द्विआधारी वेक्टर

मेरे पास बाइनरी वैक्टर और एक लक्ष्य वेक्टर जो सर्व-सदिश वेक्टर है। $n$ $S = \{s_1, \ldots, s_n \} \subseteq \{0,1\}^k \setminus \{1^k\}$ $t = 1^k$

अनुमान: यदि के तत्वों में से एक रेखीय संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है से अधिक सभी के लिए प्रधानमंत्री शक्तियों , तो की एक रेखीय संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है से अधिक , यानी, वहाँ पूर्णांक गुणांक के साथ एक रेखीय संयोजन है जो पर लिए जाता है । $t$ $S$ $\mathbb{Z}/q\mathbb{Z}$ $q$ $t$ $S$ $\mathbb{Z}$ $t$ $\mathbb{Z}$

क्या ये सच है? क्या यह किसी से परिचित है? मुझे यह भी पता नहीं है कि इस विषय पर साहित्य की खोज करते समय कीवर्ड का क्या उपयोग करना है, इसलिए किसी भी इनपुट की सराहना की जाती है।

गौर करें कि बातचीत निश्चित रूप से रखती है: अगर पूर्णांकों के लिए , तो एक ही राशि आधुनिक का मूल्यांकन के लिए किसी भी मापांक अभी भी समानता देता है; इसलिए पूर्णांक गुणांक के साथ एक रेखीय संयोजन का अर्थ है सभी मॉड्यूल के लिए एक रैखिक संयोजन का अस्तित्व। $t = \sum_{i=1}^n \alpha_i s_i$ $a_i$ $q$ $q$

संपादित 14-12-2017 : अनुमान शुरू में मजबूत था, पर एक रैखिक संयोजन के अस्तित्व जोर देते हुए जब भी एक रैखिक संयोजन आधुनिक है सभी अभाज्य संख्या के लिए । यह मेरे एल्गोरिथम अनुप्रयोग में शोषण करना आसान होता, लेकिन गलत साबित होता है। यहाँ एक काउंटर-उदाहरण है। इस मैट्रिक्स की पंक्तियों द्वारा दिए गए हैं: $\mathbb{Z}$ $t$ $q$ $q$ $s_1, \ldots, s_n$

$\left( \begin{array}{cccccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right)$

मैथेमेटिका ने सत्यापित किया कि वेक्टर इन वैक्टर मॉड की अवधि में पहले 1000 प्राइम के लिए है, जो मैं पर्याप्त सबूत के रूप में लेता हूं कि यह सभी अपराधों के लिए मामला है। हालाँकि, पर कोई पूर्णांक रैखिक रैखिक संयोजन नहीं है : ऊपर दिए गए मैट्रिक्स में पर पूर्ण रैंक है और लिखने के लिए के रेखीय संयोजन के रूप में $t = (1,1,1,1,1,1)$ $q$ $\mathbb{Z}$ $\mathbb{R}$ $(1,1,1,1,1,1)$ से अधिक गुणांक उपयोग कर रहा है । (आपइन वैक्टर mod रैखिक संयोजन के रूप में नहीं लिख सकते हैं, हालांकि, इसलिए यह अनुमान के अद्यतन रूप का खंडन नहीं करता है।) $(s_1, \ldots, s_6)$ $\mathbb{R}$ $(1/2, 1/2, 1/2, -1/2, -1/2, 1/2)$ $t$ $4$

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— बार्ट जानसन
स्रोत

निम्नलिखित कमजोर संपत्ति एक सरल सघनता तर्क से रखती है:

एक है तर्कसंगत के तत्वों के रैखिक संयोजन

यदि और केवल यदि इस पर एक रैखिक संयोजन है

के लिए सभी लेकिन परिमित कई अभाज्य

। यह आमतौर पर अधिक सच है जब

और

में पूर्णांक गुणांक होते हैं, न कि केवल

।

t

$t$

S

$S$

{G F}_{p}

$\mathrm{GF}_p$

p

$p$

S

$S$

t

$t$

0, 1

$0,1$

— एमिल जेकबेक

एक और आंशिक परिणाम (फिर से, मनमाने ढंग से पूर्णांक

iff का एक पूर्णांक रैखिक संयोजन है यह प्रत्येक अंगूठी

में प्रमुख शक्तियों

लिए एक रैखिक संयोजन है ।

S, t

$S,t$

t

$t$

S

$S$

Z / q Z

$\mathbb Z/q\mathbb Z$

q

$q$

— एमिल जेकाबेक

@BartJansen मैं वास्तव में दो अलग-अलग तरीके जानता हूं, लेकिन न तो एक टिप्पणी में काफी फिट बैठता है। मैं बाद में जवाब दूंगा।

