एडलमैन की प्रमेय पर अनंत सेमिनार?

Adleman 1978 में पता चला है कि : एक बूलियन समारोह अगर की चर आकार के एक संभाव्य बूलियन सर्किट से गणना की जा सकती , तो भी एक नियतात्मक द्वारा गणना की जा सकती और में आकार बहुपद का बूलियन सर्किट ; वास्तव में, आकार । $\mathrm{BPP}\subseteq \mathrm{P/poly}$ $f$ $n$ $M$ $f$ $M$ $n$ $O(nM)$

सामान्य प्रश्न: क्या अन्य (बूलियन की तुलना में) पकड़ है? $\mathrm{BPP}\subseteq \mathrm{P/poly}$

थोड़ा और अधिक विशिष्ट होने के लिए, एक संभाव्य सर्किट एक इसके "जोड़" और "गुणा " का उपयोग करता है संचालन फाटकों के रूप में इनपुट इनपुट चर और संभवतः कुछ अतिरिक्त यादृच्छिक चर हैं, जो मान और स्वतंत्र रूप से साथ लेते हैं ; यहां और क्रमशः, सेमिनार की योगात्मक और गुणात्मक पहचान हैं; इस तरह के एक सर्किट किसी दिए गए फ़ंक्शन को गणना करता है $\mathsf{C}$ $(S,+,\cdot,0,1)$ $(+)$ $(\cdot)$ $x_1,\ldots,x_n$ $0$ $1$ $1/2$ $0$ $1$ $\mathsf{C}$ $f:S^n\to S$ अगर प्रत्येक , । $x\in S^n$ $\mathrm{Pr}[\mathsf{C}(x)=f(x)]\geq 2/3$

मतदान समारोह के चर एक आंशिक समारोह जिसका मूल्य है अगर तत्व की तुलना में अधिक दिखाई देता है के बीच में बार , और अपरिभाषित है , अगर ऐसा कोई तत्व मौजूद नहीं है। चेरनॉफ़ और संघ की सीमा का एक सरल अनुप्रयोग निम्नलिखित पैदावार देता है। $\mathrm{Maj}(y_1,\ldots,y_m)$ $m$ $y$ $y$ $m/2$ $y_1,\ldots,y_m$ $y$

अधिकांश ट्रिक: यदि एक संभाव्य परिपथ एक फंक्शन की गणना करता है से एक परिमित सेट , तो वहाँ बोध of जैसे कि सभी । $\mathsf{C}$ $f:S^n\to S$ $X\subseteq S^n$ $m=O(\log|X|)$ $C_1,\ldots,C_m$ $\mathsf{C}$ $f(x)=\mathrm{Maj}(C_1(x),\ldots,C_m(x))$ $x\in X$

बूलियन सेमिनार के दौरान, वोटिंग फ़ंक्शन बहुसंख्यक फ़ंक्शन होता है, और इसमें छोटे (यहां तक कि मोनोटोन) सर्किट होते हैं। तो, Adleman का प्रमेय । $\mathrm{Maj}$ $X=\{0,1\}^n$

लेकिन अन्य (विशेषकर, अनंत) सेमिनारों के बारे में क्या? अंकगणितीय संगोष्ठी बारे में क्या (सामान्य जोड़ और गुणा के साथ)? $(\mathbb{N},+,\cdot,0,1)$

प्रश्न 1: क्या ? $\mathrm{BPP}\subseteq \mathrm{P/poly}$

हालाँकि मैंने "हाँ" के लिए शर्त लगाई थी, लेकिन मैं यह नहीं दिखा सकता।

टिप्पणी: मैं इस पत्र से अवगत हूँ जहाँ लेखक वास्तविक क्षेत्र ऊपर दावा करते हैं । वे गैर-मोनोटोन अंकगणित सर्किट से निपटते हैं , और आउटपुट गेट के रूप में वोटिंग फ़ंक्शन साथ सर्किट तक (प्रमेय 4 में) पहुंचते हैं । लेकिन अंकगणित सर्किट द्वारा इस का अनुकरण कैसे किया जाए (यह मोनोटोन हो या नहीं)? यानी उनकी कोरोलरी 3 कैसे प्राप्त करें? $\mathrm{BPP}\subseteq \mathrm{P/poly}$ $(\mathbb{R},+,\cdot,0,1)$ $\mathrm{Maj}$ $\mathrm{Maj}$

