क्या यह "उपसमूह पैकिंग" पॉलीटोप अभिन्न है?

Let एक परिमित रहने वाला समूह हो, और को में polytope होना चाहिए। को असमानताओं को संतुष्ट करने वाले बिंदुओं रूप में परिभाषित किया गया है: $\Gamma$ $P$ $\mathbb{R}^\Gamma$ $x$

\begin{array}{cl} \sum_{g \in G} x_{g} \leq | G | & \forall G \leq Γ \\ x_{g} \geq 0 & \forall g \in Γ \end{array}

$\begin{array}{cl} \sum_{g\in G} x_g \le |G| & \forall G \le \Gamma \\ x_g \ge 0 & \forall g \in \Gamma \end{array}$

जहां का मतलब के एक उपसमूह है । क्या अभिन्न है? यदि हां, तो क्या हम इसके शीर्षों की विशेषता बता सकते हैं? $G \le \Gamma$ $G$ $\Gamma$ $P$

मेरा प्रश्न मूल रूप से साथ उत्पन्न हुआ , जहां कुछ छोटे उदाहरण ( ) बताते हैं कि उत्तर "हां" और "शायद, लेकिन यह सरल नहीं है"। मैंने 9 और 10 तत्वों पर चक्रीय समूह के साथ-साथ पर भी कोशिश की , जहां फिर से अभिन्न है। Polytope है नहीं जब अभिन्न के किसी भी है , , और , तो abelianness जाहिरा तौर पर आवश्यक है। $\Gamma = \mathbb{F}_2^n$ $n = 2,3$ $\mathbb{F}_3^2$ $\Gamma$ $S_3$ $D_4$ $D_5$

मुझे इस बात का उल्लेख करना चाहिए कि यदि आप समीकरणों के पहले सेट को रूप में लिखते हैं , तो आवश्यक नहीं है कि वह पूरी तरह से का हो (जो बहुवचन अभिन्न है)। जब , तो आप तीन रैखिक स्वतंत्र चुन सकते हैं और चयनित तत्वों प्रत्येक जोड़े द्वारा छपे हुए तीन ले सकते हैं । परिणामी है क्रमपरिवर्तन तक, और इसलिए निर्धारक । $Ax \ge b$ $A$ $\Gamma = \mathbb{F}_2^3$ $g$ $G$ $g$

[\begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{matrix}]

$\begin{bmatrix}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{bmatrix}$

\pm 2

$\pm 2$

प्राइम-ऑर्डर समूहों के लिए कोने को चिह्नित करना आसान है (यदि थकाऊ है) और निरीक्षण करें कि वे अभिन्न हैं। मुझे पूरा यकीन है कि इसे चक्रीय समूहों के लिए ऑर्डर-प्राइम-पॉवर के साथ बढ़ाया जा सकता है। मुझे यकीन नहीं है कि उत्पाद लेते समय क्या होता है।

यह प्रणाली बहुपद को परिभाषित करने वाले लोगों की बहुत याद दिलाती है , लेकिन एक सबमॉड्यूलर सेट फ़ंक्शन के बजाय, बाधाएं एक "सबग्रुप फ़ंक्शन" हैं जो मुझे संदेह है कि 'सबमॉड्यूलर' एक बार सही तरीके से परिभाषित किया गया है। फिर भी, कुछ पॉलीमैट्रोइड्स दिखाने की तकनीक अभिन्न है, यहाँ भी काम कर सकते हैं, लेकिन मैं यह नहीं देखता कि कैसे।

इसके अलावा, फूरियर विश्लेषण प्रासंगिक हो सकता है: जब , ऐसा लगता है कि कोने अधिकतम साथ वास्तव में बात कर रहे हैं सभी के लिए के साथ उन लोगों के रूप में, साथ ही जहां है फूरियर चरित्र (बूलियन कार्यों के विश्लेषण से मानक संकेत के बाद) वें, और अरिक्त है। (जब खाली है, तो संबंधित बिंदु , जो एक शीर्ष भी है।) $\Gamma = \mathbb{F}_2^n$ $\sum_g x_g$ $x_g = 1$ $g$ $x_g = 1 - \chi_S(g)$ $\chi_S$ $S$ $S$ $S$ $x_g = 0$

gr.group-theory fourier-analysis convex-geometry

— एंड्रयू मॉर्गन
स्रोत

वाकई दिलचस्प सवाल! के मामले में , आप यह देख कर विश्लेषण से कुछ लाभ प्राप्त करने में सक्षम हो सकते हैं कि ऑटोमोर्फिज्म समूह गैर-पहचान तत्वों (वास्तव में, n-transitively) के अर्थ में सकर्मक रूप से कार्य करता है ", इसमें यह रैखिक स्वतंत्र समूह तत्वों के किसी भी n-tuple को किसी भी अन्य ऐसे n-tuple को भेजता है)। आरंभ करने के लिए, आप WLOG मान सकते हैं कि x_ गैर-पहचान तत्वों में सबसे बड़ा है और यह दूसरी सबसे बड़ी है ...

