उष्णकटिबंधीय सेमिनार पर बहुपद का कुलपति आयाम?

$\mathbf{BPP}$ $\mathbf{P}$ $\mathrm{poly}$ $(\max,+)$ $(\min,+)$

को एक सेमिनार होने दें । में बहुपद के अनुक्रम का एक शून्य प्रतिमान एक उप- , जिसके लिए मौजूद है और ऐसा है कि सभी के लिए , iff । यही है, साथ बिल्कुल उन बहुपद के ग्राफ को में बिंदु को हिट करना होगा । ("शून्य-पैटर्न" क्योंकि हालत को बदला जा सकता है ।) $R$ $(f_1,\ldots,f_m)$ $m$ $R[x_1,\ldots,x_n]$ $S\subseteq \{1,\ldots,m\}$ $x\in R^n$ $y\in R$ $i=1,\ldots,m$ $f_i(x)= y$ $i\in S$ $f_i$ $i\in S$ $(x,y)\in R^{n+1}$ $f_i(x)=y$ $f_i(x)-y=0$ $Z(m)$ के एक दृश्य के शून्य पैटर्न की अधिकतम संभव संख्या = ज्यादा से ज्यादा के बहुआयामी पद । इसलिए, । Vapnik-Chervonenkis आयाम डिग्री के बहुआयामी पद है । $m$ $d$ $0\leq Z(m)\leq 2^m$ $d$ $VC(n,d) := \max\{m\colon Z(m)=2^m\}$

टिप्पणी: आमतौर पर, कुलपति आयाम एक परिवार के लिए परिभाषित किया गया है सेट की सबसे बड़ी प्रमुखता के रूप मेंएक सेट ऐसा है कि । इस फ्रेम में फिट होने के लिए, हम प्रत्येक जोड़ी सेट के साथ जोड़ सकते हैं जिसके लिए डिग्री के सभी बहुपदों का रखती है। फिर ऐसे सभी सेटों के परिवार का कुलीन आयाम बिल्कुल । ${\cal F}$ $|S|$ $S$ $\{F\cap S\colon F\in{\cal F}\}=2^S$ $(x,y)\in R^{n+1}$ $F_{x,y}$ $f$ $\leq d$ $f(x)=y$ ${\cal F}$ $F_{x,y}$ $VC(n,d)$

एक तुच्छ ऊपरी पर बाध्य है(हमें कम से कम अलग वैक्टर में सभी संभावित पैटर्न होने चाहिए), लेकिन यह अनंत सेमिनारों में बेकार है। कुलपति आयाम पर ऊपरी ऊपरी सीमाएँ होने के लिए, हमें पर अच्छे ऊपरी सीमाएँ चाहिए । से अधिक क्षेत्रों , इस तरह के सीमा जाना जाता है। $m=VC(n,d)$ $m\leq n\log |R|$ $2^m$ $x\in R^n$ $2^m$ $Z(m)$

प्रमेय 1: किसी भी क्षेत्र , हमारे पास । $R$ $Z(m)\leq \binom{md+n}{n}$

इसी तरह की ऊपरी सीमाएं पहले मिल्नोर , हेन्टज़ और वारेन द्वारा सिद्ध की गई थीं ; उनके प्रमाण वास्तविक बीजगणितीय ज्यामिति से भारी तकनीकों का उपयोग करते हैं। इसके विपरीत, रोनई, बाबई और गणपति (जो हम नीचे देते हैं) द्वारा प्रमेय 1 का आधा पृष्ठ का प्रमाण रैखिक बीजगणित का एक सरल अनुप्रयोग है।

छोटे के संतोषजनक , हम उस को किसी भी क्षेत्र में रखते हैं । को ध्यान में रखते बनाम / , यहां महत्वपूर्ण यह है कि आयाम ही है लघुगणक डिग्री में । यह महत्वपूर्ण है क्योंकि बहुपद के आकार के सर्किट घातीय डिग्री के बहुपदों की गणना कर सकते हैं, और क्योंकि पीएसी लर्निंग ( इस पेपर के पृष्ठ 114 पर कोरोलरी 2) में होउस्लर के परिणामस्वरूप निम्नलिखित पैदावार मिलती है (जहां हम मानते हैं कि बहुमत सर्किट का उपयोग करने के लिए नियतात्मक सर्किट की अनुमति है) उनके मूल्यों का उत्पादन करने के लिए)। $m$ $\binom{md+n}{n} < 2^m$ $VC(n,d)=O(n\log d)$ $\mathbf{BPP}$ $\mathbf{P}$ $\mathrm{poly}$ $d$

प्रमेय 2: $\mathbf{BPP}\subseteq \mathbf{P}/\mathrm{poly}$ किसी भी सेमिनार पर सर्किट के लिए रखती है $R$ , जहाँ और $VC(n,d)$ में केवल बहुपद होता है । $n$ $\log d$