दरअसल, सर्गेई गशकोव (मॉस्को विश्वविद्यालय से) द्वारा मुझे बताए गए निम्न सरल तर्क से लगता है कि यह असंभव है (कम से कम सर्किट केवल बहुपद की गणना करने में सक्षम ) के लिए। मान लीजिए कि हम एक बहुपद रूप में व्यक्त कर सकते हैं । फिर अर्थ है , अर्थ है , और का तात्पर्य । ऐसा इसलिए है क्योंकि शून्य की विशेषता वाले क्षेत्रों में, बहुपद-कार्यों की समानता का मतलब गुणांक की समानता है। ध्यान दें कि प्रश्न 1 में, संभाव्य सर्किट की श्रेणी, और इसलिए, का डोमेन $\mathrm{Maj}(x,y,z)$ $f(x,y,z)=ax+by+cz+ h(x,y,z)$ $f(x,x,z)=x$ $c=0$ $f(x,y,x)=x$ $b=0$ $f(x,y,y)=y$ $a=0$ $\mathrm{Maj}$ -gate अनंत है । इसलिए मुझे आभास है कि लिंक किए गए पेपर केवल अंकगणित सर्किट कंप्यूटिंग फ़ंक्शन के साथ काम करते हैं के लिए छोटे परिमित रेंज , जैसे । तब वास्तव में एक अंकगणित सर्किट द्वारा गणना करना आसान है। लेकिन क्या होगा अगर ? $f:\mathbb{R}^n\to Y$ $Y$ $Y=\{0,1\}$ $\mathrm{Maj}:Y^m\to Y$ $Y=\mathbb{R}$

सुधार [6.03.2017]: पास्कल कोइरन (इस पत्र के लेखकों में से एक) ने मुझे बताया कि उनका मॉडल सिर्फ अंकगणित सर्किटों की तुलना में अधिक शक्तिशाली है: वे साइन-गेट्स ( आउटपुट या आधार पर अनुमति देते हैं कि इनपुट नकारात्मक है) नहीं)। इसलिए, इस मॉडल में वोटिंग फ़ंक्शन मेजर को नकली किया जा सकता है, और मैं अपने "भ्रम" को वापस लेता हूं।

0

$0$

1

$1$

डायनेमिक प्रोग्रामिंग के संदर्भ में, विशेष रूप से ट्रॉपिकल मिन-प्लस और अधिकतम-प्लस सेमरिंग्स के लिए एक ही सवाल है और । $(\mathbb{N}\cup\{+\infty\}, \min, +, +\infty,0)$ $(\mathbb{N}\cup\{-\infty\}, \max, +, -\infty,0)$

प्रश्न 2: क्या उष्णकटिबंधीय ? $\mathrm{BPP}\subseteq \mathrm{P/poly}$

Held इन दो सत्रों में, इसका मतलब यह होगा कि यादृच्छिकता तथाकथित "शुद्ध" गतिशील प्रोग्रामिंग एल्गोरिदम को गति नहीं दे सकती है! ये एल्गोरिदम केवल अपने पुनरावर्ती में मिन / मैक्स और सम ऑपरेशन का उपयोग करते हैं; Bellman- फोर्ड, फ्लोयड-Warshall, पकड़ा-कार्प, और कई अन्य प्रमुख डी पी एल्गोरिदम हैं शुद्ध। $\mathrm{BPP}\subseteq \mathrm{P/poly}$

