परिमित क्षेत्रों में रैखिक गतिशील प्रणालियों में पुनराचल की जटिलता

Question

आज्ञा देना मैट्रिक्स हो परिमित क्षेत्र और , अंतरिक्ष वैक्टर हो । मैं यह तय करने की कम्प्यूटेशनल जटिलता में दिलचस्पी रखता हूं कि क्या जैसे कि , यानी परिमित क्षेत्रों के लिए रैखिक डायनेमिक सिस्टम के लिए रीचैबिलिटी समस्या में।एक एफ 2 = { 0 , 1 } एक्स वाई एफ एन 2 टी ∈ एन ए टी एक्स = $A$$\mathbb{F}_2 = \{0,1\}$$x$$y$$\mathbb{F}_2^n$$t \in \mathbb{N}$$A^t x = y$

समस्या स्पष्ट रूप से (अनुमान और दोहराए गए वर्ग द्वारा बहुपद समय में गणना करें )। मुझे और मेरे सहकर्मियों को भी स्थापित करने में संबंधित समस्या के -compleessess को साबित करने में सक्षम थे कि क्या जैसे कि , जहाँ असमानता है।एन पी 0 ≤ टी < 2 n एक टी एन पी टी ∈ एन ए टी एक्स ≥ y $\mathbf{NP}$$0 \le t < 2^n$$A^t$$\mathbf{NP}$$t \in \mathbb{N}$$A^t x \ge y$$\ge$

यह समस्या काफी स्वाभाविक लगती है, लेकिन मुझे साहित्य में इसकी कम्प्यूटेशनल जटिलता के संदर्भ नहीं मिल पाए हैं, शायद इसलिए मुझे सटीक शब्दावली की जानकारी नहीं है। क्या आपको पता है कि समानता के साथ समस्या -complete है या यदि यह वास्तव में ?एन पी $\mathbf{NP}$$\mathbf{P}$

Comments

कोई उस मामले को कम कर सकता है जहां $A$ उलटा है। ध्यान से देखें कि $A^1, A^2, \ldots$ छवियां उप-संख्याओं की एक अनिगमित श्रृंखला हैं, और इसलिए अंततः एक निरंतर स्थान $W$ (वास्तव में पहले $n$ चरणों के भीतर ) बन जाता है। तब $A$ , W पर एक उलटा रैखिक परिवर्तन है $W$। जब t = 1 , 2 , … , n हो तो कोई भी विशेष मामलों की आसानी से जांच कर सकता है $t=1,2,\ldots,n$, जिसके बाद यह केवल W और x के लिए A के साथ समस्या को हल करने के लिए बना रहता है।$A$$W$$x$A n x द्वारा प्रतिस्थापित किया गया $A^n x$।

— एंड्रयू मॉर्गन

Answer 1

स्पष्टता के लिए, मैं p = q = 2 के विशिष्ट मामले के बजाय विशेषता p > 0 (आधार क्षेत्र F q के साथ ) पर होने के लिए आपके प्रश्न को सामान्यीकृत करने जा रहा हूं । मैं निश्चित स्थिरांक के रूप में p और q लूंगा ; मैं इसे पढ़ने के लिए छोड़ दूंगा कि इन मापदंडों पर सटीक निर्भरता क्या है, क्योंकि कुछ ट्रेडऑफ़ हैं जिन्हें बनाया जा सकता है। यहां अंतिम परिणाम यह है कि आपकी समस्या विशेषता पी के परिमित क्षेत्रों के लिए असतत लॉग समस्या के बराबर है ।$p > 0$$\mathbb{F}_q$$p=q=2$$p$$q$$p$

अधिक विशिष्ट होना करने के लिए, चलो साधारण असतत लॉग समस्या का एक्सटेंशन से अधिक एफ क्यू किया, यह देखते हुए एक विस्तार क्षेत्र एफ की एफ क्यू , और एक , ख ∈ एफ , लगता है किसी भी पूर्णांक टी ताकि एक = ख टी , या रिपोर्ट से कोई भी मौजूद है । चलो मजबूत की एक्सटेंशन से अधिक असतत लॉग समस्या एफ क्यू किया, यह देखते हुए एफ , एक , ख से पहले के रूप में, पूर्णांकों लगता है जेड , मीटर ताकि $\mathbb{F}_q$$\mathbb{F}$$\mathbb{F}_q$$a,b \in \mathbb{F}$$t$$a = b^t$$\mathbb{F}_q$$\mathbb{F},a,b$$z,m$= b t एक पूर्णांक t iff t = $a = b^t$$t$( आधुनिकमी ) , या रिपोर्ट है कि कोई टी मौजूदनहींहै। फिर निम्नलिखित कटौती मौजूद है:$t = z \pmod{m}$$t$

