क्या कोई एनपी-पूर्ण भाषा है जिसमें एन-बिट उदाहरणों का ठीक आधा हिस्सा है?

Question

वहाँ एक (अधिमानतः प्राकृतिक) एन पी-सम्पूर्ण भाषा है $L\subseteq \{0,1\}^*$ , इस तरह है कि हर के लिए $n\geq 1$

$$|L\cap \{0,1\}^n|=2^{n-1}$$ धारण? दूसरे शब्दों में, $L$ में सभी n -bit उदाहरणों का ठीक आधा हिस्सा है ।$n$

Comments

बहुत आश्चर्य होगा अगर वहाँ नहीं है, लेकिन कुछ मिनट के लिए इसके बारे में सोच एक निर्माण नहीं मिल सका।

— केवह

FWIW एक ऐसा $L$ है जो NP- हार्ड है और NP / POLY में है ...

— Neal Young

एक द्विभाजित द्विआधारी कूटबन्धन के लिए $e$ CNF सूत्रों के, $\{e(\varphi)1\ |\ \varphi$ संतोषजनक $\} \cup \{e(\varphi)0\ |\ \varphi$ असंतोषजनक $\}$ को काम करना चाहिए।

— क्लॉस ड्रेगर

@KlausDraeger जब तक एनपी = सह-एनपी नहीं है, तब तक असंतुष्टता एक एनपी संपत्ति नहीं है।

— एंड्रास फरगाओ

वहाँ किसी भी देववाणी है ऐसी है कि वहाँ मौजूद नहीं है एल ∈ एन पी - सी ओ एम पी एल ई टी ई ओ के साथ इस संपत्ति? $O$$\mathcal{L}\in {\bf NP-Complete}^O$

— इरफान खानिकी

Answer 1

मैंने कुछ साल पहले यह सवाल पूछा था और बोअज़ बराक ने इसका सकारात्मक जवाब दिया था ।

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कथन एक NP- पूर्ण भाषा के अस्तित्व के बराबर है जहाँ | एल एन | बहुपद-समय गणना योग्य है।$L$$|L_n|$

बूलियन सूत्र और सैट पर विचार करें। गद्दी का उपयोग करते हुए और थोड़ा सूत्रों के एन्कोडिंग को संशोधित हम यह सुनिश्चित करें कि कर सकते हैं और ¬ φ एक ही लंबाई।$\varphi$$\lnot \varphi$

चलो कोई एन्कोडिंग कि हो$\langle\ \rangle$

• सभी सूत्र के लिए और सब सत्य असाइनमेंट के लिए τ ∈ { 0 , 1 } | φ | , | ⟨ Φ ⟩ | = | ⟨ Φ , τ ⟩ | ।$\varphi$$\tau \in \{0,1\}^{|\varphi|}$$|\langle\varphi\rangle| = |\langle\varphi, \tau\rangle|$
• बहुपद-समय गणना योग्य है।$|\langle\varphi\rangle| \mapsto |\varphi|$
• एन्कोडेड लंबाई साथ सूत्रों की संख्या बहुपद-समय कम्प्यूटेशनल है।$n$

पर विचार करें

$$L := \{\langle\varphi\rangle \mid \varphi \in \mathsf{SAT} \} \cup \{\langle \varphi, \tau \rangle \mid \tau \vDash \varphi \text{ and } \exists \sigma<\tau\ \sigma\vDash\varphi \}$$

यह देखना आसान है कि एनपी-पूर्ण है।$L$

यदि , संतोषजनक सच्चाई कार्य की संख्या τ ⊨ φ  और  ∃ σ < τ σ ⊨ φ है संतोषजनक सच्चाई कार्य की संख्या के बराबर - 1 । जोड़ना φ ही इसके लिए सच्चाई कार्य संतोषजनक की संख्या को कहते हैं φ ।$\varphi \in \mathsf{SAT}$

$$\tau \vDash \varphi \text{ and } \exists \sigma<\tau\ \sigma\vDash\varphi$$ $- 1$$\varphi$$\varphi$

