कौन से 2P1R खेल संभावित तीव्र हैं?

Question

दो-प्रोवर एक-दौर (2P1R) खेल सन्निकटन की कठोरता के लिए एक आवश्यक उपकरण हैं। विशेष रूप से, दो-प्रोवेर एक-राउंड गेम के समानांतर दोहराव एक अनुमान समस्या के निर्णय संस्करण में अंतराल के आकार को बढ़ाने का एक तरीका देता है। देखें सीसीसी 2010 में दौड़ा सूबेदार राज के सर्वेक्षण बात विषय के एक सिंहावलोकन के लिए।

एक खेल के समानांतर दोहराव में आश्चर्यजनक संपत्ति होती है, जबकि एक यादृच्छिक सत्यापनकर्ता स्वतंत्र रूप से संचालित होता है, दो खिलाड़ी स्वतंत्र रूप से प्रत्येक गेम खेलने की तुलना में बेहतर सफलता प्राप्त करने के लिए खेल को गैर-स्वतंत्र तरीके से खेल सकते हैं। सफलता की राशि, आरजे के समानांतर पुनरावृत्ति प्रमेय से ऊपर आबद्ध है:

प्रमेय : वहाँ एक सार्वभौमिक निरंतर मौजूद है ताकि प्रत्येक 2P1R गेम के लिए मान और उत्तर आकार , समानांतर पुनरावृत्ति गेम का मान अधिक से अधिक हो ।जी 1 - ε रों जी एन ( 1 - ε ग ) Ω ( एन / s $c$$G$$1-\epsilon$$s$$G^n$$(1-\epsilon^c)^{\Omega(n/s)}$

यहाँ इस निरंतर की पहचान के काम की रूपरेखा है :$c$

• रेज़ का मूल पेपर साबित होता है ।$c \leq 32$
• Holenstein ने इसे सुधार दिया ।$c \leq 3$
• राव ने दिखाया कि खेलों के विशेष मामले के लिए पर्याप्तता (और पर निर्भरता हटा दी गई है)।$c' \leq 2$$s$
• रेज़ ने विषम-चक्र गेम के लिए एक रणनीति दी जिसमें दिखाया गया कि राव का परिणाम प्रक्षेपण खेलों के लिए तेज है।

काम के इस शरीर द्वारा, हम जानते हैं । मेरे दो प्रश्न इस प्रकार हैं:$2 \leq c\leq 3$

प्रश्न 1: क्या इस क्षेत्र के विशेषज्ञों के पास के सटीक मूल्य के लिए आम सहमति है ?$c$

अगर यह सोचा जाए कि , तो क्या ऐसे विशिष्ट गेम हैं जो अनुमानात्मक नहीं हैं, लेकिन विशेष रूप से प्रोजेक्शन गेम्स के अतिरिक्त गुणों का उल्लंघन करते हैं जिन्हें राव के प्रमाण की आवश्यकता होती है।$c > 2$

प्रश्न 2: यदि , कौन से दिलचस्प खेल राव की रणनीति का उल्लंघन करते हैं और तेज उदाहरण होने की क्षमता रखते हैं?$c > 2$

मेरे अपने पढ़ने से, यह लगता है कि राव द्वारा उपयोग किए जाने वाले प्रोजेक्शन गेम्स की सबसे महत्वपूर्ण संपत्ति यह है कि समानांतर पुनरावृत्ति के लिए एक अच्छी रणनीति कुछ सवालों के कई संभावित उत्तरों का उपयोग नहीं करेगी। यह किसी तरह प्रोजेक्शन गेम्स के इलाके से संबंधित है।

Answer 1

मेरा मानना ​​है कि सामान्य मामले के लिए c = 3 सही उत्तर है, और उदाहरण देना संभव होना चाहिए। मुझे इसके बारे में अधिक सोचना होगा, यह सुनिश्चित करने के लिए जानना होगा। यह एक अच्छा सवाल है, और मुझे इसके बारे में मौजूदा काम का पता नहीं है।

अनुसंधान ने हाल ही में इस बात पर ध्यान केंद्रित किया कि किस प्रकार के खेलों में (सर्वोत्तम संभव) सी = 1 है, ज्यादातर संभव अनुप्रयोगों के अद्वितीय खेल के प्रवर्धन के कारण।

• बराक एट अल ने एसडीपी अंतराल के साथ सभी अनूठे खेलों के लिए आरजे के प्रति-संयोजन को सामान्यीकृत किया।
• आरजे और रोसेन ने दिखाया कि प्रोजेक्शन गेम्स के विस्तार के लिए सी = 1। मुफ्त गेम के लिए उन लेखकों के एक सुपर-सेट द्वारा पिछले परिणाम भी हैं।

Answer 2

चीजों को लुढ़काने के लिए, मेरे पास एक संभावित खेल है और प्रतिक्रिया चाहूंगा।

बता दें कि एक पूर्णांक है और पूर्णांक नहीं के साथ कम से कम जिसमें । चक्र शक्ति खेल 2P1R खेल है जहाँ Provers सत्यापनकर्ता समझा दिया है कि ग्राफ प्रयास है है संभाव्य। यहाँ, किनारों के साथ पूर्णांक modulo द्वारा दिए गए साथ ग्राफ है यदि mod- दूरी अधिकांश । अगर का -coloring है , तो उसे का क्रम चुनकर और नंबरों को रंग देना होगा।$k \geq 2$$m$$3k+1$$m \not\equiv 0 {\pmod {k+1}}$ कश्मीर + 1 सी कश्मीर मीटर मीटर मीटर कश्मीर कश्मीर + 1 सी कश्मीर मीटर { 1 , ... , कश्मीर } { 0 , ... , मीटर - 1 } कश्मीर + 1 { 0 , ... , मीटर - 1 } m k + $C_{m}^k$$k+1$$C_m^k$$m$$m$$k$$k+1$$C_m^{k}$$\{1,\dots,k\}$$\{0,\dots,m-1\}$इस क्रम में , क्रमिक पूर्णांक के प्रत्येक सेट के बाद से एक प्रतिरूप होता है। चूँकि का एक गुणक नहीं है , इसलिए कुछ बिंदु ऐसे होंगे जहाँ यह रंग विफल हो जाता है।$k+1$$\{0,\dots,m-1\}$$m$$k+1$

सत्यापनकर्ता या तो दोनों खिलाड़ियों से एक ही शीर्ष के लिए पूछता है, यह सत्यापित करने के लिए कि रंग मेल खाते हैं, या यह सत्यापित करने के लिए कि रंग अलग-अलग हैं, एक किनारे मांगता है।

मेरा मानना ​​है कि यह दो कारणों से एक अच्छा उदाहरण है:

1. यह विषम-चक्र के खेल के समान है कि एक रणनीति को आरजे के निचले बाउंड के समान बनाया जा सकता है। इस रणनीति का एक महत्वपूर्ण हिस्सा बेतरतीब ढंग से साझा यादृच्छिकता का उपयोग करके पुनरावृत्ति भर में रंग का चयन करना है।

2. बेतरतीब ढंग से उत्पन्न रंगों में उपयोग किए जाने वाले क्रमपरिवर्तन को रोककर, प्रत्येक शीर्ष पर दिए गए उत्तरों की संख्या राव की रणनीति पर हमला करते हुए पूरे उत्तर को एक समान तरीके से निर्धारित करती है।

क्या इस खेल को पहले से ही माना / हल किया गया है?