• आपकी समस्या के लिए एफ क्यू के एक्सटेंशन पर असतत लॉग से एक नियतांक मानचित्रण कमी है।$\mathbb{F}_q$

• एक कुशल, निर्धारक एल्गोरिथ्म है जो एफ क्यू के एक्सटेंशन पर मजबूत असतत लॉग समस्या की गणना करने के लिए एक ओरेकल तक पहुंच प्रदान करते समय आपकी समस्या को हल करता है ।$\mathbb{F}_q$

तदनुसार, मैं इस बात की संभावना पर विचार नहीं करूंगा कि कोई व्यक्ति एन पी- गर्डनेस का प्रमाण या एक प्रमाण पोस्ट करेगा कि आपकी समस्या निकट भविष्य में पी में है।$\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$

टिप्पणी: एफ क्यू के एक्सटेंशन पर मजबूत असतत लॉग समस्या ट्यूरिंग-घटाकर निम्न रूप से कमजोर रूप में दिखाई दे सकती है (हालांकि अभी भी सामान्य असतत लॉग समस्या की तुलना में मजबूत है): एफ क्यू के एक एक्सटेंशन फ़ील्ड एफ को देखते हुए , और ए , बी ∈ एफ , सबसे कम, गैर-नकारात्मक पूर्णांक t खोजें, ताकि a = b t हो । यह इस तथ्य से निम्नानुसार है कि बी का क्रम एक सबसे छोटा गैर-नकारात्मक टी है ताकि बी - 1 = बी $\mathbb{F}_q$$\mathbb{F}$$\mathbb{F}_q$$a,b \in \mathbb{F}$$t$$a = b^t$$b$$t$$b^{-1} = b^t$।

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पहली कमी: दावा है कि एफ क्यू मैपिंग के विस्तार पर साधारण असतत लॉग समस्या इस समस्या को कम करती है। यह तथ्य यह है कि में गुणन इस प्रकार एफ क्यू n एक रेखीय परिवर्तन जब हम देखने है एफ क्यू n एक के रूप में n से अधिक आयामी वेक्टर अंतरिक्ष एफ क्यू । इसलिए F q n के रूप में a = b t t से अधिक का प्रश्न बन जाता है → a = B t → e over F q , जहाँ → $\mathbb{F}_{q}$$\mathbb{F}_{q^n}$$\mathbb{F}_{q^n}$$n$$\mathbb{F}_q$$a = b^t$$\mathbb{F}_{q^n}$$\vec{a} = B^t\vec{e}$$\mathbb{F}_q$, → ई हैं n आयामी वैक्टर, और बी एक है n × n मैट्रिक्स, सब कुछ खत्म हो एफ क्यू । वेक्टर → एक आसानी से की जा सकती है एक , बी से बी , और → ई बस से प्रतिनिधित्व है 1 ∈ एफ क्यू n , जो कुशलता से नीचे लिखा जा सकता है। यह अभी भी सामान्य असतत लॉग समस्या का एक कठिन मामला प्रतीत होता है, यहां तक ​​कि पी = क्यू = 2 (लेकिन बढ़ती$\vec{a},\vec{e}$$n$$B$$n\times n$$\mathbb{F}_q$$\vec{a}$$a$$B$$b$$\vec{e}$$1 \in \mathbb{F}_{q^n}$$p=q=2$$n$, बेशक)। विशेष रूप से, लोग अभी भी यह देखने के लिए प्रतिस्पर्धा कर रहे हैं कि वे कितनी दूर से इसकी गणना कर सकते हैं।

