क्या प्राकृतिक संख्याओं के अलावा अन्य सेटों पर संगणना की धारणा है?

Question

क्या प्राकृतिक संख्याओं के अलावा अन्य सेटों पर संगणना की धारणा है? तर्क के लिए, मान लीजिए कि सेट पर जाने के साथ कि biject ।$S$$\mathbb{N}$

यह कहने के लिए मोहक है "हाँ, वे फॉर्म वो कार्य हैं जहाँ किसी भी प्रकार का bijection और किसी भी अभिकल्य फ़ंक्शन ”। मैं दो कारणों से इस परिभाषा से सावधान हूँ। जी एन → एस एफ एन → $g \circ f \circ g^{-1}$$g$$\mathbb{N} \to S$$f$$\mathbb{N} \to \mathbb{N}$

1. यह अन्य गणनीय सेटों पर को विशेषाधिकार देता है । जब कम्प्यूटिंग को परिभाषित करने की बात आती है तो विशेष क्यों है ? मैं किसी भी विशेषाधिकार प्राप्त सेट के संदर्भ के बिना संगणना की "समन्वय मुक्त" परिभाषा पसंद करता हूं, मैं किसी भी विशेषाधिकार प्राप्त आधार के बिना एक रेखीय बीजगणित अवधारणा की "समन्वय मुक्त" परिभाषा पसंद कर सकता हूं।$\mathbb{N}$$\mathbb{N}$

2. यह की पसंद के बारे में सवाल उठाता है । मुझे संदेह है कि यह विशेष रूप से और पैथोलॉजिकल विकल्पों द्वारा विरोधाभासों को ढूंढना संभव हो सकता है । उदाहरण के लिए अगर मैं चुनें और कुछ गैर गणनीय द्विभाजन यह वास्तव में मामला है कि सभी गणनीय के लिए गणना कर सका है ?एस जी एस = एन जी जी ∘ च ∘ जी - 1$g$$S$$g$$S = \mathbb{N}$$g$$g \circ f \circ g^{-1}$$f$

   यह परिभाषा की आवश्यकता के लिए आकर्षक है कि कम्प्यूटेशनल हो लेकिन दुर्भाग्य से यह सवाल भीख माँग रहा है।$g$

क्या अलावा अन्य गणनीय सेटों पर कम्प्यूटेबिलिटी का वर्णन करने का कुछ सामान्य तरीका है $\mathbb{N}$?

Comments

ठीक है, के अलावा , कम्प्यूटेबिलिटी भी अक्सर पर परिभाषित किया गया है Σ * , जहां Σ एक परिमित वर्णमाला है ... लेकिन फिर, उन परिभाषाओं एक से अलग गणना कर सका द्विभाजन एन → Σ * (यह है कि, एक ही दिशा में इसे प्रयोग गणना कर सका है एन परिभाषा है, और यह के उलटा का उपयोग कर गणना कर सका है Σ * परिभाषा)। तो आप निश्चित रूप से यह कर सकते हैं, जहां आपके जी और जी - 1 दोनों कम्प्यूटेशनल हैं, लेकिन मैं मानता हूं कि अधिक सामान्य प्रश्न भीख माँग रहा है ...$\mathbb{N}$$\Sigma^*$$\Sigma$$\mathbb{N} \to \Sigma^*$$\mathbb{N}$$\Sigma^*$$g$$g^{-1}$

— जोशुआ ग्रूचो

टाइलिंग सिस्टम, सेलुलर ऑटोमेटा, टैग सिस्टम और इतने पर जैसे कम्प्यूटेशन के मॉडल के बारे में क्या?

