नॉर्बर्ट ब्लम के 2017 सबूत है कि है

Question

नॉर्बर्ट ब्लम ने हाल ही में एक 38-पेज का सबूत पोस्ट किया है जो । क्या यह सही है?$P \ne NP$

विषय पर भी: कहां (इंटरनेट पर) इसकी शुद्धता पर चर्चा की जा रही है?

नोट: इस प्रश्न पाठ का ध्यान समय के साथ बदल गया है। विवरण के लिए प्रश्न टिप्पणियाँ देखें।

Comments

टिप्पणियाँ विस्तारित चर्चा के लिए नहीं हैं; इस वार्तालाप को बातचीत में स्थानांतरित कर दिया गया है ।

— ब्योर्न जोस-Hanssen

Answer 1

जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, टार्डोस का उदाहरण स्पष्ट रूप से प्रमाण का खंडन करता है; यह एक मोनोटोन फ़ंक्शन देता है, जो कि T0 और T1 पर CLIQUE से सहमत है, लेकिन जो पी में निहित है। यह संभव नहीं होगा यदि प्रमाण सही था, क्योंकि प्रमाण इस मामले पर भी लागू होता है। हालांकि, क्या हम गलती को इंगित कर सकते हैं? यहाँ लिपटन के ब्लॉग पर एक पोस्ट से, ऐसा प्रतीत होता है कि वह स्थान कहाँ है जहाँ प्रमाण विफल रहता है:

एकल त्रुटि , प्रमेय 6 के प्रमाण में एक सूक्ष्म बिंदु है, अर्थात् चरण 1 में, पृष्ठ 31 पर (और साथ ही 33, जहां दोहरे मामले की चर्चा की गई है) - एक स्पष्ट रूप से स्पष्ट दावा है कि में सभी संगत खंड शामिल हैं आदि गलत लगता है।$C'_g$$CNF'(g)$

इसे और विस्तार से समझाने के लिए, हमें बर्ग और उल्फबर्ग के प्रमाण और सन्निकटन विधि में जाने की आवश्यकता है, जो डीएनएफ (सीएनएफ) स्विच के संदर्भ में CLIQUE के लिए घातीय मोनोटोन जटिलता के मूल प्रमाण को बहाल करता है। यह है जैसे मैं इसे देखता हूँ:

प्रत्येक नोड / फाटक के एक तर्क सर्किट के (युक्त द्विआधारी या / तथा केवल द्वार), एक संयोजक सामान्य रूप , एक वियोगी सामान्य रूप , और approximators और कर रहे हैं जुड़ा हुआ। और , गेट आउटपुट के सामान्य रूप से असंगत और संयोजी सामान्य रूप हैं। और भी और रूप हैं, लेकिन कुछ अन्य कार्यों में, गेट आउटपुट को "सन्निकट" करते हैं। हालांकि, उन्हें लिए प्रत्येक में चर की संख्या को सीमित करने की आवश्यकता होती है$g$$\beta$$CNF(g)$$DNF(g)$$C^k_g$$D^r_g$$CNF$$DNF$$D^r_g$$C^k_g$$D^r_g$(एक स्थिर r से कम) और (एक स्थिर k से कम) के लिए प्रत्येक खंड में ।$C^k_g$

इस सन्निकटन के साथ शुरू की गई "त्रुटि" की धारणा है। इस त्रुटि की गणना कैसे की जाती है? हम केवल कुछ इनपुटों के T0 में रुचि रखते हैं, जिस पर हमारा कुल फंक्शन 0 मान लेता है, और इनपुट्स का T1 जिस पर हमारा कुल फंक्शन 1 (एक "वादा") लेता है। अब प्रत्येक गेट पर, हम केवल T0 और T1 के उन इनपुटों को देखते हैं, जिन्हें सही ढंग से गणना ( और दोनों द्वारा किया जाता है , जो एक ही कार्य का प्रतिनिधित्व करते हैं - गेट आउटपुट में का उत्पादन ) , और और लिए कितनी गलतियाँ / त्रुटियाँ हैं$DNF(g)$$CNF(g)$$g$$\beta$$C^k_g$$D^r_g$की तुलना में। यदि गेट एक संयोजन है, तो गेट आउटपुट T0 से अधिक इनपुट की गणना सही तरीके से कर सकता है (लेकिन T1 से सही गणना किए गए इनपुट संभवतः कम हो गए हैं)। के लिए है, जो एक सरल संयोजन के रूप के रूप में परिभाषित किया गया है, वहाँ फिर भी इन इनपुट के सभी पर कोई नया त्रुटियाँ हैं। अब, को CNF / DNF स्विच के रूप में परिभाषित किया गया है , इसलिए इस स्विच से आने वाले T0 पर कई नई त्रुटियाँ हो सकती हैं। T1 पर भी, पर कोई नई त्रुटियां नहीं हैं - प्रत्येक त्रुटि को गेट इनपुटों में से किसी एक पर मौजूद होना चाहिए, और इसी तरह , स्विच T1 पर नई त्रुटियों को प्रस्तुत नहीं करता है। OR फाटक के लिए विश्लेषण दोहरी है।$C^k_g$$D^r_g$$C^k_g$$C^k_g$$D^r_g$

तो अंतिम सन्निकट के लिए त्रुटियों की संख्या एक द्वीपीय संख्या, एक CNF / DNF स्विच (T0 के लिए) या DNF / CNF स्विच (T1 के लिए) द्वारा पेश की गई त्रुटियों की अधिकतम संख्या से होती है। लेकिन कम से कम एक मामले (T0 या T1) में त्रुटियों की कुल संख्या "बड़ी" होनी चाहिए, क्योंकि यह द्वारा बंधे क्लॉज के साथ सकारात्मक संयुग्मित सामान्य रूपों की एक संपत्ति है , जो रज़बोरोव के मूल प्रमाण (लेम्मा) की प्रमुख अंतर्दृष्टि थी 5 ब्लम के कागज में)।$\beta$$k$