कर रहे हैं सत्य कार्य। प्रत्येक τ या तो संतुष्ट φ या ¬ φ (और नहीं दोनों)। हर सूत्र के लिए φ , पर विचार 2 ( 2 | φ | + 1 ) तार ⟨ φ ⟩ , ⟨ ¬ φ ⟩ , ⟨ φ , τ ⟩ , और ⟨ ¬ φ , τ ⟩ के लिए τ ∈ { 0 $2^{|\varphi|}$$\tau$$\varphi$$\lnot \varphi$$\varphi$$2(2^{|\varphi|}+1)$$\langle\varphi\rangle$$\langle\lnot \varphi\rangle$$\langle\varphi, \tau\rangle$$\langle \lnot\varphi, \tau\rangle$। बिल्कुल 2 | φ | इन 2 | φ | + 1 + 2 तार एल में हैं । यह साधन लंबाई के तार की संख्या कि एन में एल सूत्रों की संख्या है φ एन्कोडेड लंबाई के एन से गुणा 2 | φ | कौन सा बहुपद-काल गणना योग्य।$\tau \in \{0,1\}^{|\varphi|}$$2^{|\varphi|}$$2^{|\varphi|+1}+2$$L$$n$$L$$\varphi$$n$$2^{|\varphi|}$

Comments

यहां तक ​​कि अगर यह वांछित समाधान है, तो यह एक विशिष्ट लिंक-केवल उत्तर है।

— user2943160

स्पष्ट होना, सैट के बारे में कुछ खास नहीं है, यह एनपी-पूर्ण समस्या के लिए किसी भी सत्यापनकर्ता के साथ काम करेगा।

— केव

@Kaveh, आप यहाँ सैट की एक विशेष संपत्ति का उपयोग नहीं करते, कि उदाहरणों आ जोड़े में , ¬ φ ऐसी है कि किसी भी गवाह τ बिल्कुल जोड़ी में दो में से एक के लिए एक गवाह है? आप ऐसा कैसे करेंगे, जैसे 3-रंग? $\phi$$\lnot \phi$$\tau$

— नील युवा

@ नील, V (x, y) एक NP- पूर्ण समस्या के लिए एक सत्यापनकर्ता है। डब्ल्यू (एक्स, बी, वाई) पर विचार करें: = वी (एक्स, वाई) = बी। यह अभी भी एनपी-पूर्ण है और प्रत्येक y या तो x, 0 या x, 1 के लिए एक साक्षी है। हालांकि सैट के रूप में अच्छा नहीं है।

— केव

@Kaveh, सैट के साथ जैसे आप सुझाव दे रहे हैं लेकिन उस पी में है, और आप ठीक करने की कोशिश करता है, तो उस के साथ, कहते हैं, संघ लेने के द्वारा बी = { ( φ , ख ) : τ ∈ एस ए टी ↔ ख = 1 } , संघ एक ∪ $$A = \{(\phi, b, \tau) : (\tau \mbox{ satisfies } \phi) \leftrightarrow b=1\}?$$ $B = \{(\phi, b) : \tau \in SAT \leftrightarrow b = 1\}$$A\cup B$दोनों एनपी-हार्ड और सह-एनपी-हार्ड (एनपी में नहीं होने की संभावना है)। संपादित करें: ओह, मैं देख रहा हूँ, आप के मिलन लेने के लिए इसका मतलब साथ, कहते हैं, सी = { ( φ , ख ) : ∃ τ । [ ( Τ  संतुष्ट  φ ) ↔ ख = 1 ] } ...$A$$C=\{(\phi, b) : \exists \tau.~[(\tau \mbox{ satisfies } \phi) \leftrightarrow b=1]\}$

— नील यंग

Answer 2

यहाँ एक सुझाव दिया गया है कि इस तरह के उदाहरण के साथ आना मुश्किल क्यों हो सकता है, हालांकि मैं केव की टिप्पणी से सहमत हूं कि अगर यह मौजूद नहीं था तो आश्चर्य होगा। [उत्तर नहीं, लेकिन टिप्पणी के लिए बहुत लंबा है।]

