क्या लॉग-इन में सीमांकित-चौड़ाई सैट निर्णायक है?

Question

एल्बरफेल्ड, जकोबी, और टेंटाउ 2010 ( ईसीसीसी टीआर 10-062 ) ने बोदलेन्डर के प्रमेय का एक अंतरिक्ष-कुशल संस्करण साबित किया। उन्होंने दिखाया कि अधिकांश पर treewidth के साथ रेखांकन के लिए $k$, चौड़ाई का वृक्ष अपघटन $k$लॉगरिदमिक स्पेस का उपयोग करके पाया जा सकता है। अंतरिक्ष बाउंड में निरंतर कारक पर निर्भर करता है $k$। (बोडलेंडर की प्रमेय एक रैखिक समय सीमा को दर्शाता है, स्थिर कारक में पर एक घातीय निर्भरता के साथ $k$।)

खंडों के सेट की चौड़ाई कम होने पर SAT आसान हो जाता है। विशेष रूप से, फिशर, माकोवस्की और रेव 2008 ने दिखाया कि द्वारा बंधी हुई घटना ग्राफ के ट्रेविद के साथ CNF फॉर्मूलों की संतुष्टि का $k$निर्णय पेड़ के अपघटन दिए जाने पर $2^{O(k)} n$ अंकगणितीय संचालन के साथ किया जा सकता है। Bodlaender की प्रमेय द्वारा, निश्चित लिए घटना ग्राफ के पेड़ के अपघटन की गणना $k$रैखिक समय में की जा सकती है, और इसलिए SAT को समय में सीमित ट्रेव्यूड फ़ार्मुलों के लिए तय किया जा सकता है जो कि चर की संख्या में एक कम-डिग्री बहुपद है $n$।

इसके बाद कोई यह उम्मीद कर सकता है कि एसएटी वास्तव में लॉगरिदमिक स्थान का उपयोग करने के लिए निर्णायक होना चाहिए, घटना ग्राफ के बंधे हुए ट्रेविद के साथ सूत्रों के लिए। यह स्पष्ट नहीं है कि फिशर एट अल को कैसे संशोधित किया जाए। एसएटी को किसी स्थान-कुशल में तय करने के लिए दृष्टिकोण। एल्गोरिथ्म समावेशन-बहिष्करण के माध्यम से समाधानों की संख्या के लिए एक अभिव्यक्ति की गणना करके, और छोटे सूत्रों के समाधानों की संख्या का पुनरावर्ती मूल्यांकन करता है। हालाँकि बंधे हुए ट्रेविद मदद करता है, लॉगरिदमिक स्पेस में गणना करने के लिए सबफॉर्मल्स बहुत बड़े लगते हैं।

यह मुझे पूछने के लिए ले जाता है:

क्या बाउंडेड ट्रेविद फॉर्मूलों के लिए SAT को $\mathsf{L}$ या में जाना जाता है $\mathsf{NL}$?

Comments

क्या यह तथ्य नहीं है कि बाध्य treewidth उदाहरणों के लिए L में SAT आपके द्वारा उद्धृत पेपर में परिणामों से सीधे अनुसरण करता है? संतोषजनक सूत्रों का सेट एमएसओ निश्चित है। इसलिए, बोडलेंडर + कौरसल प्रमेयों के माध्यम से बंधे हुए ट्रेविद के ग्राफ पर रेखीय समय में संतोषजनकता को हल किया जा सकता है। एल्बरफेल्ड-जैकोबी-टेंटाओ -2010, दर्शाता है कि बोडलेन्डर + कौरसल प्रमेय के लॉगरिदमिक अंतरिक्ष संस्करण प्रदान करके बाउंड्री ट्रेविद के ग्राफ पर लघुगणक अंतरिक्ष में एमएसओ गुण का निर्णय लिया जा सकता है। इसलिए, SAT को बंधे हुए त्रिभुज के ग्राफ पर लॉगस्पेस में तय किया जा सकता है।

— मेटुस डी ओलिवेरा ओलिवेरा

@MateusdeOliveiraOliveira, विवरण मुझे स्पष्ट नहीं लगता है। सैट MSO- दो निर्देशित एज रिलेशनशिप (इम्मरमेन उदाहरण 2.18) के साथ एक संरचना के माध्यम से निश्चित है, जिनमें से यूनियन एक बार दिशा के भूल जाने के बाद घटना ग्राफ के किनारों की ओर जाता है। हालांकि, मेरे लिए यह स्पष्ट नहीं है कि एमएसओ-डिफाइन संतोष (उदाहरण के लिए सेट कवर के माध्यम से) के रूप में घटना ग्राफ का उपयोग करना संभव है, इसलिए बोडलेंडर / कौरसल / ईजेटी को लागू करने में सक्षम होना चाहिए।

