यह जाँचने की जटिलता है कि किसी भाषा में दो शब्दों का परस्पर संबंध है या नहीं

Question

एक निश्चित भाषा के लिए $L$ कुछ वर्णमाला पर $A$आइए हम निम्नलिखित समस्या पर विचार करें, जिसे मैं कहता हूं $L$-विश्लेषण :

• इनपुट: दो शब्द $u, v \in A^*$
• आउटपुट: क्या कोई इंटरलेविंग मौजूद है$u$ तथा $v$ जो की अंदर है $L$।

यहां, दो शब्दों की एक इंटरलेयिंग$u$ तथा $v$ एक शब्द है $w$ के अक्षरों को ले कर सहज रूप से प्राप्त किया जा सकता है $u$ तथा $v$जबकि उनके रिश्तेदार आदेश रखते हैं। औपचारिक रूप से,$w$ की एक interleaving है $u$ तथा $v$ यदि हम इसे दो असमानताओं में विभाजित कर सकते हैं, तो एक जो बराबर है $u$ और दूसरा जो बराबर है $v$। उदाहरण के लिए, "बहेलोल" "हेल्लो" और "बेल" का एक इंटरलेविंग है।

की जटिलता क्या है $L$भाषा के आधार पर समस्या का समाधान $L$? विशेष रूप से:

• अगर $L$नियमित है, तो हम दो तारों पर एक गतिशील एल्गोरिथ्म के साथ समस्या को हल कर सकते हैं जो इसे कक्षा एनएल में दिखाता है। क्या यह कुछ नियमित भाषाओं के लिए एनएल-कठिन है? हालांकि, कुछ नियमित भाषाओं के लिए, समस्या स्पष्ट रूप से L (नियतात्मक लॉगस्पेस) में है। क्या भाषाओं का कुछ लक्षण वर्णन है जिसके लिए समस्या L में है?
• अगर $L$ नियमित नहीं है, समस्या अभी भी NL में है $L$बहुपद ऑनलाइन निर्धारक अंतरिक्ष जटिलता है ( इस धारणा के लिए यहां देखें , या मेरे पहले प्रश्न )। हालाँकि, यह कवर नहीं करता है, उदाहरण के लिए, सभी संदर्भ-मुक्त भाषाएँ; फिर भी, कुछ अन्य (जैसे, palindromes) को भी NL (उदाहरण के लिए, शुरुआत से और अंत में एक साथ गतिशील एल्गोरिथ्म करके) दिखाया जा सकता है। क्या एक संदर्भ-मुक्त भाषा है जिसकी$L$एनपीएल-कठिन समस्या है?

Answer 1

एक शब्द के लिए $w=w_1\ldots w_{\ell}$ और दो पूर्णांकों के लिए $i,j$ साथ में $1\le i\le j\le \ell$ हम द्वारा निरूपित करते हैं $w(i,j)$ अधीनस्थ $w_iw_{i+1}\ldots w_j$ का $w$। इसके अलावा हम करते हैं$w(0,0)$ खाली शब्द को निरूपित करें।

• चलो $u=u_1\ldots u_m$ तथा $v=v_1\ldots v_n$ विचाराधीन दो शब्द हो।
• मान लें कि संदर्भ-मुक्त भाषा $L$ चॉम्स्की सामान्य रूप में एक संदर्भ-मुक्त व्याकरण द्वारा निर्दिष्ट किया गया है।

एक गतिशील कार्यक्रम का निर्माण, जहां एक राज्य है $[i,j,r,s,A]$ द्वारा निर्दिष्ट किया गया है

• दो पूर्णांक $i,j$ साथ में $1\le i\le j\le m$ या $i=j=0$
• दो पूर्णांक $r,s$ साथ में $1\le r\le s\le n$ या $r=s=0$
• एक गैर-टर्मिनल प्रतीक $A$ संदर्भ-मुक्त व्याकरण में

हर राज्य के लिए, तय करें कि क्या संदर्भ-मुक्त व्याकरण में कुछ व्युत्पत्ति मौजूद है जो गैर-टर्मिनल से शुरू होती है $A$ और यह दो शब्दों के कुछ अंतःक्रिया के साथ समाप्त होता है $u(i,j)$ तथा $w(r,s)$। यह निर्णय आसानी से किया जा सकता है, यदि राज्यों को सही क्रम में नियंत्रित किया जाता है (लंबे समय तक सब-पासवर्ड से पहले सब-पासवर्ड)।

सब सब में, यह एक बहुपद समय एल्गोरिथ्म पैदावार के लिए $L$किसी भी संदर्भ-मुक्त भाषा की निर्बाध समस्या $L$।

Comments

धन्यवाद! वास्तव में मैंने यह नहीं देखा था कि en.wikipedia.org/wiki/CYK_algorithm का यह संस्करण यह दिखाने के लिए काम करेगा कि समस्या संदर्भ-मुक्त भाषाओं के लिए P में है। उस ने कहा, हम यह नहीं देखते हैं कि समस्या यह कैसे बताती है कि एनएल इस एल्गोरिथ्म का उपयोग कर रहा है: हमें अनुमानों की एक लघु संख्या (वृक्ष की ऊंचाई) बनाने की आवश्यकता प्रतीत होती है, प्रत्येक अनुमान लघुगणक (यानी, पदों में) है स्ट्रिंग)। इस बारे में कोई विचार?

— a3nm

@ a3nm चाहे खाली शब्द सीएफएल से संबंधित हो, पहले से ही पी-हार्ड है।

— सिल्वेन

@ सिल्वेन: ठीक है यह पी-हार्ड है, लेकिन सीएफएल के एक समारोह के रूप में। :) याद रखें कि मेरी समस्या में भाषा (या इसके लिए एक सीएफएल) तय है, और इनपुट केवल दो तार हैं, इसलिए मुझे नहीं लगता कि यह तर्क लागू होता है।

— a3nm

@ a3nm क्षमा करें, मैं वास्तव में इस तथ्य से चूक गया था कि भाषा तय हो गई थी। फिर प्राकृतिक उम्मीदवार LogCFL- कठोरता होगा।

— सिल्वेन

@ सिल्वेन: यह सही है, धन्यवाद! तो वास्तव में मुझे लगता है कि शब्द समस्या एक निश्चित सीएफएल भाषा (यानी, ग्रीबाच की सबसे कठिन भाषा) के लिए भी लॉगसीएफएल-हार्ड है, इसलिए विशेष रूप से सीएफएल भाषाएं हैं जिनके लिए मेरी समस्या लॉगसीएफएल-हार्ड है (उदाहरणों में जहां दूसरी स्ट्रिंग खाली है वहां ले जाएं) )। इसके विपरीत मुझे लगता है कि Gamow का एल्गोरिथ्म LogCFL (?) में है। फिर भी, यह मुझे उन भाषाओं के बारे में आश्चर्यचकित करता है जिनके लिए मेरी समस्या आसान होगी कि यह बाध्य है, और उन्हें कैसे वर्गीकृत किया जा सकता है ...

— a3nm