अब तक, मैं केवल एकतरफा त्रुटि परिदृश्य के तहत प्रश्न 2 (सकारात्मक) का उत्तर दे सकता हूं , जब हमें अतिरिक्त रूप से मिनट से अधिक की आवश्यकता होती प्लस- ), या से अधिक-अधिकतम सेमिनार (अधिकतमकरण)। यही है, हमें अब आवश्यकता है कि यादृच्छिक उष्णकटिबंधीय सर्किट इष्टतम मूल्य से बेहतर कोई उत्पादन नहीं कर सकता है; हालाँकि, यह कुछ बदतर-से-इष्टतम मान देकर गलत कर सकता है। हालाँकि, मेरे प्रश्न दो-तरफा त्रुटि परिदृश्य के अंतर्गत हैं। $\mathrm{Pr}[\mathsf{C}(x) < f(x)]=0$ $\mathrm{Pr}[\mathsf{C}(x) > f(x)]=0$

PS [जोड़ा गया २ to.०२.२०१]]: यहां प्रश्न १ (सकारात्मक) का उत्तर देने का मेरा प्रयास है। यह विचार Erdos और Spencer के कारण n-partite hypergraps के लिए Zarankiewicz समस्या के लिए एक अनुमान के साथ "कॉम्बिनेटरियल Nullstellensatz" के एक सरल संस्करण को संयोजित करने के लिए है। इस बाद के परिणाम में, संपूर्ण तर्क प्राथमिक है।

ध्यान दें कि प्रश्न 2 अभी भी खुला रहता है: "भोले नालेस्टेलेन्त्ज़" (कम से कम जिस रूप में मैंने उपयोग किया है) उष्णकटिबंधीय सेमरिंग्स में नहीं है।

— Stasys
स्रोत

नाइट: बीपीपी एक समान वर्ग है जिसे पीटीएम नहीं सर्किट का उपयोग करके परिभाषित किया गया है।

— केव

@ केव: हाँ, इस अर्थ में, एडलमैन का परिणाम थोड़ा मजबूत है, यह बीपीपी / पॉली के लिए भी है।

— Stasys

यह न देखें कि साधारण तर्क कैसे असंभवता को दिखाता है ... यह प्रतीत होता है कि x, y और z मोनोमियल के गुणांक शून्य होना चाहिए ... मुझे क्या याद आ रहा है? इसके अलावा, यदि एक बहुपद मेजर की गणना नहीं कर सकता है, तो आप एक संगोष्ठी पर एक संगणना का प्रतिनिधित्व कैसे कर सकते हैं? (संगोष्ठी पर एक बहुपद के अलावा और क्या?) सहज रूप से, एक अनंत डोमेन पर, कुछ y पर प्रत्येक बाधा (यह सुनिश्चित करने पर कि> m / 2 y का आपको आउटपुट y होना चाहिए) दूसरों की "स्वतंत्र" लगता है (बाधाओं का कोई सबसेट नहीं निकलता है) एक और) तो ऐसा लगता है कि कोई "परिमित" बहुपद असीम रूप से कई स्वतंत्र बाधाओं को संतुष्ट नहीं कर सकता है।

— रयान विलियम्स

@ रेयान: हाँ, यह केवल f = मेजर दिखाता है h = मेजर। लेकिन h में डिग्री> 1 है, इसलिए h (x, x, z) = x असंभव है। और आप सही हैं: सेमिनारिंग से अधिक सर्किट पॉलीनॉमियल के रूप में कुछ और गणना नहीं कर सकते हैं। इसलिए, वे मेजर की गणना नहीं कर सकते हैं। लेकिन उस पेपर के लेखक सभी फील्ड ऑपरेशंस की अनुमति के साथ {+, x, -, /} सर्किट के साथ सौदा करते हैं। शायद तब मेजर अभी भी किसी तरह गणना की जा सकती है? (हालांकि, मैं यह नहीं देखता कि कैसे) मेजर स्वयं अनुकरण करने की कोशिश करने के बजाय Btw, एक Q1 और Q2 का जवाब देकर दिखा सकता है कि एक मेजर-गेट सर्किट आकार में काफी कमी नहीं कर सकता है (जो काफी प्रशंसनीय है)।

— Stasys

@ रेयान: पीएस इगोर सर्गेव ने देखा कि मेजर "आर (, +, x, -, /) पर संभावित गणना योग्य हो सकता है।" जैसे सभी इनपुट के लिए f (x, y, z) f (x, y, z) = (xy + xz-2yz) / (2x-yz) द्वारा संगणनीय है। {x, y, z} = 2 | ध्यान दें कि ऊपर दिए गए सरल तर्क का तात्पर्य है कि, पहले से ही इस तरह के इनपुट पर, यह (R, +, x, -) पर नहीं किया जा सकता है। तो, विभाजन मदद कर सकता है। लेकिन हम 0 अंक से विभाजन का सामना करते हैं ...