— मार्जियो डी बियासी

हमें अन्य गणना योग्य सेटों पर को विशेषाधिकार क्यों नहीं देना चाहिए ? हमारे पास ऐसा करने के लिए एक बहुत मजबूत कारण है: सीपीयू, यानी वह चीज़ जो गणना करता है, एन पर काम करता है (या बी के ऊपर परिमित तार जो अनिवार्य रूप से एक ही बात है)। सुनिश्चित करें कि आप अन्य सेट चुन सकते हैं, लेकिन किसी को आपकी परिभाषा क्यों स्वीकार करनी चाहिए? आप किसी भी दावे को कैसे उचित ठहराते हैं कि जिसे आप कम्प्यूटेबिलिटी कहते हैं, वह वास्तव में एन , या सीपीयू पर गणना करने के अलावा है ? $\mathbb{N}$$\mathbb{N}$$\mathbb{B}$$\mathbb{N}$

— मार्टिन बर्जर

@Martin, मैं अपने जवाब में एक तर्क देना कि हम विशेषाधिकार अधिक एन समय जटिलता के संबंध में कम से कम कुछ हद तक। बिना किसी आत्मनिरीक्षण के यह गलत है इसका कारण यह है कि जब हम वास्तव में मॉडल की कलाकृतियां बनाते हैं तो हम कुछ परिणाम स्वाभाविक मान सकते हैं। $\{0,1\}^*$$\mathbb{N}$

— डैन ब्रुमलेव

क्या कोई कारण है कि आप केवल ध्यान देने योग्य सेटों तक ध्यान दे रहे हैं?

— बाउर

Answer 1

यह प्रश्न अनुसंधान-स्तर का नहीं है, लेकिन चूंकि यह उत्तर प्राप्त कर रहा है, इसलिए मैं एक उत्तर देना चाहूंगा जो वास्तव में चीजों को थोड़ा स्पष्ट कर सकता है, और संदर्भ प्रदान कर सकता है।

सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान का एक पूरा क्षेत्र है जो विश्लेषण, बीजगणित और टोपोलॉजी में कम्प्यूटेबिलिटी का अध्ययन करता है। केंद्रीय महत्व की वास्तविक संख्या के लिए कम्प्यूटेबिलिटी की धारणा है। वास्तव में ट्यूरिंग मशीनों पर ट्यूरिंग का मूल पेपर निम्नलिखित वाक्य से शुरू होता है:

"कम्प्यूटेबल" संख्याओं को संक्षेप में वास्तविक संख्याओं के रूप में वर्णित किया जा सकता है जिनके भाव दशमलव के रूप में परिमित साधनों द्वारा गणना योग्य हैं।

कभी-कभी यह स्रोत पर वापस जाने के लिए भुगतान करता है।

सामान्य सेट पर कम्प्यूटेबिलिटी स्थापित करने के कई तरीके हैं, जिनमें से सबसे सामान्य में से एक है रियलिज़ेबिलिटी सिद्धांत । वास्तविकता सिद्धांत का विचार क्लेन के पेपर पर 1945 से अंतर्ज्ञानवादी नंबर थ्योरी की व्याख्या पर जाता है , लेकिन तब से सामान्यीकृत और कम्प्यूटेबिलिटी की एक मिनी-शाखा में विकसित किया गया है, श्रेणी के सिद्धांत का एक अच्छा मिश्रण के साथ, उदाहरण के लिए देखें जैप वैन ओस्टेन की पुस्तक। "रियलिज़ेबिलिटी: इसकी श्रेणीगत पक्ष के लिए एक परिचय" (लॉजिक और गणित की नींव में अध्ययन, 152, एल्सेवियर, 2008)।

मुझे वास्तविकता के विचार का संक्षेप में वर्णन करने दें, और बाद में अपनी "समन्वय मुक्त" आवश्यकता पर चर्चा करें। कम्प्यूटिंग के एक मॉडल के साथ शुरू करें, जैसे कि ट्यूरिंग मशीन, $\lambda$ -calculus, एक प्रोग्रामिंग भाषा, या किसी अन्य आंशिक कॉम्बिनेटर बीजगणित (आप भी कुछ टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान ले सकते हैं "गणना के मॉडल", यह सामान सामान्य है )। संक्षिप्तता के लिए, आइए हम ट्यूरिंग मशीनों पर विचार करें। हम प्राकृतिक संख्याओं द्वारा ट्यूरिंग मशीनों को कोड करते हैं, लेकिन ध्यान दें कि मैं गणना के कुछ अन्य मॉडल ले सकता था, इसलिए आपको यह नहीं मानना चाहिए कि $\mathbb{N}$ का उपयोग किसी भी तरह से यहां आवश्यक है। (अन्य संभावनाओं में शामिल हैं: प्राकृतिक संख्याओं की शक्तियां, प्राकृतिक संख्याओं के अनंत क्रम, अप्राप्त का वाक्य-विन्यास$\lambda$ -कुलस, खेल की कुछ श्रेणियां, आदि)

