क्या "बाहरी-बंधे-जीनस" रेखांकन में निरंतर ट्रेविद है?

Question

चलो और द्वारा निरूपित जी k सभी रेखांकन कि जीनस की सतह पर एम्बेड किया जा सकता का सेट कश्मीर ऐसा है कि सभी कोने बाहरी चेहरे पर स्थित हैं । उदाहरण के लिए, G 0 बाहरीप्लान रेखांकन का समुच्चय है। में रेखांकन के treewidth कर सकते हैं जी कश्मीर ऊपरी के कुछ समारोह से घिरा जा कश्मीर ?$k\in\mathbb{N}$$G_k$$k$$G_0$$G_k$$k$

दूसरी दिशा स्पष्ट रूप से नहीं रखता है, के बाद से लगातार treewidth भी निरंतर जीनस संकेत नहीं करता है: Let के मिलन हो n के संबंध तोड़ना प्रतियां कश्मीर 3 , 3 । H n का ट्रेविथ निरंतर है, इसका जीन हालांकि n है ।$H_n$$n$$K_{3,3}$$H_n$$n$

Comments

नोड्स के साथ स्क्वायर ग्रिड में O ( odes) के पेड़ की चौड़ाई है$n$। कई समस्याएं हैं जो प्लानर ग्राफ पर एनपी-हार्ड हैं लेकिन पी में बाउंड ट्री की चौड़ाई के ग्राफ के लिए, जैसे कि अधिकतम स्वतंत्र सेट। मैंने किसी भी तरह से अन्य उदाहरणों को नहीं देखा है$O(\sqrt{n})$

— यारोस्लाव बुलटोव

मुझे क्षमा करें ... मैंने वास्तव में गलत प्रश्न प्रस्तुत किया है, जिससे मुझे उपरोक्त प्रश्न को संपादित करने के लिए मजबूर होना पड़ा।

— रादु कर्टिसैपियन

Answer 1

हाँ।

बाहरी चेहरे के बीच में एक शीर्ष जोड़ें, बाहरी चेहरे के सभी कोने से जुड़े; यह जीनस को नहीं बदलता है, और ट्रेविद को कम नहीं करता है। अब ग्राफ में एक बहुत उथला चौड़ाई वाला पहला पेड़ है जो नए शीर्ष पर स्थित है (सब कुछ इसके निकट है)।

दोहरे ग्राफ के एक फैले हुए वृक्ष का निर्माण करें, जिसकी दोहरी धारें पहले खोज वृक्ष के किनारों से अलग हैं। फिर ओ (जीनस) किनारों का एक सेट होता है जो किसी भी पेड़ से संबंधित नहीं होता है। इनमें से प्रत्येक किनारा एक छोटा चक्र (एक त्रिभुज) को एक साथ चौड़ाई के साथ पहले खोज ट्री में प्रेरित करता है, और इन चक्रों के साथ सतह को काटने से एक तलीय सतह बनती है (देखें मेरा पेपर "स्थैतिक रूप से एम्बेडेड ग्राफ़ के गतिशील जनरेटर")। यही है, यदि G 'उन इनपुट ग्राफ का उपसमूह है, जो उन ऊर्ध्व रेखाओं से प्रेरित है, जो O (जीनस) कट के किनारों के समापन बिंदु नहीं हैं, तो G' प्लानेर है, और इसके वर्टिकल को O (जीनस) के चेहरे से कवर किया जा सकता है। प्लेनर एंबेडिंग (वे चेहरे जो कट साइकल मूल बाहरी चेहरे को काटते हैं)।

लेकिन एक प्लानर ग्राफ में, जिसमें सभी कोने के चेहरों के होते हैं, एक बाहरी ओप्लानर ग्राफ प्राप्त करने के लिए अन्य ओ (के) किनारों (चेहरे के एक फैले हुए पेड़) को हटा सकता है। तो जी 'का ट्रेविथ ओ (जीनस) है। यदि कोई इस चौड़ाई के साथ जी 'का वृक्ष-अपघटन करता है, और फिर प्रत्येक बैग को कटे हुए चक्र के किनारों के छोरों को जोड़ता है, तो परिणाम ट्रीविद ओ (जीनस) के साथ मूल इनपुट ग्राफ का एक पेड़-अपघटन होता है।

ऐसा लगता है कि यह साहित्य में पहले से ही कहीं न कहीं होना चाहिए, लेकिन मुझे नहीं पता कि इस सटीक परिणाम का स्पष्ट विवरण खोजने में कहां और कुछ त्वरित खोजें सफल नहीं हुई हैं। हालाँकि, एक अधिक सामान्य कथन मेरा एक अलग कागज में है: "व्यास और मामूली बंद ग्राफ परिवारों में ट्रेविद" में मैं अन्य बातों के साथ यह साबित करता हूं कि बंधे हुए व्यास के जीनस ग्राफ़ ने बंधे ट्रिव्यूइड को बाध्य किया है। इस मामले में (बाहरी चेहरे के भीतर उस अतिरिक्त शीर्ष को जोड़कर) व्यास को अधिकतम दो पर लिया जा सकता है।