तो ब्लम ने नकारात्मकता से निपटने के लिए क्या किया (जो इनपुट के स्तर पर धकेल दिया जाता है, इसलिए सर्किट अभी भी केवल बाइनरी या / और गेट से युक्त है)?$\beta$

उनका विचार सीएनएफ / डीएनएफ और डीएनएफ / सीएनएफ स्विच को प्रतिबंधित करना है, केवल तभी जब सभी चर सकारात्मक हों। तब स्विच बर्ग और उल्फबर्ग के मामले में बिल्कुल वैसे ही काम करेंगे, जैसी त्रुटियों की शुरुआत करते हुए। यह पता चला कि यह एकमात्र मामला है जिस पर विचार करने की आवश्यकता है।

तो, वह कुछ भेदों के साथ बर्ग और उल्फबर्ग की तर्ज पर चलता है। संलग्न करने के बजाय$CNF(g)$ , , C k g और D r g को सर्किट β के प्रत्येक गेट g , वह अपने संशोधनों, C N F ′ ( g ) , D N F ′ ( g ) को संलग्न करता है। , सी ' कश्मीर जी और डी ' आर $DNF(g)$$C^k_g$$D^r_g$$g$$\beta$$CNF'(g)$$DNF'(g)$${C'}^k_g$${D'}^r_g$, अर्थात् "कम" अप्रिय और संयुग्मित सामान्य रूप, जिसे उन्होंने "अवशोषण नियम" द्वारा और डी एन एफ ( जी ) से अलग करने के लिए परिभाषित किया , सभी मिश्रित मोनोमियल / खंडों से नकारात्मक चर को हटा दिया (वह भी उपयोग करता है) आर द्वारा निरूपित इस उद्देश्य के संचालन के लिए, कुछ मोनोमियल / क्लॉज़ को पूरी तरह से हटाते हुए, जैसा कि हमने पहले चर्चा की, आर की उनकी कुछ अनौपचारिक परिभाषा वास्तव में समस्या नहीं है, आर को सटीक बनाया जा सकता है, इसलिए इसे प्रत्येक गेट पर लागू किया जाता है लेकिन जो हटाया जाता है वह निर्भर नहीं करता है केवल पिछले दो आदानों पर लेकिन सर्किट कि गेट तक ले जाने वाले), और उनके approximators के पूरे पर सी ' आर जी और $CNF(g)$$DNF(g)$${C'}^r_g$ , कि उन्होंने भी पेश किया।${D'}^r_g$

उन्होंने निष्कर्ष निकाला है, प्रमेय 5 में, कि एक एक लय समारोह के लिए, कम और डी एन एफ ' वास्तव में गणना होगी 1 और 0 के सेट टी 1 और T0 पर, रूट नोड पर जी 0 (जिसका उत्पादन पूरे समारोह के उत्पादन में है में β )। यह प्रमेय है, मेरा मानना ​​है, सही है।$CNF'$$DNF'$$g_0$$\beta$

अब त्रुटियों की गिनती की बात आती है। मेरा मानना है कि प्रत्येक नोड में त्रुटियों की तुलना कम से गणना की जा के लिए होती हैं और डी एन एफ ' ( जी ) (जो अब संभवतः दो अलग-अलग कार्य हैं), के सी ' आर जी और डी ' कश्मीर जी जैसा कि उन्होंने उन्हें परिभाषित किया। की approximators तोता परिभाषाओं की परिभाषा सी एन एफ ' और डी एन एफ $CNF'(g)$$DNF'(g)$${C'}^r_g$${D'}^k_g$$CNF'$$DNF'$(चरण 1) जब नकारात्मक लोगों के साथ चर मिलाते हैं, लेकिन जब वह सकारात्मक चर के साथ व्यवहार करता है, तो वह बर्ग और उल्फबर्ग (चरण 2) के मामले में स्विच का उपयोग करता है। और वास्तव में, चरण 2 में वह पहले की तरह संभव त्रुटियों की संख्या का परिचय देगा (यह एक ही स्विच है, और सभी शामिल चर सकारात्मक हैं)।

लेकिन सबूत चरण 1. में गलत मुझे लगता है कि ब्लम भ्रामक है , γ 2 पिछले approximators से (फाटक के लिए, जो वास्तव में आते हैं, के रूप में वह उन्हें परिभाषित, ज 1 , एच 2 ,) के सकारात्मक भागों के साथ सी एन एफ ' β ( ज 1 ) और सी एन एफ ' β ( ज 2 ) । वहाँ एक अंतर है, और इसलिए, बयान " सी ' जी अभी भी सभी खंड में निहित होता है सी एन एफ ' $\gamma_1$$\gamma_2$$h_1$$h_2$$CNF'_\beta(h_1)$$CNF'_\beta(h_2)$$C_g'$ गेट जी जो में एक खंड का उपयोग का अनुमान पहले γ ' 1 या γ ' 2 "सामान्य रूप में गलत हो रहा है।$CNF'_\beta(g)$$\gamma_1'$$\gamma_2'$

Comments

लगता है RJL ब्लॉग rjlipton.wordpress.com/2017/08/17// पर भी यही टिप्पणी लिखी है? एक विचार जोड़ना चाहते थे: क्या होगा यदि कुंजी सभी समान 1-बिट्स के c0f / T1 को ctf-dnf रूपांतरण / सन्निकटन के समान माना जाए ? यह बर्कोविट्ज़ 1982 में जाना जाता है इस अलग करने के लिए पी बनाम एनपी देख / वेगनर "टुकड़ा कार्यों की जटिलता" पर्याप्त है sciencedirect.com/science/article/pii/0304397585902099

— vzn

@vzn ब्लॉग पर इस टिप्पणी के लेखक "बाढ़" हैं। इस उत्तर के लेखक "आइडलवॉन" है। अक्षरों का एक क्रमांकन बताता है कि लेखक बहुत अलग नहीं हैं।

— क्लेमेंट सी।

बस जिज्ञासु, क्या अर्किव को कागज अपलोड करने के बाद ब्लम से किसी भी तरह का सार्वजनिक संचार हुआ है?