— स्टेसीज़

यह आपके सामान्य प्रश्न का केवल एक आंशिक उत्तर है (मुझे यकीन नहीं है कि एक पूरी तरह से सामान्य सूत्रीकरण क्या होगा), लेकिन यह सुझाव देता है कि परिमित डोमेन के लिए यादृच्छिकता को बाधित करते हुए पर्याप्त रूप से अच्छे अनंत सेमिनारों पर काम करना वास्तव में इस प्रश्न का निजीकरण कर सकता है या नहीं एडलमैन की प्रमेय धारण करती है।

आप जटिल संख्या पर काम कर रहे हैं मान लीजिए , ताकि सर्किट की गणना उस क्षेत्र से अधिक बहुआयामी पद है, और लगता है कि समारोह के ही द्वारा कुछ बहुपद (हालांकि जटिल) अभिकलन है चर। फिर यह पता चला है कि पहले से ही कुछ निश्चित , । कारण यह है कि प्रत्येक के लिए है , के सेट के साथ के एक Zariski-बंद सबसेट निर्धारित करता है , और इतने के सभी होना चाहिए , या फिर उपाय शून्य का एक सबसेट। यदि इन सभी सेटों में शून्य को मापना होता है, तो, क्योंकि केवल बहुत से $\mathbb{C}$ $f$ $x$ $r$ $C(x,r) = f(x)$ $r$ $x$ $C(x,r) = f(x)$ $\mathbb{C}^n$ $\mathbb{C}^n$ $r$ विचार में, का सेट जहाँ भी शून्य को मापेगा। दूसरी ओर, यह धारणा कि गणना इसका मतलब यह है कि यह सब होना चाहिए , इसलिए इसका माप शून्य नहीं हो सकता है। $x$ $\exists r : C(x,r) = f(x)$ $C$ $f$ $\mathbb{C}^n$

— एंड्रयू मॉर्गन
स्रोत

दिलचस्प। अधिक आम तौर पर, आकार M का एक संभाव्य सर्किट, कुछ यादृच्छिक चर C होता है, जो अधिकांश M गेटों के साथ सभी सर्किटों (उस प्रकार) के सेट में अपना मान लेता है। [अल पर कुकर के उस कागज को Btw। सी को मनमाने ढंग से वितरित करने की अनुमति देता है। "बहुमत ट्रिक" स्टिल काम करता है।] क्या मैं आपके तर्क से यह निष्कर्ष निकाल सकता हूं कि, यदि C की सीमा परिमित है, तो Adleman की प्रमेय तुच्छ है जब Zarinski- बंद उप-समूह या तो तुच्छ हैं (स्वयं को सेट करता है) या शून्य माप? क्या हमारे पास यह है - "सभी या कुछ भी नहीं" - उष्णकटिबंधीय सेमीरिंग्स में प्रभाव? (मैं मुख्य रूप से उनमें दिलचस्पी रखता हूं।)

— चरण

मैं नहीं जानता कि कैसे या क्या तर्क दूसरे सेमरिंग्स के लिए सामान्य होगा, क्षमा करें। एक मुख्य बात जो याद आ रही है (मेरे लिए) ज्यामितीय अंतर्ज्ञान है कि कैसे "बहुपद" जो असहमत हैं, वह " " के "माप-शून्य सबसेट" का अनुवाद करता है । विशेष रूप से उष्णकटिबंधीय सेमिनार के लिए, ऑपरेशन साधारण बहुपद से इतने भिन्न होते हैं कि यह अनुमान लगाना कठिन है कि उपयुक्त अनुकूलन क्या होना चाहिए।

C^{n}

$\mathbb{C}^n$

— एंड्रयू मॉर्गन