$ यह एक सिंगलटन नहीं है, और इसलिए कम से कम ऑर्बिट पर $\{0,1\}^n$यह एक सिंगलटन नहीं है। मान लीजिए कि कक्षा है$k$इसमें तत्व। संभावना है कि$f$ इस प्रकार उस परिक्रमा निरंतर होती है $2^{-(k-1)}$। मान लो कि$\pi$ अभिनय कर रहे $[n]$ है $c_1$ निश्चित बिंदु, $c_2$ लंबाई 2, आदि के चक्र (विशेष रूप से) $\sum_{i=1}^n i c_i = n$)। फिर अंकों की संख्या$\{0,1\}^n$ द्वारा तय किया गया $\pi$ ठीक है $2^{\sum_i c_i}$। के सभी शेष अंक$\{0,1\}^n$ nontrivial कक्षाओं में हैं $\pi$। ऊपरी संभावना है कि बाध्य करने के लिए$\pi \in Aut(f)$, ध्यान दें कि सबसे अच्छी संभावना है अगर सभी गैर-निश्चित तत्व हैं $\{0,1\}^n$ आकार की कक्षाओं में आते हैं 2. तो हमें वह मिलता है $Pr(\pi \in Aut(f)) \leq (1/2)^{M/2}$ कहाँ पे $M = 2^n - 2^{\sum_i c_i}$। अब, हम निम्न सीमा चाहते हैं$M$, जिसका मतलब है कि हम एक ऊपरी बाध्य चाहते हैं $\sum_i c_i$। जबसे$\pi \neq 1$, सबसे बड़ा $\sum c_i$ जब हो सकता है $c_1 = n-2$ तथा $c_2 = 1$, अर्थात $\sum c_i = n-1$ तथा $M = 2^n - 2^{n-1} = 2^{n-1}$, इसलिए $M \geq 2^{n-1}$ तथा $Pr(\pi \in Aut(f)) \leq (1/2)^{2^{n-2}}$। अब संघ बाध्य करें:$|S_n| = n!$, इसलिए $Pr((\exists \pi \in S_n)[\pi \neq 1 \text{ and } \pi \in Aut(f)]) \leq n! 2^{-2^{n-2}}$, जो मूल रूप से है $2^{n \lg n - 2^{n-2}} \to 0$ जैसा $n \to \infty$, काफी जल्दी।

किसी दिए गए के लिए $G \leq S_n$ आप इसी तरह के तर्क का उपयोग कर सकते हैं, लेकिन संभावना भी बहुत जल्दी शून्य हो जाएगी।

Comments

क्या कक्षा पर स्थिर होने की संभावना $ 2 ^ {- k} नहीं होगी?

— शमूएल श्लेसिंगर

वैसे इसके लिए धन्यवाद, यह मुझे ग्राफ़ संस्करण के प्रमाण की बहुत याद दिलाता है।

— शमूएल श्लेसिंगर

ओह, मैं देख रहा हूं कि यह क्यों है $2^{-(k-1)}$

— शमूएल श्लेसिंगर

@SamuelSchlesinger: हाँ, समान। मुझे लगता है कि इस मामले में यह और भी आसान है क्योंकि बूलियन फंक्शंस की संख्या डबल-एक्सपोनेंशियल है जबकि ग्राफ्स की संख्या केवल$\sim 2^{n^2 - n \lg n}$।

— जोशुआ ग्रोचो