— मैट

@ मटम ब्लम ने पेपर को वापस ले लिया और पेपर के arXiv पेज पर निम्नलिखित टिप्पणी पोस्ट की: "प्रमाण गलत है। मैं ठीक-ठीक बताऊंगा कि गलती क्या है। ऐसा करने के लिए, मुझे कुछ समय चाहिए। मुझे स्पष्टीकरण अपने पास रखना होगा।" होमपेज "

— गुस्ताव नॉर्ड

स्कॉट एरोनसन

— cuniculus

Answer 2

मैं अलेक्जेंडर रज़बोरोव से परिचित हूं, जिसका पिछला काम बेहद महत्वपूर्ण है और ब्लम के सबूत के लिए एक आधार के रूप में कार्य करता है। मुझे आज उनसे मिलने का सौभाग्य मिला और इस पूरे मामले पर उनकी राय मांगने में कोई समय बर्बाद नहीं किया, इस बात पर कि उन्होंने प्रमाण भी देखा था या नहीं और अगर वह ऐसा करते हैं तो इसके बारे में उनके क्या विचार हैं।

मेरे आश्चर्य करने के लिए, उन्होंने जवाब दिया कि वह वास्तव में ब्लम के कागज के बारे में जानते थे लेकिन शुरू में इसे पढ़ने की परवाह नहीं की। लेकिन जितना अधिक प्रसिद्धि इसके लिए दी गई थी, उसे इसे पढ़ने का मौका मिला और तुरंत एक दोष का पता चला: अर्थात् बर्ग और उल्फबर्ग द्वारा दिए गए तर्क तारडोस के कार्य के लिए पूरी तरह से पकड़ रखते हैं, और चूंकि ऐसा है, इसलिए ब्लम का प्रमाण आवश्यक है। यह गलत है क्योंकि यह उनके कागज में प्रमेय 6 के मूल का खंडन करता है।

Comments

यह बहुत अच्छा होगा यदि आप इस पर विस्तार से बता सकते हैं। Tardos 'फ़ंक्शन को P में जाना जाता है?

— थॉमस

Tardos फ़ंक्शन P में है, और Lovasz थीटा फ़ंक्शन का एक सन्निकटन है, जो एक ग्राफ़ पूरक के लिए, क्लिक संख्या और रंगीन संख्या के बीच है। Lovasz थीटा असली फ़ंक्शन एक ग्राफ का एकरस फ़ंक्शन है। हालाँकि, सवाल यह है कि यह सन्निकटन एक ग्राफ के एक मोनोटोन फ़ंक्शन को भी जन्म देता है (केवल मोनोटोन फ़ंक्शन सबूत को अमान्य कर देगा)। क्या कोई हमें टारडोस पेपर का संदर्भ दे सकता है जहां इसे परिभाषित किया गया है, कृपया?

— आइडलोन

@idolvon इसका मतलब है: cs.cornell.edu/~eva/… यह स्पष्ट रूप से बताता है कि फ़ंक्शन-पॉली-टाइम कम्प्यूटेबल मोनोटोन फ़ंक्शन है

— PsySp

धन्यवाद! यह मूल रूप से इसे सुलझाता है - ब्लूम का प्रमाण गलत होना चाहिए। अब, एक गलती को इंगित करना दिलचस्प हो सकता है। मैं इसे देखूंगा और लिपटन पर एक टिप्पणी पोस्ट करूंगा, जैसे अच्छे पुराने दिनों में, प्रोफ के अनुसार। p वुडपेकर की इच्छाएँ।

— इडोल्वन

@idolvon हां, मैंने भी ऐसा सोचा था। ब्लम के तर्कों को उस पेपर में परिभाषित किया जाना चाहिए, जो बताता है कि मोनोटोन और पॉलीटाइम कम्प्यूटेबल (इसकी परिभाषा के अनुसार तुच्छ)।

— PsySp

Answer 3

इसे सामुदायिक उत्तर के रूप में पोस्ट किया गया है क्योंकि (ए) यह मेरे अपने शब्द नहीं हैं, बल्कि सोशल मीडिया प्लेटफॉर्म पर लुका ट्रेविसन के उद्धरण या अन्य लोगों से जिनके पास कोई CSTheory.SE खाता नहीं है; और (बी) किसी को भी अद्यतन, प्रासंगिक जानकारी के साथ इसे अद्यतन करने के लिए स्वतंत्र महसूस करना चाहिए।

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एक सार्वजनिक फेसबुक पोस्ट (08/14/2017) से लुका ट्रेविसन का हवाला देते हुए , शकर लवेट द्वारा पूछे गए इस पत्र के बारे में एक प्रश्न का उत्तर देते हुए :

