ऑटोमेटा पहचानने वाला

चलो $\Sigma$ एक बारीक अक्षर हो। एक कोड $X$ ऊपर $\Sigma$ का सबसेट है $\Sigma^*$ ऐसे कि प्रत्येक शब्द में $X^*$ में शब्दों के संयोजन के रूप में विशिष्ट रूप से प्रतिनिधित्व किया जा सकता है $X$ । एक संकेतवाली $X$ है परिमित अगर $|X|$ परिमित है। (न्यूनतम) ऑटोमेटा पहचान के बारे में क्या ज्ञात है $X^*$ एक परिमित कोड के लिए $X$ ? क्या ऐसे ऑटोमेटा का कोई लक्षण वर्णन है (ऑटोमेटन की संरचना के संदर्भ में, बिना जाने $X$ )? क्या यह संभव है, ऐसे ऑटोमेटन होने से, कोड निकालें $X$ बहुपद समय में?

मुझे इन सवालों में भी दिलचस्पी है जब हम इस तथ्य को छोड़ देते हैं $X$ एक कोड है, यानी, केवल यह मान लें $X$ शब्दों का एक समुच्चय है।

automata-theory

— एंड्रयू राइज़िकोव
स्रोत

आप ऐसे ऑटोमेटा के बारे में क्या जानना चाहते हैं? ऐसा लगता है कि इसके लिए डीएफए का निर्माण करना आसान है

X^{*}

$X^*$ जिसका आकार आसानी से चित्रित किया जा सकता है (यह मूल रूप से स्ट्रिंग्स के अद्वितीय उपसर्गों की संख्या है

X

$X$ , और इस तरह से शब्दों की लंबाई का अधिकांश योग है

X

$X$ ; विशेष रूप से, यह बहुपद आकार है)। ऐसे डीएफए को देखते हुए कोडवर्ड निकालने में भी आसानी होती है

X

$X$ प्रारंभ नोड से सभी चक्रों की गणना करके वापस अपने आप में। आपके प्रश्न विशेष रूप से क्या हैं? आपने पहले से क्या सोच रखा है? हमारे सहायता केंद्र का हिस्सा "प्रश्न आधारित होना चाहिए ..." देखें ।

— डीडब्ल्यू

@ डब्लू, जाहिर है, सभी ऑटोमेटा के पास यह संपत्ति नहीं है। इसलिए मैं पूछता हूं कि क्या इस तरह के ऑटोमेटा का कोई (उम्मीद, बहुपद) लक्षण है। इसके अलावा, मुझे नहीं लगता कि कैसे निकालना है

X

$X$ प्रारंभिक अवस्था से ही सभी चक्रों की गणना करके। वास्तव में, अनंत संख्या में चक्र हो सकते हैं, क्योंकि हम केवल स्वयं-चौराहों के बिना साइकिल तक सीमित नहीं कर सकते। क्या आप कृपया अधिक विशिष्ट हो सकते हैं?

— एंड्रयू राईजिकोव

अगर मैं सही तरीके से समझूं, तो आपने न्यूनतम ऑटोमेटा के बारे में पूछा। मुझे लगता है कि मेरे द्वारा वर्णित सभी न्यूनतम डीएफए आइसोमॉर्फिक होंगे। यदि आप सभी ऑटोमेटा के बारे में पूछ रहे हैं, तो जरूरी नहीं कि न्यूनतम हो, मैं सुझाव देता हूं कि आप प्रश्न को स्पष्ट करने के लिए संपादित करें। मुझे समझ में नहीं आता कि आप केवल स्वयं-चौराहों के बिना साइकिल तक सीमित क्यों नहीं कर सकते; उपसर्ग-मुक्त संपत्ति का मतलब है कि ऐसा करना सुरक्षित है, और यदि

X

$X$ परिमित है, केवल ऐसे कई चक्र होंगे। मेरा सुझाव है कि आप कुछ समय के लिए समस्या के बारे में सोचते हैं, फिर उन सभी परिणामों को साझा करने के लिए प्रश्न को संपादित करें जो आप अब तक के साथ आने में सक्षम हैं।

— डीडब्ल्यू

क्या यह सवाल cstheory.stackexchange.com/questions/4284-… के पहले संस्करण के समान नहीं है , जहां

K

$K$ तथा

K^{'}

$K'$ अलग हो सकता है, सिवाय इसके कि आप चल रहे समय के लिए भी पूछें?

— डोमटॉर्प

@domotorp आप सही हैं, यह जाँच कर रहा है कि शब्दों का एक समूह बहुपद समय में किया जा सकता है या नहीं, और यह एक काफी प्रसिद्ध तथ्य है (देखें। www-igm.univ-mlv.fr/~berstel-LivreCodes/ कोड्स . html , उपधारा 0.4)। मैं जो चाहता हूं, वह केवल कुछ को पहचानने वाला एक न्यूनतम ऑटोमेटन है, जांचें कि क्या यह कुछ कोड का एक सितारा है।

— एंड्रयू रियाज़िकोव

चूँकि इस सवाल का लंबे समय तक कोई जवाब नहीं मिला, इसलिए मुझे सवाल के पहले भाग के लिए आंशिक उत्तर देने की पेशकश करें:

(न्यूनतम) ऑटोमेटा पहचान के बारे में क्या ज्ञात है $X^∗$ एक परिमित कोड के लिए $X$ ?