एक सेट पर एक कम्प्यूटेबिलिटी संरचना $X$ एक रिश्ता द्वारा दिया जाता है $\Vdash_X$ के बीच $\mathbb{N}$ और $X$ , कहा जाता है साकार करने के संबंध , ऐसा है कि के लिए हर $x \in X$ वहाँ ऐसी है कि । ऐसी संरचनाओं को हम असेंबली कहते हैं । यह परिभाषा सीधे सहज ज्ञान युक्त विचार से मेल खाती है जो डेटा कुछ टुकड़े का प्रतिनिधित्व करता है, या पता चलता है , एक तत्व । (उदाहरण के लिए, बिट्स के कुछ क्रम वर्णों के तारों के जोड़े की बारीक सूचियों का प्रतिनिधित्व करते हैं।)$n \in \mathbb{N}$$n \Vdash_X x$एन एक्स ∈ एक्स$n$$x \in X$

दो असेंबलियों और , एक मानचित्र का एहसास होता है (या "कम्प्यूटेबल") यदि कोई ट्यूरिंग मशीन , तो ऐसा है, जब भी तब समाप्त होता है और । फिर, यह क्या यह अनौपचारिक रूप से "कार्यक्रम" एक अमूर्त समारोह का मतलब का एक सीधा लिप्यंतरण है इसी ट्यूरिंग मशीन डेटा जो कुछ का प्रतिनिधित्व करने के लिए करता है: इसी तत्वों के लिए करता है।$(X, {\Vdash_X})$$(Y, {\Vdash_Y})$$f : X \to Y$टी एन ⊩ एक्स एक्स टी ( एन ) टी ( एन ) ⊩ Y च ( एक्स ) च च$T$$n \Vdash_X x$$T(n)$$T(n) \Vdash_Y f(x)$$f$$f$

असेंबलियों को एक वास्तविकता टोपोस तक बढ़ाया जा सकता है । एक टोपोस उच्च-क्रम अंतर्ज्ञान गणित का एक मॉडल है। यह हमें बताता है कि प्रत्येक वास्तविकता टोपोस (गणना के प्रत्येक मॉडल के लिए एक है) में बहुत सारी दिलचस्प वस्तुएं हैं। उदाहरण के लिए, इसमें वास्तविक संख्याओं का एक ऑब्जेक्ट होता है, जो हमें वास्तविक पर कम्प्यूटेबिलिटी देता है। लेकिन इसमें कई अन्य ऑब्जेक्ट भी शामिल हैं, जैसे हिल्बर्ट स्पेस, बानाच स्पेस, स्मूद मैप्स के स्पेस इत्यादि। आपने कुछ अन्य कम्प्यूटेबल स्ट्रक्चर के लिए कहा, लेकिन आपको कुछ बेहतर मिला: कंप्युटिबिलिटी की पूरी गणितीय दुनिया।

चूँकि श्रेणी सिद्धांत और टोपोज़ डरावने हो सकते हैं और कम्प्यूटेबिलिटी सिद्धांत, श्रेणी सिद्धांत और तर्क में कुछ तकनीकी दक्षता की आवश्यकता होती है, इसलिए हम केवल एक ठोस टोपोस में भी काम कर सकते हैं, लेकिन हम सब कुछ ठोस गैर-अमूर्त तरीकों से व्यक्त करते हैं। गणना की एक विशेष रूप से अच्छी दुनिया क्लेन के कार्य की वास्तविकता से उत्पन्न होती है , और गणना योग्य विश्लेषण के नाम से जाती है ।

मुझे "समन्वय मुक्त" आवश्यकता पर टिप्पणी करने दें:

• अभिकलन के मॉडल के बीच स्विच करने से विभिन्न प्रकार के संगणनीय संसार मिलते हैं। यह थोड़ा सा है जैसे विभिन्न क्षेत्रों के बीच स्विच करना विभिन्न प्रकार के रैखिक बीजगणित देता है।