एंड्रीव का कार्य, जिसमें सुपरपोलिनोमियल सर्किट जटिलता (सार, तब खंड 7) का दावा किया जाता है, एक परिमित क्षेत्र में सिर्फ अविभाजित बहुपद प्रक्षेप है, जो कि अगर मुझे कुछ याद नहीं है, तो गौसियन उन्मूलन द्वारा हल किया जा सकता है

वास्तव में, यह जरूरी नहीं कि एक बिंदु है जहां प्रमाण विफल हो जाता है; एंड्रयू की टिप्पणी से संबंधित एक प्रश्न के बाद लुका ने निम्नलिखित (08/15/2017) का जवाब दिया:

आप सही कह रहे हैं, दोस्तों, मैंने एंड्रीव के कार्य की परिभाषा को गलत समझा है: यह स्पष्ट नहीं है कि यह बहुपद प्रक्षेप को कम करता है

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कार्ल विमर ने गुस्ताव नोर्थ द्वारा उठाए गए बिंदु पर टिप्पणी की (कार्ल की अनुमति के साथ पुन: प्रस्तुत)

यह करने के लिए जोड़ने के लिए, मैं देख रहा हूँ क्यों नहीं, प्रमेय 5 का सबूत के पहले दो पैराग्राफ से, हम निष्कर्ष निकाल सकते है कि की गणना करता है च । मैं केवल एक तरफा सत्ता के कुछ प्रकार है कि देखने के डी एन एफ ' ( जी 0 ) एक समारोह की गणना करता है ऐसी है कि च = 1 का तात्पर्य यह समारोह भी है कि 1।$\mathrm{DNF'}(g_0)$$f$$\mathrm{DNF'}(g_0)$$f = 1$

तीसरे पैरा मुझे मदद नहीं करता है या तो: निश्चित रूप से और उसके DNF / CNF स्विच एक ही समारोह की गणना, लेकिन यह तुरंत कि DNF / CNF स्विच गणना करता है का पालन नहीं करता च (क्योंकि डी एन एफ ' ( जी 0 ) नहीं हो सकता है), इसलिए हम के बारे में कोई निष्कर्ष नहीं बना सकते च -clauses।$\mathrm{DNF'}(g_0)$$f$$\mathrm{DNF'}(g_0)$$f$

(एक तरफ: यह एकतरफा-नेस ऊपर गुस्ताव के उदाहरण के अनुरूप है।)

एक अलग दृष्टिकोण से, निश्चित रूप से एक मानक नेटवर्क जो एक मोनोटोन फ़ंक्शन की गणना करता है, आंतरिक नोड्स में गैर-मोनोटोन कार्यों की गणना कर सकता है। प्रमेय 5, गैर लय कार्यों पर लागू नहीं होता तो सही ढंग से जिसका उत्पादन नोड है नेटवर्क में उप-समारोह की गणना नहीं हो सकता है जी (जो कई गैर लय कार्यों के लिए होगा)। इस वजह से, मुझे विश्वास है कि इस आगमनात्मक निर्माण नहीं कर रहा हूँ डी एन एफ ' ( जी 0 ) जरूरी अंत में सही हो जाएगा।$\mathrm{DNF'}(g)$$g$$\mathrm{DNF'}(g_0)$

अगर मैं यहाँ पूरी तरह से बंद हूँ, तो कृपया मुझे बताएँ!

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एक अनाम उपयोगकर्ता से, कार्ल की बात की प्रतिक्रिया में:

डीएनएफ 'और सीएनएफ' एफ के लिए सिर्फ डीएनएफ और सीएनएफ हैं, जिसमें विपरीत शाब्दिकों को रद्द किया जाता है, इसलिए उन्हें कम रूप में कम किया जाता है। यह भी कागज में समझाया गया है, और यह परिभाषा से कुछ बोझिल है, लेकिन यह वही है। प्रमेय 5 समस्या नहीं है, मांस प्रमेय 6 में है।

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और कार्ल द्वारा जवाब (जो मैं यहां फिर से पुन: पेश करता हूं):

मैं देखता हूं कि एनॉन क्या कह रहा है (धन्यवाद!); मेरी टिप्पणी ने मेरे भ्रम को ठीक से संबोधित नहीं किया। यदि मोनोटोन है और जी 0 पर गणना की जाती है , तो डी एन एफ ( जी 0 ) लेना ठीक है , अवशोषण और आर ऑपरेटर लागू करें , और परिणामस्वरूप डी एन एफ ′ ( जी 0 ) एफ का प्रतिनिधित्व करता है । प्रमेय 6. करने के लिए मैं की इस परिभाषा पर भुला पर - इस "एक शॉट" निर्माण का उपयोग करना, प्रमेय 5 ठीक है डी एन एफ ' ( जी 0$f$$g_0$$\mathrm{DNF}(g_0)$$R$$\mathrm{DNF'}(g_0)$$f$$\mathrm{DNF'}(g_0)$

मैं जो नहीं देख सकता, वह यह है कि गेट-बाय-गेट लागू-अवशोषण-और- -स- यू - यू -गो कंस्ट्रक्शन ऑफ डी एन एफ ) ( जी 0 ) पृष्ठों पर 27-28 वही काम करता है। यह प्रमेय 6 में काम करने के लिए गेट-बाय-गेट विश्लेषण के लिए आवश्यक लगता है, जब तक कि इस निर्माण से त्रुटि का हिसाब नहीं दिया जाता है। मेरा मतलब है, प्रत्येक फ़ंक्शन को केवल गैर-नकारात्मक या नकारात्मक शाब्दिक शब्दों के साथ DNF द्वारा प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है, लेकिन प्रत्येक नोड g के लिए , D N F ′ ( g ) का हमेशा यह रूप होता है। क्या होगा अगर मेरे नेटवर्क में कोई नोड g है जैसे कि r e s$R$$\mathrm{DNF'}(g_0)$$g$$\mathrm{DNF'}(g)$$g$ का ऐसा कोई प्रतिनिधित्व नहीं है?$\mathrm{res}(g)$