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दूसरी कमी: दावा है कि आपकी समस्या एफ क्यू के एक्सटेंशन पर मजबूत असतत लॉग समस्या को कम करती है । इस कमी के पास कुछ टुकड़े हैं, इसलिए लंबाई को माफ करें। इनपुट को n -dimensional वैक्टर x , y और n × n मैट्रिक्स A , सभी F q पर दें ; लक्ष्य यह है कि t को खोजें ताकि y = A t x हो ।$\mathbb{F}_q$$n$$x,y$$n\times n$$A$$\mathbb{F}_q$$t$$y = A^tx$

मूल विचार ए को जॉर्डन कैनोनिकल फॉर्म (JCF) में लिखना है , जिससे हम कुछ सीधे सीधा बीजगणित के साथ मजबूत असतत लॉग समस्या के लिए y = A t x का परीक्षण कम कर सकते हैं ।$A$$y = A^tx$

मैट्रिक्स की समानता के तहत एक विहित रूप का उपयोग करने का एक कारण यह है कि यदि ए = पी - 1 जे पी , तो ए टी = पी - 1 जे टी पी । इसलिए हम y = A t x to ( P y ) = J t ( P x ) को रूपांतरित कर सकते हैं, जहाँ अब J , मनमानी A की तुलना में बहुत अच्छे प्रारूप में है । जेसीएफ एक विशेष रूप से सरल रूप है, जो बाकी एल्गोरिथ्म को सक्षम करता है। तो अब से, मान लीजिए कि$A = P^{-1}JP$$A^t = P^{-1}J^tP$$y = A^tx$$(Py) = J^t(Px)$$J$$A$ए पहले से ही जेसीएफ में है, लेकिन यह भी अनुमति दें कि एक्स , वाई , और ए में एफ क्यू के विस्तार क्षेत्र में प्रविष्टियां हो सकती हैं ।$A$$x,y,$$A$$\mathbb{F}_q$

टिप्पणी: कुछ सूक्ष्मताएँ हैं जो JCF के साथ काम करने से उत्पन्न होती हैं। विशेष रूप से, मैं मान लूंगा कि हम एक समय के कदम में एफ क्यू (कोई फर्क नहीं पड़ता) के किसी भी विस्तार के भीतर क्षेत्र संचालन कर सकते हैं , और हम कुशलतापूर्वक जेसीएफ की गणना कर सकते हैं। एक प्राथमिकता , यह अवास्तविक है, क्योंकि जेसीएफ के साथ काम करने के लिए घातीय डिग्री के एक विस्तार क्षेत्र (विशेषता बहुपद के विभाजन क्षेत्र) में काम करने की आवश्यकता हो सकती है। हालांकि, कुछ देखभाल के साथ, और इस तथ्य का उपयोग करके कि हम एक परिमित क्षेत्र में काम कर रहे हैं, हम इन मुद्दों को दरकिनार कर सकते हैं। विशेष रूप से, हम एक जॉर्डन के साथ संबद्ध एक क्षेत्र को अवरुद्ध कर देगा एफ ' ज्यादा से ज्यादा डिग्री के n से अधिक एफ$\mathbb{F}_q$$\mathbb{F}'$$n$$\mathbb{F}_q$ ताकि जॉर्डन ब्लॉक में सभी प्रविष्टियां और x के संगत तत्व , y सभी F ′ के भीतर रहें । क्षेत्र एफ ' ब्लॉक से ब्लॉक करने के लिए अलग हो सकता है, लेकिन इस `` मिश्रित प्रतिनिधित्व का उपयोग कर' 'JCF इसके अलावा कुशलता से पाया जा सकता है, जिनमें से एक कुशल विवरण के लिए अनुमति देता है। इस खंड के शेष भाग में वर्णित एल्गोरिदम को एक समय में केवल एक ब्लॉक के साथ काम करने की आवश्यकता होती है, इसलिए जब तक यह संबंधित फ़ील्ड F ′ के भीतर अपने क्षेत्र संचालन नहीं करता है , तब तक एल्गोरिथ्म कुशल होगा। [अंतिम टिप्पणी]$x$$y$$\mathbb{F}'$$\mathbb{F}'$$\mathbb{F}'$

