क्या परिमित संरचना के पहले क्रम सिद्धांत ने क्वांटिफायर रैंक को बांधा है?

Question

चलो किसी भी परिमित संरचना हो। अपने पहले के आदेश सिद्धांत है टी : = टी एच ( ए ) एक है कि वहाँ अर्थ में घिरे परिमाणक रैंक, क्ष ∈ एन ऐसा है कि सभी के लिए φ ∈ टी के साथ क्यू आर ( φ ) > क्ष वहाँ है एक φ ' ∈ टी साथ क्ष आर ( φ ' ) ≤ क्ष और φ ' ≡ φ ?$\mathfrak{A}$$\mathfrak{T} := \mathfrak{TH}(\mathfrak{A})$$q\in\mathbb{N}$$\varphi\in\mathfrak{T}$$qr(\varphi) > q$$\varphi'\in\mathfrak{T}$$qr(\varphi')\leq q$$\varphi'\equiv\varphi$

Comments

क्या यह CS सिद्धांत के बजाय Mathoverflow का प्रश्न नहीं है?

— बाउर

@Andrej, परिमित मॉडल सिद्धांत और वर्णनात्मक जटिलता को भी TCS का हिस्सा माना जाता है।

— केवह

बहुत बढ़िया, इसलिए ऐसा लगता है जैसे बॉब हार्पर ने एक बार कहा था: गणित कंप्यूटर विज्ञान का एक विशेष मामला है।

— बाउर

कंप्यूटर विज्ञान भी गणित का एक विशेष मामला है, और वे दोनों भी तर्क के विशेष मामले हैं, और इसके विपरीत।

— अक्टूबर को fhyve

Answer 1

किसी भी परिमित संरचना का सिद्धांत मॉडल पूर्ण है। वास्तव में, यह देखना आसान है कि कोई भी सूत्र संरचना के प्रत्येक तत्व के एक मात्रात्मक के साथ एक अस्तित्व के सूत्र के बराबर है, जिसके बाद मूल सूत्र के सभी मात्रात्मक संयोजन और अव्यवस्थाओं द्वारा अनुकरण किया जा सकता है। विशेष रूप से, क्वांटिफायर की संख्या (इसलिए क्वांटिफायर रैंक) संरचना के आकार से बंधी है।

Comments

दरअसल, एक अतिरिक्त यूनिवर्सल क्वांटिफायर की जरूरत है, जो यह व्यक्त करने की अनुमति देता है कि आगे कोई तत्व नहीं हैं। सभी उत्तरों में एक धारणा है जिसे स्पष्ट किया जाना चाहिए: उपस्थिति ओ साम्यता, अर्थात, x = y एक अनुमत परमाणु सूत्र है।

— थॉमस एस

कोई अतिरिक्त क्वांटिफायर की जरूरत नहीं है। हम संरचना के सिद्धांत axiomatize की कोशिश नहीं कर रहे हैं, लेकिन एक सूत्र बराबर खोजने के लिए करने के लिए दिए गए एक याद सापेक्ष सिद्धांत। और समानता की उपस्थिति शास्त्रीय प्रथम-क्रम तर्क के लिए सार्वभौमिक मानक है। इसके अभाव को कहा जाना चाहिए।

— एमिल जेकाबेक

आह। तुम सही हो। "मोडुलो थ्योरी"। समानता के बारे में: जैसा कि हम बाहर के तर्क से लोगों को आसान चीजें समझाने की कोशिश कर रहे हैं, यह रूपरेखा को स्पष्ट करने के लिए चोट नहीं करता है। एक और टिप्पणी: कंजंप्शन और डिसक्शन से क्वांटिफायर को बदलना पूरी तरह से अच्छा है। हालाँकि, विकल्प हैं: चूंकि एक सूत्र, के साथ, एम मुक्त चर, ए के नए संबंध को परिभाषित करता है, नए सूत्र सभी तत्वों का अनुमान लगाने और जाँच कर सकते हैं कि कौन सा है (मॉडुलो ऑटोमोर्फिज्म), यह भी स्पष्ट रूप से "सभी" tuples, जिसके लिए पुराना फॉर्मूला "true" देता है।

— थॉमस एस

Answer 2

एमिल ने जो कुछ कहा, उसे और अधिक ठोस बनाने के लिए: कश्मीर के अलग-अलग वस्तुओं के अस्तित्व को व्यक्त करने वाले सूत्र पर विचार करें। यह दिखाता है कि हमें क्वांटिफायर की अनबाउंड संख्या की आवश्यकता है।

अब आपके पास q क्वांटिफायर के साथ एक फार्मूला है और आपके मॉडल में k ऑब्जेक्ट्स हैं, जिसमें आप यह कहकर फार्मूला व्यक्त कर सकते हैं कि k अलग-अलग ऑब्जेक्ट मौजूद हैं और उनके बीच संबंध CNF के रूप में व्यक्त किए जा सकते हैं।