• एक सेट $X$ कई कम्प्यूटेशनल संरचनाओं से लैस हो सकता है $\Vdash_X$ , वैक्टर के एक सेट की तरह कई आधार हैं। हालांकि, जबकि सभी आधार समतुल्य हैं, $X$ पर सभी कम्प्यूटेशनल संरचनाएं समान रूप से समतुल्य नहीं हैं।

• हम कम्प्यूटेबिलिटी संरचनाओं के साथ ठोस रूप में काम करते हैं $(X, {\Vdash_X})$ , वह यह है कि रेखीय बीजगणित में मैट्रिक्स के साथ काम करने की तरह एक सा। यह बहुत उपयोगी हो सकता है, लेकिन सार नहीं है।

• "समन्वय-मुक्त" फैशन में काम करने के लिए, हम एक वास्तविकता टॉपोस में काम करते हैं और श्रेणी सिद्धांत की शक्ति का उपयोग करते हैं (हाँ, यह एक क्लिच है लेकिन यह काम करता है)।

• हम "विश्व-मुक्त" फैशन में भी काम कर सकते हैं: गणित को अंतर्ज्ञानवादी तर्क में विकसित कर सकते हैं और फिर परिणाम को वास्तविकता के शीर्ष पर ला सकते हैं।

Comments

मैं यहाँ की पसंद को R की पसंद के अनुरूप नहीं देखता जिस क्षेत्र पर हम वेक्टर रिक्त स्थान पर विचार कर सकते हैं। बल्कि "वास्तविकता संबंध" की यह धारणा मुझे परिभाषित करने की तरह लगती है कि आर पर बोरेल माप को परिभाषित करने से क्या मापनीय होना चाहिए और फिर "एक औसत दर्जे का स्थान घोषित करना कुछ भी है जो आर के साथ bijects और एक औसत दर्जे का कार्य कुछ भी है जो एक औसत दर्जे का नक्शा प्रेरित करता है आर → आर ।$\mathbb{N}$$\mathbb{R}$$\mathbb{R}$$\mathbb{R}$$\mathbb{R} \to \mathbb{R}$

— टॉम एलिस

मापने योग्य रिक्त स्थान स्वाभाविक रूप से (कुछ) टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान से बाहर निकलते हैं और यह आमतौर पर एक प्रमेय माना जाता है कि गैर-असतत लोग औसत रूप से लिए आइसोमॉर्फिक हैं । जो मैं आदर्श रूप से खोजना चाहता हूं वह पूर्व निर्माण का संगणना सिद्धांत एनालॉग है। अंतर्निहित संरचना क्या है जो आप पर गणना कर सकते हैं? एन के साथ एक पत्राचार , फिएट द्वारा लगाया गया, विशेष रूप से संतोषजनक नहीं है। $\mathbb{R}$$\mathbb{N}$

— टॉम एलिस

" " का कोई विकल्प नहीं है , केवल गणना के एक मॉडल का विकल्प है। यदि " एन " की पसंद से "आपका मतलब है" हमें ट्यूरिंग मशीनों (संख्याओं द्वारा कोडित) का उपयोग करने दें, तो मेरी बात यह है: कम्प्यूटेबिलिटी संरचना एस के प्रत्येक विकल्प के लिए आपको एक वास्तविकता टॉपोस आर टी ( एस ) मिलता है । एक क्षेत्र के प्रत्येक विकल्प के लिए: करने के लिए यह अनुरूप है एफ आप श्रेणी प्राप्त वी ई सी टी एफ से अधिक वेक्टर रिक्त स्थान की एफ । $\mathbb{N}$$\mathbb{N}$$\mathbb{S}$$\mathrm{RT}(\mathbb{S})$$F$$\mathrm{Vect}_F$$F$

— बाउर

सेट पर उपायों को लागू करना वास्तव में सेट पर कम्प्यूटेबिलिटी स्ट्रक्चर लगाने जैसा है। और दोनों मामलों में कुछ सेटों में प्राकृतिक संरचनाएं जुड़ी होती हैं।