यहां देखें कि कैसे हॉसस्लर का परिणाम प्रमेय 2 को दर्शाता है।

विशेष रूप से, प्रमेय 1 के द्वारा, किसी भी क्षेत्र में स्थित है। (दिलचस्प यहाँ केवल अनंत क्षेत्रों का मामला है : परिमित लोगों के लिए, बहुत सरल तर्क काम करते हैं: चेरनॉफ बाउंड काम करता है।) लेकिन क्या (अनंत) सेमरिंग के बारे में जो फ़ील्ड नहीं हैं, या रिंग भी नहीं हैं? गतिशील प्रोग्रामिंग द्वारा प्रेरित, मुझे मुख्य रूप से उष्णकटिबंधीय और ) सेमीरिंग्स में दिलचस्पी है, लेकिन अन्य "गैर-क्षेत्र" (अनंत) सेरिंग्स भी दिलचस्प हैं। ध्यान दें, उस पर semiring, एक बहुपद साथ और $\mathbf{BPP}\subseteq \mathbf{P}/\mathrm{poly}$ $(\max,+)$ $(\min,+)$ $(\max,+)$ $f(x)=\sum_{a\in A} c_a\prod_{i=1}^n x_i^{a_i}$ $A\subseteq\mathbb{N}$ $c_a\in \mathbb{R}$ , अधिकतमकरण समस्या में बदल जाता है ; की डिग्री सभी की में की अधिकतम सीमा है । $f(x)=\max_{a\in A}\ \{c_a+a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n\}$ $f$ $a_1+\cdots+a_n$ $a\in A$

प्रश्न: क्या में उष्णकटिबंधीय अर्धचालक बहुपद पर डिग्री बहुपद का VC आयाम है ? $\leq d$ $n\log d$

मैं मानता हूं, यह त्वरित उत्तर की उम्मीद करने के लिए एक कठिन सवाल हो सकता है: उष्णकटिबंधीय बीजगणित बल्कि "पागल" है। लेकिन शायद किसी को कुछ विचार है कि क्यों (यदि कोई हो) उष्णकटिबंधीय बहुपद वास्तविक बहुपद की तुलना में अधिक शून्य-पैटर्न उत्पन्न कर सकते हैं? या वे "क्यों नहीं" चाहिए? या कुछ संबंधित संदर्भ।

या, शायद, बाबई, रोनई और गणपति (नीचे) का प्रमाण किसी भी तरह से उष्णकटिबंधीय मोड़ पर काम करने के लिए "मुड़" हो सकता है? या किसी भी अन्य अनंत सेमिनारों (जो क्षेत्र नहीं हैं) पर?

प्रमेय 1 का प्रमाण: मान लीजिए कि एक अनुक्रम में भिन्न शून्य-प्रतिमान हैं, और इन शून्य-प्रतिरूपों के साक्षी । चलो एक शून्य पैटर्न ने भी देखा हो मई के वेक्टर , और विचार बहुआयामी पद । हम दावा करते हैं कि ये बहुपद हमारे क्षेत्र पर रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं। यह दावा प्रमेय का सबूत पूरा करता है के बाद से हर ज्यादा से ज्यादा डिग्री है , और अधिक से अधिक के बहुआयामी पद की अंतरिक्ष के आयाम है $(f_1,\ldots,f_m)$ $p$ $v_1,\ldots,v_p\in R^n$ $S_i=\{k\colon f_k(v_i)\neq 0\}$ $i$ $v_i$ $g_i:=\prod_{k\in S_i}f_k$ $g_i$ $D:=md$ $D$ $\binom{n+D}{D}$ । दावे को साबित करने के लिए, यह नोट करने के लिए पर्याप्त है कि यदि और केवल अगर । मान लीजिए कि एक nontrivial रैखिक संबंध मौजूद है। चलिए एक सबस्क्रिप्ट है जैसे कि साथ बीच न्यूनतम है । संबंध में को प्रतिस्थापित करें । जबकि , हमारे पास सभी , एक विरोधाभास है। $g_i(v_j)\neq 0$ $S_i\subseteq S_j$ $\lambda_1 g_i(x)+\cdots+\lambda_p g_p(x)=0$ $j$ $|S_j|$ $S_i$ $\lambda_i\neq 0$ $v_j$ $\lambda_jg_j(v_j)\neq 0$ $\lambda_ig_i(v_j)=0$ $i\neq j$ $\Box$

— Stasys
स्रोत

मैंने महसूस किया है कि मेरे प्रश्न का उत्तर है - हाँ: किसी भी उष्णकटिबंधीय सेमिनार पर चरों पर डिग्री polynomials के VC आयाम, निरंतर रूप से । यह ऊपर प्रमेय 1 का उपयोग करके दिखाया जा सकता है। देखें यहाँ जानकारी के लिए। तो, BPP पी / पाली भी उष्णकटिबंधीय सर्किट के लिए रखती है और इसलिए, "शुद्ध" गतिशील प्रोग्रामिंग एल्गोरिदम के लिए भी। $\leq d$ $n$ $n^2\log(n+d)$ $\subseteq$

NB (25.06.2019 को जोड़ा गया) इस बीच, मैंने इस पेपर में पूरी तरह से समस्या का समाधान कर लिया है । ऐसी व्यापकता, जिसके बारे में मैंने शुरुआत में सपने में भी नहीं सोचा था। उष्णकटिबंधीय मामला यहाँ सिर्फ एक बहुत ही खास मामला है। और इससे भी अधिक उत्सुकता से: अन्य लेखकों के परिणामों के पहले से ही एक उपयुक्त संयोजन (किसी भी सम्मान में गहरे) द्वारा।

इस (BPP बनाम P / पाली) दिशा में और क्या करना है? परिणामी नियतात्मक सर्किट के आकार में कमी के अलावा (अपने आप में एक दिलचस्प सवाल)।

— Stasys
स्रोत