(एक अन्य छोटा (?) बिंदु: मैं नहीं देखता कि गेट-बाय-गेट के रूप में क्या करता है। 1.-4), 1.4 में ऐसा लगता है कि α पहले से ही मानक डीएनएफ निर्माण है, लेकिन साथ। अवशोषण और आर लागू।)$R$$\alpha$$R$

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(उत्तर से अननोन) मैं सहमत हूं कि R की परिभाषा में अस्पष्टता खंड 6 में एक समस्या हो सकती है। R को स्पष्ट रूप से परिभाषित नहीं किया गया है, और जब तक कि इसकी कार्रवाई पूरे DNF पर निर्भर नहीं करती (और DNF के मूल्यों पर सम्मिलित रूप से नहीं) , कोई समस्या हो सकती है। देओलीकर के प्रमाण में समान समस्या थी - दो अलग-अलग परिभाषाएँ भ्रमित थीं। यहां, कम से कम हम जानते हैं कि डीएनएफ होने का क्या मतलब है 'और अगर यह खंड 6 में समस्या का स्रोत है, तो इसे ट्रैक करना आसान हो सकता है। मैं खंड 6 में अभी तक नहीं गया था, लेकिन इसे खंड 4 में वर्णित बर्ग और उल्फबर्ग द्वारा सन्निकट द्वारा प्रमाण समझने की आवश्यकता है, अंततः 1985 से रज़बोरोव के निर्माण से संबंधित है, जो आसान नहीं है।

R कैसे काम करता है:

जब R को किसी चरण में लागू किया जाता है, तो यह केवल उन शब्दों को रद्द कर सकता है, जो AT THAT STEP में विपरीत शाब्दिक होते हैं (हमें नकारात्मक शाब्दिक को ट्रैक करने की आवश्यकता हो सकती है)। उदाहरण के लिए, की सुविधा देता है का मूल्यांकन के रूप में ( ( एक्स ∨ y ) ∧ ( ¬ एक्स ∨ y ) ) ∧ ( एक्स ∨ ¬ y ) पहले, गणना करने के लिए DNF 'पहले और नोड पर, हमें मिलता है

$$(x\lor y) \land (\lnot x \lor y) \land (x \lor \lnot y)$$ $$((x\lor y) \land (\lnot x \lor y))\land (x \lor \lnot y)$$ आर लागू करने के लिए, लेकिन आर लागू करने के बाद हम पहले खो से पहले एक्स पहले ब्रैकेट से, और प्राप्त ( y ) ∨ ( एक्स ∧ y ) ∨ ( y ) , (जहां पहले y में वर्चुअल x नहीं थाअगर हम इसे ट्रैक कर रहे थे)। फिर दूसरा लागू करते हैं और, पाने के लिए ( ( y ) ∨ ( $$(x\lor y) \lor ((x\land y)\lor (y\land y))$$ $x$ $$(y) \lor (x\land y)\lor (y),$$ $y$$x$ लेकिन फिर आर पूरे पहले ब्रैकेट को हटा क्योंकि यह आभासी नहीं y वर्तमान (इस मामले में हम नहीं था में है 'टी पिछले चरणों का ट्रैक रखने के) छोड़ने की जरूरत है, लेकिन शायद हम सामान्य रूप में की जरूरत है, ( ( एक्स ∧ y ) ∨ ( एक्स ∧ y ) ∨ ( एक्स ∧ y $$((y) \lor (x\land y)\lor (y)) \lor ((x\land y)\lor (x\land y) \lor (x\land y)),$$ या बस ( x ∧ y $$((x\land y)\lor (x\land y) \lor (x\land y))$$ $$(x\land y)$$

Comments

मुझे इस पर संदेह है (लेकिन वहां कुछ भी कहने के लिए फेसबुक का उपयोग न करें) - एंड्रीव का कार्य (कागज में) जीआईएफ (क्यू) के बराबर बाएं और दाएं शीर्ष सेट के साथ एक द्विदलीय ग्राफ के रूप में दिया गया है, साथ ही एक मनमाना बढ़त सेट , और एक डिग्री बाध्य। सवाल यह है कि क्या चुनने का एक तरीका है, बाईं ओर के प्रत्येक शीर्ष के लिए, उसके पड़ोसियों में से एक, ताकि प्रेरित कार्य (बाएं से दाएं) एक कम-डिग्री बहुपद हो। लुका की टिप्पणी एक बार लागू होती है, जब हमारे पास प्रत्येक बाएं शीर्ष के लिए पड़ोसी का एक अच्छा विकल्प होता है (जैसा कि तब यह सिर्फ बहुपद प्रक्षेप है), लेकिन यह मेरे लिए स्पष्ट नहीं है कि एक अच्छा विकल्प कैसे बनाया जाए।

— एंड्रयू मॉर्गन

@AndrewMorgan मैंने CW जवाब अपडेट किया।

— क्लेमेंट सी।

@ कार्ल विमर: मौसम के बारे में डीएनएफ g (g0) एफ की गणना करता है, एक का उपयोग करने की जरूरत है कि एफ मोनोटोन है, मुझे लगता है। यह प्रमेय 5 में माना जाता है कि एफ एकरस है।