: JCF के उपयोग हमें एक समीकरण एक जॉर्डन ब्लॉक करने के लिए इसी के साथ ये पर्चा के समीकरण को देता है

$$\begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ \vdots \\ y_{k-1} \\ y_{k} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \lambda & 1 & & & & \\ & \lambda & 1 & & & \\ & & \lambda & 1 & & \\ & & & \ddots & & \\ & & & & \lambda & 1 \\ & & & & & \lambda \\ \end{bmatrix}^t \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \vdots \\ x_{k-1} \\ x_{k} \\ \end{bmatrix}$$

एल्गोरिथ्म प्रत्येक ब्लॉक को अलग से हैंडल करेगा। सामान्य स्थिति में, प्रत्येक ब्लॉक के लिए, हमारे पास हमारे मजबूत असतत लॉग ऑरेकल के लिए एक प्रश्न होगा, जिसमें से ऑरेकल हमें एक मॉड्यूलर स्थिति, t = z बताएगा।( आधुनिकम ) । हम यह भी एक सेट मिलेगा एस ⊆ { 0 , 1 , ⋯ , पी - 1 } ताकि ⋁ रों ∈ एस [ टी = $t = z \pmod{m}$$S \subseteq \{0,1,\cdots,p-1\}$( आधुनिकपी ) ] धारण करना चाहिए। सभी ब्लॉकों को संसाधित करने के बाद, हमें यह जांचना होगा किइन सभी स्थितियों के संयोजन को संतुष्ट करने वाले t का एक विकल्प है। यह सुनिश्चित करके किया जा सकता है किसभी सेट S मेंएक सामान्य तत्व s है ताकि समीकरण t = $\bigvee_{s\in S}\left[ t = s \pmod{p} \right]$$t$$s$$S$( आधुनिकपी ) और टी = जेड $t = s \pmod p$( आधुनिकm j ) सभी एक साथ संतुष्ट हैं, जहाँ j ब्लॉक पर हैं।$t = z_j \pmod{m_j}$$j$

कुछ विशेष मामले भी हैं जो पूरी प्रक्रिया में उत्पन्न होते हैं। इन मामलों में, हम प्रपत्र की शर्तों मिलेगा टी > ℓ के कुछ मूल्य के लिए ℓ , या फार्म की टी = एस कुछ विशिष्ट पूर्णांक के लिए रों , कुछ ब्लॉकों से, या हम भी है कि कोई मिल सकती है टी मौजूद कर सकते हैं। इन्हें बिना समस्या के सामान्य मामले के लिए तर्क में शामिल किया जा सकता है।$t > \ell$$\ell$$t = s$$s$$t$

अब हम प्रत्येक जॉर्डन ब्लॉक को संभालने के लिए उपप्रकार का वर्णन करते हैं। ऐसे ब्लॉक को ठीक करें।

ब्लॉक में केवल अंतिम समन्वय पर ध्यान केंद्रित करके शुरू करें। शर्त y = A t x के लिए आवश्यक है कि y k = λ t x k । दूसरे शब्दों में, यह एफ क्ष के कुछ क्षेत्र विस्तार में असतत लॉग समस्या का एक उदाहरण है । हम फिर इसे हल करने के लिए एक ओरेकल का उपयोग करते हैं, जिसके परिणामस्वरूप या तो कोई समाधान नहीं होता है, या अन्यथा टी पर एक मॉड्यूलर स्थिति देता है । यदि "कोई समाधान नहीं" लौटाया जाता है, तो हम ऐसे संकेत देते हैं। अन्यथा, हमें एक शर्त मिलती है t = $y = A^tx$$y_k = \lambda^t x_k$$\mathbb{F}_q$$t$( आधुनिकm ) , जो y k = λ t x k के बराबर है।$t = z \pmod{m}$$y_k = \lambda^t x_k$