— एमिल जेकाबेक

@JoshuaGrochow मैं अनुसरण नहीं करता। यदि "बहुत बड़ा" आप सभी की जरूरत है, यह एक बहुत बड़ा प्रधानमंत्री लेने के लिए पर्याप्त होगा। या एक निश्चित प्रमुख की एक बहुत बड़ी शक्ति। इनमे से किसी का भी पूर्णांक पर समाधान के अस्तित्व से तात्पर्य नहीं है।

— एमिल जेकाबेक

आपके उदाहरण प्रणाली का निर्धारक -4 है, जो सभी विषम अपराधों के लिए एक समाधान निकालता है।

— क्रिस्टोफ़र अर्न्सफ़ेल्ट हैनसेन

संशोधित अनुमान सही है, यहां तक कि और पर आराम की बाधाओं के तहत - मनमाने ढंग से पूर्णांक वैक्टर हो सकते हैं (जब तक सेट परिमित है)। ध्यान दें कि यदि हम से मैट्रिक्स में वैक्टर की व्यवस्था करते हैं , तो सवाल यह है कि पूर्णांक में रैखिक प्रणाली की शोधन क्षमता के बारे में पूछता है , इसलिए मैं नीचे इस तरह की समस्या को तैयार करूंगा। $S$ $t$ $S$ $S$

S x = t

$Sx=t$

$S\in\mathbb Z^{k\times n}$ $t\in\mathbb Z^k$ $Sx=t$ $\mathbb Z$ $\mathbb Z/q\mathbb Z$ $q$

इसे कम से कम दो तरीकों से साबित किया जा सकता है।

प्रमाण 1:

$p$ $p^m$ $p$ $\mathbb Z_p$ $p^m$ $p^{m'}$ $\mathbb Z_p$

\hat{Z} = \prod_{p prime} Z_{p},

$\hat{\mathbb Z}=\prod_{p\text{ prime}}\mathbb Z_p,$

Z

$\mathbb Z$

$\exists x\,Sx=t$ $1$ $t$ $(\mathbb Z,+,1)$ $\mathbb Z$

मरोड़-मुक्त एबेलियन समूहों का सिद्धांत,
$\forall x\,px\ne1$ $p$
$\forall x\,\exists y\,(x=py\lor x=py+1\lor\dots\lor x=py+(p-1))$ $p$

$\hat{\mathbb Z}$ $(\mathbb Z,+,1)$ $(\hat{\mathbb Z},+,1)$ $Sx=t$ $\hat{\mathbb Z}$ $\mathbb Z$

$(\mathbb Z,+,1)$ $\hat{\mathbb Z}$ $\mathbb Z$ $\hat{\mathbb Z}$ $\mathbb Z$

प्रमाण 2:

$M\in\mathrm{GL}(k,\mathbb Z)$ $N\in\mathrm{GL}(n,\mathbb Z)$ $S'=MSN$ $t'=Mt$ $x$ $Sx=t$ $x'=N^{-1}x$ $S'x'=t'$ $x'$ $S'x'=t'$ $x=Nx'$ $Sx=t$ $M,M^{-1},N,N^{-1}$

$S$ $k\ne n$ $Sx=t$ $\mathbb Z$

$s_{ii}$ $S$ $t_i$ $t$ $s_{ii}$
$i$ $i$ $S$ $t_i\ne0$

$q$ $q\nmid t_i$ $q\mid s_{ii}$ $Sx=t$ $\mathbb Z/q\mathbb Z$

— एमिल जेकाब
स्रोत

मेरे समाधान # 1 के साथ मुझे कुछ नया और दिलचस्प सिखाने के लिए धन्यवाद एमिल!

— क्रिस्टोफर अर्नसेफेल्ट हैनसेन

S

$S$

s_{i i}

$s_{ii}$

इस बहुत ही सुखद उत्तर के लिए बहुत बहुत धन्यवाद! अगर यह एक कागज में अपना रास्ता पाता है, तो मुझे आपकी अंतर्दृष्टि को स्वीकार करना सुनिश्चित होगा।

— बार्ट जानसन