— मूर्तून

उलझन में! क्या यह सब फेसबुक पोस्ट से उद्धृत किया गया है? ऊपर दिए गए shachar lovett facebook लिंक पर क्लिक करने पर, उपरोक्त कुछ उत्तर मुझे दिखाई दे रहे हैं, लेकिन अन्य मेरे लिए दिखाई नहीं दे रहे हैं। उदा। कार्ल विमर। क्या यह फेसबुक में मित्र प्रतिक्रियाओं की कुछ स्क्रीनिंग के कारण है? यदि ऐसा है तो यह निराशाजनक है और सार्वजनिक चर्चा के लिए यह बहुत अच्छी जगह नहीं है। शायद कोई एक स्क्रीनशॉट बना सकता है? :( या आप फेसबुक पोस्ट के बाहर से सामान का हवाला दे रहे हैं? plz सावधान रहना / उद्धरण के साथ पूरा / urls

— vzn

ओह! इसके अलावा अनुसंधान आप baez ब्लॉग पोस्ट के उत्तर भी उद्धृत कर रहे हैं जिसमें Wimmers उत्तर आदि शामिल हैं johncarlosbaez.wordpress.com/2017/08/15/…

— vzn

Answer 4

लुका ट्रेविसन के ब्लॉग पर दावा किए गए सबूत की शुद्धता पर चर्चा की जा रही है: https://lucatrevisan.wordpress.com/2017/08/15/on-norbert-blums-claimed-proof-that-p-does-not-equal- एन पी /

विशेष रूप से "एनॉन" ने निम्नलिखित प्रासंगिक टिप्पणी पोस्ट की:

"टारडोस ने देखा कि रज़बोरोव और अलोन-बोपाना के तर्क एक फ़ंक्शन को ले जाते हैं, जिसकी गणना एक बहुपद आकार के गैर-मोनोटोन सर्किट द्वारा की जाती है (यह ग्राफ़ ग्राफ के लवोवेज़ थीटा फ़ंक्शन को अनुमानित करने पर एक छोटा रूप है)। यदि बर्ग और उल्फ़बर्ग के तर्क भी। टार्डोस के कार्य के लिए आवेदन करें (जो सहज रूप से संभव है, क्योंकि उनका प्रमाण रज़ोरोव के प्रमाण पर आधारित लगता है) तो यह स्पष्ट है कि ब्लम का वर्तमान दावा सही नहीं हो सकता है। दुर्भाग्य से, लेखक इस बिंदु पर चर्चा नहीं करता है। "

"मिखाइल" के एक प्रत्यक्ष प्रश्न पर, अलेक्जेंडर रज़बोरोव इसकी पुष्टि करता है (मिखाइल का पद देखें): बर्ग और उल्फ़बर्ग द्वारा दिए गए तर्क तारदोस के कार्य के लिए पूरी तरह से पकड़ रखते हैं, और ऐसा होने के बाद, ब्लम का प्रमाण आवश्यक रूप से गलत है क्योंकि यह नाभिक का विरोधाभास करता है। अपने पेपर में छठे प्रमेय का। - ए। जोबोरोव

मेरी राय में यह निश्चित रूप से इस प्रश्न को सुलझाता है कि पेपर सही है या नहीं (यह सही नहीं है!)। यह भी ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि प्रमाण को सुधारना कठिन लगता है क्योंकि प्रमाण विधि स्वयं त्रुटिपूर्ण प्रतीत होती है।

अपडेट (2017/08/30) नॉर्बर्ट ब्लम ने अपने arXiv पेज पर निम्न टिप्पणी पोस्ट की:

प्रमाण गलत है। मैं ठीक-ठीक बताऊंगा कि गलती क्या है। ऐसा करने के लिए, मुझे कुछ समय चाहिए। मैं स्पष्टीकरण अपने मुखपृष्ठ पर रखूंगा

Comments

मैंने इसे एक उत्तर के रूप में पोस्ट किया क्योंकि मेरे पास टिप्पणियां पोस्ट करने के लिए विशेषाधिकार नहीं हैं।

— गुस्ताव नॉर्ड

हां, यह मेरी समझ है (लेकिन मैं गलत हो सकता हूं)। Tardos 'फ़ंक्शन एक मोनोटोन फ़ंक्शन है जो k-cliques पर 1 और पूर्ण (k-1) -पार्टी ग्राफ़ पर 0 है। जहाँ तक मैं बता सकता हूँ, बर्ग और उल्फबर्ग ने CLIQUE के लिए अपने CNF-DNF सन्निकटन सबूत में केवल इन गुणों का उपयोग किया है, जो इसलिए साबित करते हैं कि टारडोस के कार्य में घातीय मोनोटोन जटिलता है। ब्लम के प्रमेय 6 में कहा गया है कि मोनोटोन कार्यों के लिए CNF-DNF सन्निकटन से मोनोटोन जटिलता कम होती है, वही NON- मोनोटोन लोअर बाउंड देते हैं। इसलिए, टारडोस के कार्य में प्रमेय 6 (जो असत्य है) के अनुसार घातीय जटिलता है।

— गुस्ताव नॉर्ड

उस मामले में, ऐसा लगता है कि इस बिंदु को निपटाने के लिए अभी एक मुख्य ध्यान केंद्रित होना चाहिए ... मुझे विश्वास नहीं होता कि मैं ऐसा करने के लिए सक्षम या जानकार हूं, लेकिन (उंगलियों ने पार किया, जो टाइपिंग में मदद नहीं करता है) अन्य हैं।