मान लीजिए कि कोई, मुझे कहता है, ऐसी भाषा के साथ आता है । मेरे लिए यह साबित करने का एक प्राकृतिक तरीका है कि एल = एन : = | एल ∩ { 0 , 1 } n | = 2 n - 1 स्पष्ट रूप से जो द्विभाजन का निर्माण करना है एल ∩ { 0 , 1 } n और { 0 , 1 } n ∖ एल । चूंकि मैं व्यक्तिगत रूप से एन पी के उदाहरणों को तय करने में सक्षम नहीं हूं$L$$L^{=n} := |L \cap \{0,1\}^n| = 2^{n-1}$$L \cap \{0,1\}^n$$\{0,1\}^n \backslash L$$\mathsf{NP}$-हार्ड समस्याओं, सबसे "सरल" bijections है कि मैं के साथ ऊपर आ जाएगा प्रपत्र होगा " लंबाई के संरक्षण द्विभाजन है, और एक्स ∈ एल यदि और केवल यदि च ( एक्स ) ∉ एल । " इसके अलावा, मैं ऐसे एफ के साथ आने की संभावना है जो बहुपद समय में कम्प्यूटेशनल है। लेकिन फिर एन पी = सी ओ एन पी , एफ के लिए एक एन पी से कमी है$f\colon \{0,1\}^* \to \{0,1\}^*$$x \in L$$f(x) \notin L$$f$$\mathsf{NP} = \mathsf{coNP}$$f$$\mathsf{NP}$-एक अपूर्ण सेट-एक पूर्ण।$\mathsf{coNP}$

बेशक, इस आपत्ति को "बस" के द्वारा प्राप्त किया जा सकता है, लेकिन इस आपत्ति की तुलना करने के लिए यह कठिन हो सकता है। यदि आपकी जीवनी घातीय समय लेती है - तो यह कहें और इसका उलटा भार हो सकता है - तो मुझे लगता है कि आप बहुत सुरक्षित हैं। लेकिन अगर यह केवल लेता है, कहते हैं, अर्ध बहुपद समय है, तो ध्यान रखें कि आपको परिणाम मिल ग ओ एन पी ⊆ एन टी मैं एम ई ( 2 ( लॉग एन ) हे ( 1 ) ) = : एन क्यू पी , जिसमें से मेरा मानना ​​है कि यह एक सरल इंडक्शन के द्वारा पैडिंग तर्क के साथ होता है$\mathsf{EXP}$$\mathsf{coNP} \subseteq \mathsf{NTIME}(2^{(\log n)^{O(1)}}) =: \mathsf{NQP}$ । अब, यदि आप मानते हैं कि पूर्ववर्ती नियंत्रण केवल गलत है, तो ऐसी कोई भी अर्ध-पाली-समय गणना योग्य आपत्ति आपको नहीं बचा सकती है। लेकिन फिर भी यदि आपको लगता है यह इस तरह के एक द्विभाजन के साथ आ आप साबित हो सकता है द्वारा सच हो सकता है, तो पी एच ⊆ एन क्यू पी है, जो वर्तमान ज्ञान से परे हो रहा है ...$\mathsf{PH} \subseteq \mathsf{NQP}$$\mathsf{PH} \subseteq \mathsf{NQP}$

इस तरह की आपत्ति न होने से आपत्ति भी हो सकती है, लेकिन फिर यह देखना कठिन हो जाता है कि कैसे साबित किया जाए कि पास पहले से वांछित संपत्ति है ... और वास्तव में, भले ही आपका प्रमाण एक नहीं हो। जीवनी, आपको इसकी आवश्यकता होगी कि ऐसी कोई भी आसानी से संगणित जीवनी मौजूद न हो।$L$

बेशक, यह भी उस प्रकार का है जहां कोई व्यक्ति एक उदाहरण के साथ आएगा और हम आसानी से देखेंगे कि यह इस आपत्ति के आसपास कैसे पहुंचता है, लेकिन मैं सिर्फ यह कहना चाहता था कि एक साधारण पर्याप्त जीवत्ति के साथ कुछ भी कैसे हो सकता है 't काम (जब तक कि व्यापक रूप से आयोजित विश्वास झूठे न हों)।

(संबंधित प्रश्न: क्या कोई अलंकृत है जिसके संबंध में ऐसा कोई ?$L$