— एन्द्र दास सलामन

@ AndrásSalomon Courcelle की प्रमेय को रंगीन कोने और किनारों के साथ रेखांकन के लिए कहा जा सकता है। इस तरह के रंगीन रेखांकन का ट्रेवॉइड अनकवर्ड वर्जन के ट्रेविद के समान होता है। रंगीन रेखांकन के रूप में मनमाने ढंग से संबंधपरक संरचनाओं के मॉडलिंग के कई तरीके हैं।

— मट्टस डी ओलिवेरा ओलिवेरा

सूत्र के मामले में आप एक संबंधपरक संरचना को परिभाषित करना चाहते हैं जो एक ही समय में सूत्र और घटना ग्राफ को एन्कोड करता है। (अन्यथा, आप पहली जगह में संतुष्टि को कैसे परिभाषित करेंगे?) फिर इस तरह की संरचना के लिए ट्रेविद की एक उचित धारणा का उपयोग करके, हमारे पास है कि संरचना का ट्राइविड (फॉर्मूला + इंसिडेंस ग्राफ) ट्रिव्यूइड की तुलना में अधिक से अधिक एक निरंतर स्थिर है अकेले घटना ग्राफ। ध्यान दें कि इस तरह के संयुक्त संबंधपरक स्ट्रक्यूटर्स को परिभाषित करने के कई तरीके हैं, और अनिवार्य रूप से प्रत्येक लेखक उस का उपयोग करता है जो उसके संदर्भ के लिए सबसे उपयुक्त है।

— मट्टस डी ओलिवेरा ओलिवेरा

@ माटुस, धन्यवाद! यह एक उपयोगी सहायक टिप्पणी है; मुझे वर्णनात्मक जटिलता में ट्रेविद की "टूलबॉक्स" प्रकृति के बारे में पता नहीं था। इसे एक उत्तर में बदलने की परवाह है?

— आंद्र सलामोन

Answer 1

वास्तव में, एलबरफेल्ड-जकोबी-तांतौ -2010 में परिणामों का उपयोग करके दिखाया जा सकता है कि एसएटी को उन सूत्रों पर लॉगस्पेस में तय किया जा सकता है, जिनकी घटना ग्राफ ने ट्रेविद को बाध्य किया है। इस दावे के प्रमाण के मुख्य चरण कैसे चलते हैं, इस बात का वर्णन यहां दिया गया है।

1. वृक्ष-अपघटन और ट्रेविद की धारणा को मनमाने ढंग से संबंधित संरचनाओं के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। उदाहरण के लिए देखें डलमऊ, कोलाइटिस और वर्डी द्वारा इस पत्र के खंड 2 और 3 ।
2. कौरसल की प्रमेय में कहा गया है कि एमएसओ के तर्क को निरंतर त्रिभुज के संबंधपरक संरचनाओं पर रैखिक समय में तय किया जा सकता है।
3. Bodlaender की एक प्रमेय का तात्पर्य है कि यदि एक संबंधपरक संरचना treewidth है , तो ऐसे संरचना का एक पेड़ अपघटन समय में पाया जा सकता है च ( टी ) ⋅ एन । दूसरे शब्दों में, इस तरह के अपघटन को निरंतर त्रिभुज के ग्राफ पर रैखिक समय में पाया जा सकता है।$t$$f(t)\cdot n$
4. एक उपयुक्त संबंधपरक संरचना को परिभाषित कर सकता है जिसका उपयोग अपने घटना ग्राफ I के साथ एक सूत्र एफ को एनकोड करने के लिए किया जा सकता है । की treewidth τ ज्यादा से ज्यादा एक निरंतर प्लस की treewidth है मैं ।$\tau$$F$$I$$\tau$$I$
5. संबंधपरक संरचनाओं का समुच्चय जो संतोषजनक सूत्रों को सांकेतिक रूप से परिभाषित करता है + उनका घटना ग्राफ एमएसओ निश्चित है।$\tau$
6. इसलिए, बोडलैंडर + कौरसल के प्रमेय से, कोई यह तय कर सकता है कि निरंतर त्रिभुज का एक सूत्र रैखिक समय में संतोषजनक है या नहीं।
7. एल्बरफेल्ड-जकोबी-तांतौ -2010 दिखाते हैं कि "रैखिक समय" को बोडलेंडर और कौरसल के प्रमेय दोनों पर "लॉगरिदमिक स्पेस" द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है।
8. इसलिए, प्रत्येक एमएसओ सूत्र के लिए , और प्रत्येक रिलेशनल संरचना τ , एक लघुगणक अंतरिक्ष कि क्या में निर्धारित कर सकते हैं τ संतुष्ट φ ।$\varphi$$\tau$$\tau$$\varphi$
9. विशेष रूप से, SAT को निरंतर ट्रेविद के ग्राफ पर लॉगस्पेस में निर्धारित किया जा सकता है।