अन्य निर्देशांक को संभालने के लिए, हम निम्नलिखित सूत्र से शुरू करते हैं (देखें, उदाहरण के लिए, यहां ): [ λ 1λ १λ १⋱λ १λ ]टी=[ λ टी ( टी)1 ) λटी-1 ( टी2 ) λटी-2⋯⋯ ( टीk - 1 ) λt-k+1λ टी ( टी1 ) λटी-1⋯⋯ ( टीk - 2 ) λt-k+2⋱ ⋱ ⋮ ⋮⋱ ⋱ ⋮λ टी ( टी1 ) λटी-1λ t ] सबसे पहले, आइए उस मामले का ध्यान रखें जिसमेंxk=0। चूँकि हमारे पास पहले से ही प्रतिरूपकता की स्थिति है, जिसका अर्थ हैyk=λtxk, हम मान सकते हैं किyk=0भी है। लेकिन फिर हम सिर्फxऔरyकी पहलीk-1प्रविष्टियोंपर ध्यान केंद्रित करना कम कर सकते हैं, और शीर्ष बाएँ(k-1)×(k-1

$$\begin{bmatrix} \lambda & 1 & & & & \\ & \lambda & 1 & & & \\ & & \lambda & 1 & & \\ & & & \ddots & & \\ & & & & \lambda & 1 \\ & & & & & \lambda \\ \end{bmatrix}^t = \begin{bmatrix} \lambda^t & \binom{t}{1}\lambda^{t-1} & \binom{t}{2}\lambda^{t-2} & \cdots & \cdots & \binom{t}{k-1}\lambda^{t-k+1} \\ & \lambda^t & \binom{t}{1}\lambda^{t-1} & \cdots & \cdots & \binom{t}{k-2}\lambda^{t-k+2} \\ & & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots\\ & & & \ddots & \ddots & \vdots\\ & & & & \lambda^t & \binom{t}{1}\lambda^{t-1}\\ & & & & & \lambda^t \end{bmatrix}$$ $x_k = 0$$y_k = \lambda^t x_k$$y_k = 0$$k-1$$x$$y$$(k-1)\times (k-1)$जॉर्डन ब्लॉक के सबमेट्रिक्स। तो अब से, मान लेते हैं कि एक्स कश्मीर ≠ 0 ।$x_k \ne 0$

दूसरा, हम उस मामले को संभालेंगे जिसमें λ = 0 है । इस मामले में, जॉर्डन ब्लॉक की शक्तियों के लिए एक विशेष रूप है, और बल या तो टी = z कुछ के लिए जेड ≤ कश्मीर बाकी, या टी > कश्मीर , कोई अन्य शर्तों के साथ। मैं मामलों को विस्तृत नहीं करूंगा, लेकिन यह कहने के लिए पर्याप्त है कि प्रत्येक को कुशलता से जांचा जा सकता है। (वैकल्पिक रूप से, हम उस मामले को कम कर सकते हैं जहां A उलटा है; प्रश्न पर मेरी टिप्पणी देखें।)$\lambda = 0$$t = z$$z \le k$$t > k$$A$

अंत में, हम सामान्य मामले पर पहुंचते हैं। चूँकि हमारे पास पहले से ही मॉड्यूलरिटी की स्थिति है, जिसका अर्थ है कि y k = λ t x k , हम मान सकते हैं कि स्थिति धारण करती है, और λ t के लिए स्टैंड-इन के रूप में y k x - 1 k का उपयोग करते हैं । आम तौर पर, हम λ t - z का प्रतिनिधित्व करने के लिए y k x - 1 k λ - z का उपयोग कर सकते हैं । इस प्रकार हमें यह जांचने की आवश्यकता है कि क्या निम्न प्रणाली t : [ y 1 y 2] के कुछ विकल्प के लिए है$y_k = \lambda^t x_k$$y_k x_k^{-1}$$\lambda^t$$y_kx_k^{-1}\lambda^{-z}$$\lambda^{t-z}$$t$y 3 ⋮ y कश्मीर - 1 y कश्मीर ]=[ y कश्मीर एक्स - 1 कश्मीर ( टी1 ) वाईकेएक्स - 1 के λ-1 ( टी2 ) yकश्मीरएक्स - 1 कश्मीर λ-2⋯⋯ ( टीk - 1 ) ykx - 1 k λ-(k-1)y k x - 1 k ( t)1 ) yकश्मीरएक्स - 1 कश्मीर λ-1⋯⋯ ( टीk - 2 ) ykx - 1 k λ-(k-2)⋱ ⋱ ⋮ ⋮⋱ ⋱ ⋮y k x - 1 k ( t)1 ) ykx - 1 k λ-1y कश्मीर एक्स - 1 कश्मीर ][ एक्स 1 एक्स 2 एक्स 3 ⋮ एक्स कश्मीर - 1 एक्स कश्मीर ] का निरीक्षण करें कि क्या समीकरण रखती केवल पर निर्भर करता है