— क्लेमेंट सी।

इस टारडोस फ़ंक्शन को कहां परिभाषित किया गया है, क्या कोई कागज का संदर्भ दे सकता है? स्पष्ट रूप से, एक गैर-मोनोटोन फ़ंक्शंस जो कि T0 और T1 को अलग करता है, जो P में हैं (इसका निर्माण आसान है, अगर हम k नोड्स के साथ एक पूर्ण ग्राफ़ है तो चेकिंग कहते हैं), लेकिन क्या Tardos फ़ंक्शन मोनोटोन है? यदि मोनोटोन, और T0 और T1 को अलग करता है, तो यह सबूत को अमान्य कर देगा। लेकिन अगर यह मोनोटोन नहीं है, तो सबूत अभी भी सही हो सकता है।

— आइडल्वन

टारडोस के कार्य को यहां स्थित उसके बहुत छोटे पेपर में परिभाषित किया गया है: cs.cornell.edu/~eva/… इसके अलावा टार्डोस के कार्य के गुणों के बारे में विस्तार से चर्चा की गई है [एस। जुकना, बुलियन फंक्शन कॉम्प्लेक्सिटी पी।

— गुस्ताव नोध

Answer 5

गुस्ताव नॉर्ड ने थियोरम 5 (पृष्ठ 29) द्वारा टिप्पणी की । विशेष रूप से, फ़ंक्शन

$$(x\lor y) \land (\lnot x \lor y) \land (x \lor \lnot y)$$

$1$$x$$y$$1$$\beta$$x$$y$$\beta$$g_0$

$DNF'_{\beta}(g_0)$$\beta$

$$x\lor y \lor (x\land y)$$

$DNF'_{\beta}(g_0)$$f$$DNF'_{\beta}(g_0)$$x$$f$$x=1$$f(x,y)=1$$R$

Comments

ऐसा प्रतीत होता है कि इस सूत्र के लिए DNF '(x और y) है - पूर्ण DNF फ़ॉर्म, तुच्छ शब्दों को रद्द करें और अवशोषण लागू करें

— idolvon

$DNF'$

27-28 पृष्ठों पर परिभाषा में ऑपरेटर आर का उपयोग शामिल है, जो अस्पष्ट वाक्यांश के अलावा परिभाषित नहीं है "मूल तुच्छ मोनोमियल में"। अगर हम इसका मतलब यह है कि "रद्द कर दिया जाएगा अगर शाब्दिक इस स्तर तक रखा गया था", तो परिभाषाएं समान हैं। किसी भी मामले में आपको आर के लिए कुछ व्याख्या की आवश्यकता होगी। चूंकि आर अध्याय 6 में बहुत महत्वपूर्ण है, सही व्याख्या महत्वपूर्ण है, और वास्तव में एक है जो आगमनात्मक है।

— इडोल्वन १६'१ at को ४:०६

$$(x\lor y) \land (\lnot x \lor y) \land (x \lor \lnot y)$$ $$((x\lor y) \land (\lnot x \lor y))\land (x \lor \lnot y)$$ $$(x\lor y) \lor ((x\land y)\lor (y\land y))$$ $x$ $$(y) \lor (x\land y)\lor (y),$$

$y$$x$ $$((y) \lor (x\land y)\lor (y)) \lor ((x\land y)\lor (x\land y) \lor (x\land y)),$$ $$((x\land y)\lor (x\land y) \lor (x\land y))$$ $$(x\land y)$$

Answer 6

एंड्रीव के पोली फ़ंक्शन को दिखाने के लिए रीड-सोलोमन कोड की डिकोडिंग की एक सूची का उपयोग पी में किया जा सकता है, शिवकुमार ने अपनी सदस्यता तुलनीय कागज में जिस तरह से किया था, उसी तरह पी में है ? या POLY फ़ंक्शन एनपी-पूर्ण होने के लिए जाना जाता है?

Comments

लांस, मैं आपके सवालों का जवाब नहीं देता। जून 1986 में, डेविड जॉनसन की "ओपन प्रॉब्लम ऑफ द मंथ" ने पूछा कि क्या एंड्रीव की समस्या एनपी-पूर्ण है। एल्गोरिथ्म 7: 2, पीपी 289-305 के जर्नल में डेविड का एनपी-पूर्णता कॉलम देखें। यकीन नहीं होता अगर कभी कोई संकल्प था।

— रवि बोपाना

जॉनसन का 1986 का लेख 90 के दशक के बहुपद पुनर्निर्माण तकनीकों और सूची-डिकोडिंग परिणामों से पहले का है।

— लांस फोर्टनॉ

यहां मेरा विचार नॉर्बर्ट ब्लम के पेपर की धारा 7 में नोटेशन का उपयोग करना है। एक बहुपद p जो कि POLY समस्या का समाधान है, को रीड-सोलोमन कोडवर्ड के रूप में देखा जा सकता है। ए। में प्रत्येक शीर्ष से एक किनारे को चुनकर बेतरतीब ढंग से एक फ़ंक्शन च चुनें। एफ को इनपुट के 1 / q अंश से अधिक में पी के साथ सहमत होना चाहिए। फिर हम पी के लिए संभावनाओं की एक बहुपत्नी लंबी सूची बनाने के लिए एफ पर सूची डिकोडिंग का उपयोग कर सकते हैं और हम उनमें से प्रत्येक की जांच कर सकते हैं।

— लांस फ़ॉर्स्टन

$\sim \sqrt{qd}$$d$$p$$d \sim \sqrt{\frac{q}{\log q}}$$\frac{1}{q}$

@ मैट मानकर मैंने उपरोक्त को सही ढंग से पढ़ा, वह फ़ंक्शन एक ब्लम है जिसके लिए सुपरपोलीनोमियल सर्किट एकता साबित करने का दावा किया गया है। लेकिन अगर यह पी में है, तो इसमें बहुपद सर्किट जटिलता होनी चाहिए, जो कि कथित पी बनाम एनपी प्रमाण के विपरीत है।