शब्दों के एक सीमित सेट को देखते हुए $X$ , फूल automaton की $X^*$ परिमित नॉनडेटर्मिनिस्टिक ऑटोमेटन है $\mathcal{A} = (Q, A, E, I, F)$ , कहाँ पे $Q = \{1, 1\} \cup \{ (u, v) \in A^+ \times A^+ \mid uv \in X \}$ , $I = F = \{(1,1)\}$ , चार प्रकार के संक्रमणों के साथ:

\begin{aligned} (u, a v) & \overset{a}{⟶} (u a, v) such that u a v \in X, (u, v) \neq (1, 1) \\ (u, a) & \overset{a}{⟶} (1, 1) such that u a \in X, u \neq 1 \\ (1, 1) & \overset{a}{⟶} (a, v) such that a v \in X, v \neq 1 \\ (1, 1) & \overset{a}{⟶} (1, 1) such that a \in X} \end{aligned}

$\begin{align*} (u, av) &\enspace{\buildrel{a} \over\longrightarrow}\enspace (ua, v) \text{ such that } uav \in X,\ (u, v) \neq (1,1) \\ (u, a) &\enspace{\buildrel{a} \over\longrightarrow}\enspace (1, 1) \text{ such that } ua \in X,\ u \neq 1 \\ (1, 1) &\enspace{\buildrel{a} \over\longrightarrow}\enspace(a, v) \text{ such that } av \in X,\ v \neq 1\\ (1, 1) &\enspace{\buildrel{a} \over\longrightarrow}\enspace (1, 1) \text{ such that } a \in X \bigr\} \end{align*}$ यह देखना आसान है कि यह ऑटोमेटन पहचानता है

X^{*}

$X^*$ । उदाहरण के लिए, यदि

A = {a, b}

$A= \{a, b\}$ तथा

X = {a, b a, a a b, a b a}

$X = \{a, ba, aab, aba\}$ के फूल ऑटोमेटन

X^{*}

$X^*$ निम्नलखित में से कोई

$\qquad\qquad\qquad$

याद रखें कि एक ऑटोमेटन असंदिग्ध है, यदि दो राज्य दिए गए हैं $p$ तथा $q$ और एक शब्द $w$ , वहाँ से सबसे अधिक एक मार्ग पर है $p$ सेवा $q$ लेबल के साथ $w$ । तब निम्न परिणाम होता है:

प्रमेय [1, Thm 4.2.2]। सेट $X$ एक कोड है अगर फूल ऑटोमेटन का $X^*$ असंदिग्ध है।

फूल ऑटोमेटन में एक बीजीय संपत्ति भी होती है जो इसे न्यूनतम ऑटोमेटन के अपेक्षाकृत करीब बनाती है। यह संपत्ति किसी भी परिमित सेट के लिए है $X$ , लेकिन एक भाषा को उपसमूह मानकर खाली शब्द से छुटकारा पाना आसान है $A^+$ के बजाय $A^*$ ।

याद है कि एक परिमित अर्धवृत्त $R$ है स्थानीय स्तर पर तुच्छ हर idempotent के लिए, अगर $e \in R$ , $eRe = \{e\}$ । एक रूपवाद $\pi:R \to S$ है स्थानीय स्तर पर तुच्छ हर idempotent के लिए करता है, तो $e$ में $S$ , अर्धवृत्त $\pi^{-1}(e)$ स्थानीय रूप से तुच्छ है।

संक्रमण सूजी $T$ के फूल automaton के $X^+$ का फूल अर्धवृत्त कहलाता है $X^+$ । जबसे $T$ पहचानता $L^+$ , एक विशेषण रूपवाद है $\pi$ से $T$ सिंटैक्टिक सेमीग्रुप पर $S$ का $X^+$ ।

प्रमेय । रूपवाद $\pi:T \to S$ स्थानीय रूप से तुच्छ है।

इस परिणाम का एक महत्वपूर्ण परिणाम यह है कि फूल सेमीग्राफ और सिंटैक्टिक सेमीग्रुप की संख्या समान है $\mathcal{J}$ -कक्षाएं।

संदर्भ

[ १ ] जे। बर्स्टेल, डी। पेरिन, सी। रुटेनॉयर, कोड्स और ऑटोमेटा । गणित और उसके अनुप्रयोगों का विश्वकोश, 129. कैम्ब्रिज यूनिवर्सिटी प्रेस, कैम्ब्रिज, 2010। xiv + 619 पीपी। आईएसबीएन: 978-0-521-88831-8

— J.-E. पिन
स्रोत