दिए गए युग्मों के बीच अधिकतम दूरी को कम करने के लिए हैमिल्टनियन मार्ग से मिलान जोड़ें

Question

निम्नलिखित समस्या की जटिलता क्या है?

इनपुट :

• $H$ में एक हैमिल्टन मार्ग$K_n$
• $R \subseteq [n]^2$ के जोड़े का एक उपसमूह
• एक धनात्मक पूर्णांक$k$

क्वेरी : वहाँ एक है मिलान ऐसी है कि हर एक के लिए , ? (जहां )( वी , यू ) ∈ आर डी जी ( वी , यू ) ≤ कश्मीर जी = ( [ एन ] , एम ∪ एच $M$$(v,u) \in R$$d_G(v,u) \leq k$
$G = ([n], M\cup H)$

मैं इस समस्या के बारे में एक मित्र के साथ चर्चा कर रहा हूं। मेरे दोस्त को लगता है कि समस्या बहुपद में है। मुझे लगता है कि यह एनपी-पूर्ण है।

Comments

आप इसे और सरल बना सकते हैं, कम से कम प्रस्तुति के संदर्भ में। आपको , कोने के साथ एक पथ और इन शीर्षों के जोड़े का एक संग्रह है। आप एक मेल के साथ पथ को बढ़ाना चाहते हैं ताकि में किसी भी जोड़ी के बीच की दूरी अधिकतम । n R R $k$$n$$R$$R$$k$

— साशो निकोलेव

मुझे लगता है कि कुछ अस्पष्टता को दूर करने के लिए मेरे नवीनतम संपादन के बाद यह सूत्रीकरण भ्रमित हो सकता है।

— pfim

मेरी व्याख्या सही है, है ना?

— साशो निकोलेव

मैंने समस्या कथन को अधिक कठोर बनाने के लिए एक संपादन किया। मुझे लगता है कि इसे और सरल बनाया जा सकता है क्योंकि जैसा कि आप आसानी से मान सकते हैं कि H हैमिल्टनियन मार्ग 1-2-3-4-5 ...- n बिना किसी सामान्यता के नुकसान के। तो आपको बस जरूरत है । $n$

— केव

Answer 1

यह उत्तर गलत है ।

आपका दोस्त सही है आपकी समस्या (जैसा कि सैशो द्वारा व्याख्या की गई है) मिलान की कार्डिनैलिटी पर कोई प्रतिबंध नहीं लगाती । इसलिए, में जोड़े के बीच एक मिलान होने के लिए चुनें । फिर किसी भी धनात्मक पूर्णांक , में प्रत्येक जोड़ी के बीच की दूरी से कम है ।सी आर के आर $C$$C$$R$$k$$R$$k$

आपकी समस्या दिलचस्प हो जाती है यदि आप मिलान और पथ दोनों से किनारों को शामिल करने के लिए पथ को बाध्य करते हैं ।$C$$P$

Comments

" में जोड़े के बीच मिलान" से आपका क्या मतलब है ? $R$

— एमिल जेकाबेक 3.0

@ EmilJe Emábek इसका अर्थ है कि के प्रत्येक जोड़े के छोर को एक किनारे से जोड़ना । तो सी बस है आर बढ़त हर जोड़ी को जोड़ने के साथ। यह आर के जोड़े पर एक परिपूर्ण मार्चिंग के साथ पी को पथ बढ़ाने के बराबर है । $R$$C$$R$$P$$R$

— मोहम्मद अल-तुर्कस्टनी

इससे मुझे कोई मतलब नहीं है। यदि एक मेल नहीं है तो क्या होगा ? कहो, अगर R में जोड़े ( 1 , 2 ) और ( 1 , 3 ) हैं , तो आप C को कैसे चुनते हैं ? $R$$R$$(1,2)$$(1,3)$$C$

— एमिल जेकाबेक 3.0

@ EmilJebekábek हाँ। आपकी बात सर्वमान्य है। मैं अपने उत्तर को संपादित करूंगा।

— मोहम्मद अल-तुर्कस्टनी

@pfim क्या से केवल किनारों का उपयोग करके सबसे छोटा रास्ता बनाया जा सकता है ? $C$

— मोहम्मद अल-तुर्कस्टनी

Answer 2

अद्यतन: नीचे इस सवाल का जवाब क्योंकि मैं गलत तरीके से मान लिया है कि Hamiltonian पथ, एक मनमाना ग्राफ में है में नहीं, सही नहीं है । मैं इसे बिना छोड़े छोड़ देता हूं, शायद मैं इसे ठीक कर पाऊंगा या यह किसी अन्य उत्तर के लिए कुछ संकेत देगा।$K_n$

मुझे लगता है कि यह एनपी-पूर्ण है। यह 3SAT से एक बहुत ही अनौपचारिक / त्वरित कटौती विचार है

प्रत्येक चर "चर गैजेट" जोड़ता हूं :$x_i$

• तीन नोड्स $X_i, +X_i, -X_i$
• दो चर किनारों और ( X i , - X i$(X_i,+X_i)$$(X_i,-X_i)$

स्रोत नोड जोड़ें और इसे सभी चर X i से कनेक्ट करें ।$S$$X_i$

प्रत्येक खंड के लिए एक नोड जोड़ने के सी जे और इसी चर से कनेक्ट + एक्स मैं या - एक्स मैं कि रूपों खंड।$C_j$$C_j$$+X_i$$-X_i$

$(+x_1 \lor -x_2 \lor -x_3) \land (-x_2 \lor x_3 \lor x_4)$

$R$$(S, C_1), (S,C_2), ...$

$P$$(X_i, +X_i)$$(X_i, -X_i)$$P$

$S$$C_j$$S$$X_i$$S \to X_i \to \pm X_i \to C_j$$X_i \to +X_i$$X_i \to -X_i)$$C$$P$

$P$

$P$$C$

मूल ग्राफ बन जाता है:

$K$$C_j$$S$

$C$

$P$

Comments

एक ऐसा मार्ग बनाने की कोशिश की जा रही है जिसमें सभी नीले किनारों की चिंता हो: कुछ कोने में उन पर 2 से अधिक नीले किनारों की घटना है, इसलिए सभी नीले किनारों सहित कोई भी एक सरल मार्ग नहीं हो सकता है।

— मिखाइल रुडोय

ठीक है, धन्यवाद ... मैं पूरी तरह से भूल गया कि एक सरल रास्ता क्या है :-( ... अब इसे ठीक किया जाना चाहिए।

— Marzio De Biasi

Math.SE की यह पोस्ट बताती है कि समस्या एनपी-पूर्ण नहीं हो सकती है। यह क्वाटिफोलिनोमियल समय math.stackexchange.com/questions/2218929/…

— मोहम्मद अल-

@ मोहम्मदअल-तुर्कस्टनी: क्या आपको उत्तर के वर्तमान संस्करण में कोई दोष दिखाई देता है?

— मार्जियो डी बियासी

नहीं, मुझे कोई स्पष्ट दोष नहीं दिख रहा है।

— मोहम्मद अल-तुर्कस्टनी