— क्लेमेंट सी।

Answer 7

उन्होंने अपने सबूत को गलत कहने के लिए अपने arXiv को अपडेट किया है:

प्रमाण गलत है। मैं ठीक-ठीक बताऊंगा कि गलती क्या है। ऐसा करने के लिए, मुझे कुछ समय चाहिए। मैं स्पष्टीकरण को अपने मुखपृष्ठ पर रखूंगा।

Answer 8

लिप्टन और रेगन के ब्लॉग में यहाँ प्रमाण संरचना पर एक दिलचस्प टिप्पणी के साथ एक उच्च स्तरीय चर्चा है।

वे ब्लम की वंशावली को भी इंगित करते हैं क्योंकि बूलियन सर्किट जटिलता पर एक कम बाध्य साबित हुआ जो 30 से अधिक वर्षों तक खड़ा था। यह निश्चित रूप से सिर्फ "पक्ष की जानकारी" है क्योंकि विशेषज्ञ पहले से ही प्रमाण का गंभीरता से अध्ययन कर रहे हैं।

Answer 9

इसके अलावा, यहां: https://www.quora.com/Whats-the-status-of-Norbert-Blums-claim-that-operatorname-P-neq-operatorname-NP

एलोन अमित का हवाला देते हुए:

(व्यक्तिगत राय, 14 अगस्त, दिन में बाद में): मुझे नहीं लगता कि यह पेपर जांच के लिए खड़ा होगा। एक गहन प्रमेय, जिसे व्यापक रूप से पी will एनपी विल के रूप में शोध किया गया है, सभी संभावना में, गहरी और दूरगामी नई तकनीकों के साथ हल किया जाएगा। यह असंभव नहीं है कि इसे ज्ञात, मौजूदा तरीकों की थोड़ी वृद्धि के साथ हल किया जाएगा, लेकिन यह सिर्फ बहुत, बहुत, बहुत संभावना नहीं है।

Comments

यह एक गैर-तर्क है (एक वैध राय है, और एक जिसे मैं स्वीकार करता हूं, लेकिन एक वैध तर्क नहीं है, जो कि मेरा मानना ​​है कि हमें यहां होना चाहिए)। इस तरह की बातें पहले भी हुई हैं ।

— क्लेमेंट सी।

हां, मैं कुछ भी बहस नहीं कर रहा था। बस इस प्रश्न का उत्तर "यह प्रश्नपत्र कहां है", और फिर इस बिंदु पर उक्त चर्चा का सारांश प्रस्तुत करता है।

— जैक

Answer 10

यह निम्नलिखित कारणों से सही होने की संभावना नहीं है: सन्निकटन की विधि सामान्य रूप से पर्याप्त है कि किसी भी निचली सीमा का उपयोग करके उन्हें साबित किया जा सकता है। यह रज़ोरोव के कारण एक परिणाम है। यह एक समस्या क्यों है? क्योंकि इसका मतलब है कि सन्निकटन की विधि मुख्य प्रगति नहीं होगी, यह कुछ भी व्यक्त कर सकती है, मांस कहीं और होगा। कागज में ऐसा मांस नहीं लगता है, जो यह बताता है कि सबसे अधिक संभावना है कि लेखक एक सूक्ष्म गलती कर रहा है, जिस तरह की गलती आंख से छिपी है, लेकिन अनिवार्य रूप से एक धारणा है जो उत्तर का अर्थ है। उन लोगों के लिए जो जटिलता सिद्धांतकार नहीं हैं: यह एक बहुत अच्छी गंध परीक्षण है, यह उतना ही सच है जितना कि किसी के अपने तहखाने में एक सप्ताह में चंद्रमा की यात्रा करने के लिए एक रॉकेट बनाने के दावे के सच होने की संभावना है।

तो वह सूक्ष्म भूल कहां है? ट्रेविसन के ब्लॉग पर लवेट की एक टिप्पणी है जिसमें कहा गया है कि प्रमेय 6 में छिपी हुई धारणा क्या हो सकती है।

Comments

अच्छा / प्रासंगिक बिंदु; fyi razborovs "no go" thm है "सन्निकटन की विधि पर" (1989) People.cs.uchicago.edu/~razborov/files/approx.pdf लेकिन लगता है कि इस प्रमाण का बहुत विश्लेषण नहीं किया गया है। यदि किसी को इसकी बताई गई शर्तों को ध्यान से समझना हो, तो केवल "शब्दों की विधि" से परे हो, जो कि रेज़बोरोव द्वारा इसकी उत्पत्ति के बाद से संशोधन / विकास / परिशोधन आदि में चला गया हो। इन सटीक स्थितियों का स्पष्ट रूप से बाद के शोधकर्ताओं द्वारा बहुत अधिक विश्लेषण नहीं किया गया है। अन्य प्रमुख अवरोध razborov / rudich द्वारा प्राकृतिक सबूत en.wikipedia.org/wiki/Natural_proof

— vzn

डाउनवोट किया गया क्योंकि इस उत्तर की सामग्री को पहले से ही पिछले उत्तरों में संबोधित किया गया था।

— पुष्टि

Answer 11

$NP-c$$P$

$C$$f$$f$$C$$m$

बूलियन फ़ंक्शन में केवल एक सत्य तालिका होती है, लेकिन एक भी बीजीय अभिव्यक्ति नहीं होती है, न ही एक समस्या केवल एक बूलियन फ़ंक्शन होती है जो इसे हल करती है।

कुछ (सभी हो सकते हैं) कार्य आइसोमोर्फिक्स (समस्याएं हैं)।

$NP=P$$m$$m$$f$$f$$f$