काउंटिंग और कॉम्बिनेटरिक्स में Pfaffian Methods के बारे में

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हाल ही में, मैं होलोग्राफिक एल्गोरिदम के लिए एक परिचय पर जा रहा था। मैं Pfaffians नामक कुछ दहनशील वस्तुओं के पार आया। मैं वास्तव में इस समय उन लोगों के बारे में ज्यादा नहीं जानता और कुछ आश्चर्यचकित उपयोगों के बारे में पता लगा सकता हूं, जिन्हें लगाया जा सकता है।

उदाहरण के लिए, मुझे पता चला कि इनका उपयोग योजनाकार रेखांकन में सही मिलान की संख्या को कुशलता से गिनने के लिए किया जा सकता है। इसके अलावा, वे 2 * 1 टाइल्स का उपयोग करके एक शतरंज के संभावित झुकाव की संख्या की गणना करने के लिए उपयोग किया जा सकता है। टाइलिंग कनेक्शन मुझे बहुत उत्सुक लग रहा था और मैंने वेब पर अधिक प्रासंगिक सामग्रियों की खोज करने की कोशिश की, लेकिन ज्यादातर जगहों पर मुझे कनेक्शन के बारे में सिर्फ एक बयान या दो मिला और कुछ नहीं।

मेरा सिर्फ यह पूछना था कि क्या कोई प्रासंगिक साहित्य के लिए कुछ संदर्भ सुझा सकता है क्योंकि यह वास्तव में बहुत अच्छा होगा और मैं कुछ संबंधित सामग्रियों का अध्ययन करने के लिए उत्सुक हूं।

reference-request co.combinatorics counting-complexity

— आकाश कुमार
स्रोत

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इसे "मंद समस्या" के रूप में जाना जाता है। एक अवलोकन बैक्सटर के "सटीक सॉल्व्ड मॉडल" की धारा 7.14 में है और साथ ही math.brown.edu/~rkenyon/papers/de2.pdf में डिमर्स की संख्या को इस्तिन मॉडल विभाजन फ़ंक्शन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जो ईज़िंग विभाजन फ़ंक्शन का एक उदाहरण है। Pfaffian के माध्यम से cs.cmu.edu/~jch1/research/pretation/globersonjaakkola.ppt

— यारोस्लाव

टिप्पणी के लिए धन्यवाद यारोस्लाव। cmu उदाहरण सहायक लगता है

— आकाश कुमार

आप combinatorics.org/Volume_3/PDF/v3i2r5.pdf से

— रफू GRIGore 15

टिप्पणी राडू के लिए धन्यवाद। मैं रॉबिन थॉमस के एक अन्य सर्वेक्षण में आया था। आप इसे यहाँ पा सकते हैं। लोग

— आकाश कुमार

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(यह मेरे लिए एक दिलचस्प सवाल है क्योंकि मैं पफैफ़ियन के बारे में भी पढ़ रहा हूं।)

मैं निम्नलिखित संदर्भ सुझाता हूं:

लोवाज़ और प्लमर द्वारा भयानक पुस्तक मिलान सिद्धांत का अध्याय 8 ।
निर्धारक और Pfa के लिए पेपर डिवीजन-फ्री एल्गोरिदम Appro a: बीजीय द्वारा बीजगणितीय और संयोजक दृष्टिकोण । यह पेपर पफैफियन को कॉम्बिनेटरियल ऑब्जेक्ट से जोड़ता है जिसे अल्टरनेटिव क्लोज्ड वॉक सीक्वेंस (उर्फ अल्टरनेटिंग क्लो सीक्वेंस) कहा जाता है, जो हमें पफैफियन की गणना के लिए डायनामिक (डिवीजन-फ्री) एल्गोरिदम देता है।
पेपर नॉनटेरसेक्टिंग पाथ्स, pfa, ans और प्लेन पार्टीशन Stembridge द्वारा, जो दर्शाता है कि कॉम्फिनेटेरिक्स में कॉन्फ़िगरेशन को एंफर्ट करने के लिए Pfaffian का उपयोग कैसे करें। कागज मूल पहचान के उदाहरण भी देता है,

$A$ $\mathsf{pf}(A)^2 = \mathsf{det}(A)$

— दाई ले
स्रोत

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सचमुच, बहुत बहुत धन्यवाद दाई। वे वास्तव में अच्छे संदर्भ हैं। मैं बहुत जल्द उनके माध्यम से जाऊंगा। एक बार फिर धन्यवाद। और हाँ, इस क्रिसमस का आनंद लें और नया साल मुबारक हो!

— आकाश कुमार

@ स्वर्ण और @ आकाश मुझे खुशी है कि मेरा सुझाव मदद करता है! मेरी क्रिसमस और आप दोनों को नया साल मुबारक हो!

— दाई ले

@ दाई, यह बहुत दिलचस्प लग रहा है। इन तीन संदर्भों में से कौन से बर्कोवित्ज़ के एल्गोरिथ्म (पफैफ़ियन संस्करण) का उल्लेख है?

— माइकल सॉल्टीज़

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आपको यह पेपर Pfaffian सर्किट और उसमें दिए गए संदर्भों में दिलचस्प लग सकता है; मेरा मतलब है कि होलोग्राफिक एल्गोरिदम के साथ-साथ पफैफियंस के साथ क्या किया जा सकता है, यह जानने के लिए यह एक आत्म-निहित परिचय है।

— जेसन मॉर्टन
स्रोत

वह तो कमाल है! धन्यवाद एवं नववर्ष की शुभकामनाएं!

— दाई ले

Whoo ... बहुत बढ़िया! पूरी तरह से मैं क्या चाहता था के साथ धुन में। बहुत-बहुत धन्यवाद (और हाँ नया साल मुबारक हो)

— आकाश कुमार

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यह वास्तव में एक टिप्पणी होनी चाहिए थी, लेकिन जगह की कमी के लिए मैं इसे उत्तर के रूप में पोस्ट कर रहा हूं।

सभी के जवाब और टिप्पणियों के लिए धन्यवाद। हाल ही में, मैं रॉबिन थॉमस के एक अन्य सर्वेक्षण में आया था। आप इसे यहाँ पा सकते हैं http://people.math.gatech.edu/~thomas/PAP/pfafsurv.pdf ।

इसके अलावा, मैं टाइलिंग कनेक्शन के बारे में एक बयान भी जोड़ूंगा (जो मुझे प्रो दाना रान्डेल द्वारा इंगित किया गया था)। यदि आप दोहरी जाली लेते हैं, तो 2x1 डोमिनोज़ टाइलें केवल किनारे हैं। इसलिए, एक सही टाइलिंग दोहरे में एक आदर्श मिलान है। फिर, प्लेफ़ियन के सिद्धांत का उपयोग प्लानेर ग्राफ़ में सही मिलान की गणना के लिए किया जा सकता है।

इसका मतलब यह है कि आप मुख्य रूप से ग्राफ में सही मिलान की गिनती पर ध्यान केंद्रित कर सकते हैं - बाकी सिर्फ तुच्छ रूप से अनुसरण करते हैं।

— आकाश कुमार
स्रोत

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चार्ल्स लिटिल, फिशर, मैककौइग, रॉबर्टसन, सीमोर और थॉमस, लोएबेल, गैलुशियो, टेसलर, मिरांडा, लुचेसी, डी कार्वाल्हो, और मर्टी (जो अभी मेरे दिमाग में आते हैं) द्वारा भी काम किया जाता है।)