F_{2}^{n}

$\mathbb{F}_2^n$

x_{1000 \dots 0}

$x_{1000\dotsc 0}$

x_{e_{2}}

$x_{e_2}$

— जोशुआ Grochow

@JoshuaGrochow धन्यवाद! मुझे यकीन नहीं है कि निर्देशांक को छांटना रास्ता तय करना है, लेकिन समरूपता लगभग हमेशा उपयोगी होती है। उनका उपयोग करने के लिए एक और जगह बाधाओं पर है --- ऑटोमोर्फिज्म सबग्रुप्स को सबग्रुप्स, सब के बाद भेजते हैं। कुछ ऐसा जो उपयोगी प्रतीत होता है के लिए किसी भी बिंदु, है सभी automorphisms कि कम से कड़े बंधनों के सेट को ठीक से अधिक यह औसत, । मैं नहीं जानता कि हालांकि उस मात्रा को कैसे प्रबंधित किया जा सकता है।

x

$x$

x

$x$

— एंड्रयू मॉर्गन

हाँ यह एक बहुत ही रोचक और जिज्ञासु प्रश्न है। (यदि आप साझा करने में कोई आपत्ति नहीं करते हैं) तो क्या इन विशेष बहुदेवों को देखने की प्रेरणा थी? या बस कुछ ऐसा है जो मौका पाकर लड़खड़ा गया?

— जॉन मैकहैस्क

@JohnMachacek मैं पर वितरण को चिह्नित करने का प्रयास कर रहा था, जो एक मनमाने ढंग से वितरण से रैखिक उप-विकल्प की पसंद से उत्पन्न होता है और फिर समान रूप से उप-वर्ग के एक तत्व पर समान रूप से चयन करता है। इसे एक कवरिंग एलपी के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जिसके दोहरे में उपर्युक्त पॉलीटोप है जो इसके व्यवहार्य क्षेत्र के रूप में है। तथ्य यह है कि यह ऐसी दिलचस्प परिस्थितियों में अभिन्न होने के लिए tcs.se के साथ साझा नहीं करने के लिए दिलचस्प लग रहा था।

F_{2}^{n}

$\mathbb{F}_2^n$

— एंड्रयू मॉर्गन

@AndrewMorgan बहुदेववादी प्राकृतिक या उपयोगिता क्यों है? निर्देशांक केवल आकार को कैप्चर करता है ।

x_{i}

$x_i$

G

$G$

— टी ....

एंड्रयू (पूछनेवाला) और मैंने इस ईमेल पर चर्चा की थी, और हमने दिखाया है कि अनुमान गलत है। पोलीटॉप अबेलियन समूहों के लिए अभिन्न नहीं है, यहां तक कि चक्रीय समूहों के लिए भी नहीं।

सकारात्मक पक्ष पर।

प्रमेय : आदेश साथ चक्रीय समूहों के लिए , जहाँ और primes और , तत्वों और उपसमूहों की घटनाओं का मैट्रिक्स पूरी तरह से एककोशिकीय है। $p^kq$ $p$ $q$ $k\in \mathbb{N}$

ऐसा इसलिए है क्योंकि उपसमूहों का परिवार दो लामिना के परिवारों का मिलन है।

इसलिए, यह दिखाता है कि चक्रीय समूहों के लिए सबसे छोटा प्रतिसाद कम से कम आदेश होना चाहिए । यह वास्तव में बताता है कि कोई छोटा प्रतिपक्ष क्यों नहीं पाया गया। $2\times 3\times 5 =30$

एंड्रयू ने कुछ संगणनाएँ चलाईं, और आदेश चक्रीय समूह के लिए एक प्रतिरूप पाया । $30$

प्रतिपुष्टि : , , , , और हर जगह। इस बिंदु की जाँच करना कठिन नहीं है। यहां मैंने एंड्रयू के प्रमाण को फिर से स्पष्ट किया कि यह वास्तव में एक शीर्ष है। कर रहे हैं कड़े बंधनों। पूरे समूह की कमी, तीन उपसमूहों क्रमशः और द्वारा उत्पन्न , और गैर-नकारात्मकता की कमी। क्योंकि हमारे पास चर हैं, एक शीर्ष है। $x_0=1/2$ $x_2=\frac{30}{2}-\frac{1}{2}=29/2$ $x_3=\frac{30}{3}-\frac{1}{2}=19/2$ $x_5=\frac{30}{5}-\frac{1}{2}=11/2$ $0$ $30$ $2,3$ $5$ $30$ $x$

किसी को आश्चर्य हो सकता है कि यदि लिए सभी लिए अभिन्न है । दुर्भाग्य से, एंड्रयू भी के लिए polytope की एक गैर अभिन्न पाया । $\mathbb{F}_2^n$ $n$ $\mathbb{F}_2^4$

— चाओ जू
स्रोत