— बाउर

प्रिय प्रेमिका, मुझे आपकी प्रतिक्रिया के लिए धन्यवाद। मुझे खुशी है कि इस क्षेत्र के एक 20 साल के बुजुर्ग ने मेरे प्रश्न को व्यर्थ मानने के लिए मतदान करने के बजाय खुद की तरह एक नवजात को प्रबुद्ध करने में समय लिया। मुझे यह जानकर भी प्रसन्नता हुई कि टॉपोस सिद्धांत और नाल पर पृष्ठ अब पूर्व-अनुसंधान स्तर पर उन लोगों के लिए सुलभ हैं।

— टॉम एलिस

Answer 2

नीचे दिए गए दो कागजात मनमाने ढंग से सेट के लिए संगणना की धारणा विकसित करते हैं। दिलचस्प रूप से यहां तक ​​कि जटिलता सिद्धांत की एक धारणा को गणना के इस मॉडल के लिए परिभाषित किया जा सकता है।

कोबम रिकर्सिव सेट फंक्शंस और कमजोर सेट थ्योरीज अर्नोल्ड बेकमैन, सैम बुश, सी-डेविड फ्राइडमैन, मोरिट्ज मुलर, नील थपेन।

सबसेट-बाउंडेड रिकर्सन और कोहम रिकर्सिव सेट फंक्शंस के लिए एक सर्किट मॉडल अर्नोल्ड बेकमैन, सैम बूस, सी-डेविड फ्राइडमैन, मोरिट्ज म्यूलर, नील थपेन।

Answer 3

यथार्थ के ऊपर जटिलता और अभिकलन की अवधारणा है। एक पाठ्यपुस्तक जिसे मैं आपको निर्देशित करूंगा: https://www.amazon.com/Complexity-Real-Computation-Lenore-Blum/dp/038798282817

मुझे एक प्रयोगशाला के बारे में पता है जो इसका विशेष रूप से अध्ययन करता है: https://complexity.kaist.ac.kr/

Comments

यह विशेष रूप से यथार्थवादी नहीं है क्योंकि इसका तात्पर्य है कि हाल्टिंग ऑर्कुट कम्प्यूटेशनल है।

— बाउर

Answer 4

यह ट्यूरिंग मशीनों के संदर्भ में कम्प्यूटेशन को परिभाषित करने के तरीके के समान है और फिर ट्यूरिंग मशीनों के बारे में तुरंत भूल जाते हैं। चूंकि यह पता चलता है कि ट्यूरिंग मशीन किसी भी अन्य के रूप में अच्छी परिभाषा है, हम इसे मॉडल के एक संपूर्ण समतुल्य वर्ग के लिए एक लंगर के रूप में उपयोग करते हैं, और हम उसी वर्ग के साथ समाप्त होते हैं, कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम इसे किस तत्व से उत्पन्न करते हैं। मूल रूप से यह चर्च-ट्यूरिंग थीसिस है और यह कम्प्यूटेशनल बिट स्ट्रिंग्स के सेट को परिभाषित करता है।

$S$$S$$S$$S$

$S$$S$$\{0,1\}^*$$O(1)$$S$

इसलिए मुझे लगता है कि आपके सवाल का जवाब नहीं है। हमें प्रत्येक सेट के लिए कम्प्यूटेबिलिटी को परिभाषित करना होगा जिसके बारे में हम बात करना चाहते हैं, क्योंकि गैर-समकक्ष परिभाषाएं हैं। एक बहुत ही तकनीकी या शैक्षणिक चर्चा के अलावा, यह आवश्यक नहीं होना चाहिए, क्योंकि एक उचित व्यक्ति स्वतंत्र रूप से एक उचित परिभाषा की कल्पना कर सकता है।

$S$$S$$S$$\{0,1\}^*$

$r \in \mathbb{N}$$r$$g \in \mathbb{N}$$g$$23$$23$$\mathbb{N}^2$$\mathbb{N}$$\mathbb{N}^2$$\mathbb{N}$

इसलिए पूरी चर्चा से बचने के लिए न केवल यह समझा जाना चाहिए कि प्रश्न में सेट पर कम्प्यूटेबिलिटी की एक उचित परिभाषा मौजूद है, बल्कि यह भी कि उचित परिभाषाओं का एक वर्ग है।

$F:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$$\mathbb{N}$$F:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$