$$\begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ \vdots \\ y_{k-1} \\ y_{k} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} y_kx_k^{-1} & \binom{t}{1}y_kx_k^{-1}\lambda^{-1} & \binom{t}{2}y_kx_k^{-1}\lambda^{-2} & \cdots & \cdots & \binom{t}{k-1}y_kx_k^{-1}\lambda^{-(k-1)} \\ & y_kx_k^{-1} & \binom{t}{1}y_kx_k^{-1}\lambda^{-1} & \cdots & \cdots & \binom{t}{k-2}y_kx_k^{-1}\lambda^{-(k-2)} \\ & & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots\\ & & & \ddots & \ddots & \vdots\\ & & & & y_kx_k^{-1} & \binom{t}{1}y_kx_k^{-1}\lambda^{-1}\\ & & & & & y_kx_k^{-1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \vdots \\ x_{k-1} \\ x_{k} \\ \end{bmatrix}$$ ( आधुनिकपी ) ; इसका कारण यह है कि टी पर निर्भरताकेवल बहुपद है, टी को पूर्णांक होना चाहिए, और उपरोक्त समीकरण विशेषता पी के एक क्षेत्र पर हैं। इसलिए हम अभी के प्रत्येक मान कोशिश कर सकते हैं टी ∈ { 0 , 1 , ... , पी - 1 } अलग से। हमजिस सेट एस को वापस करेंगे, वह केवल टी के विकल्प हैं, जिसके लिए सिस्टम संतुष्ट है।$t \pmod{p}$$t$$t$$p$$t \in \{0,1,\ldots,p-1\}$$S$$t$

तो अब, कुछ विशेष मामलों को छोड़कर, प्रति-ब्लॉक उपप्रक्रिया में एक मॉड्यूलर हालत टी = ए मिली है( आधुनिकमी ) , और एक सेट एस ताकि टी = $t = a \pmod{m}$$S$( आधुनिकपी ) कुछ के लिए होने चाहिए जिसे रों ∈ एस । ये स्थितियाँइस विशिष्ट जॉर्डन ब्लॉक के भीतर y = A t x केबराबर हैं। इसलिए हम इन्हें उपप्रकार से वापस करते हैं। विशेष मामले या तो यह निष्कर्ष निकालते हैं कि कोई भी टी मौजूदनहीं हो सकता है (जिस स्थिति में उपप्रकार तुरंत उस का संकेत देता है), या फिर हमारे पास एक मॉड्यूलर अवस्था t = $t = s \pmod{p}$$s \in S$$y = A^tx$$t$( आधुनिकमीटर ) और की तरह कुछ विशेष शर्त टी = रों एक पूर्णांक के लिए रों , या टी > ℓ कुछ पूर्णांक के लिए ℓ । किसी भी स्थिति में, शामिल शर्तेंइस जॉर्डन ब्लॉक के भीतर y = A t x केबराबर हैं। इसलिए, जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, उपप्रकार केवल इन शर्तों को वापस करता है।$t = a \pmod{m}$$t = s$$s$$t > \ell$$\ell$$y = A^tx$

यह प्रति-ब्लॉक उप-प्रक्रिया के विनिर्देश और समग्र रूप से एल्गोरिथ्म का निष्कर्ष निकालता है। पूर्ववर्ती चर्चा से यह शुद्धता और दक्षता का पालन होता है।

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दूसरी कटौती में जेसीएफ का उपयोग करने के साथ सूक्ष्मताएं : जैसा कि दूसरी कमी में बताया गया है, कुछ सूक्ष्मताएं हैं जो जेसीएफ के साथ काम करने से उत्पन्न होती हैं। इन समस्याओं को कम करने के लिए कुछ अवलोकन हैं:

• परिमित क्षेत्रों के विस्तार सामान्य हैं । इसका मतलब है कि अगर पी पर एक एक अलघुकरणीय बहुपद है एफ क्यू , तो के किसी भी विस्तार एफ क्यू की एक जड़ युक्त पी शामिल सभी की जड़ें पी । दूसरे शब्दों में, एक अलघुकरणीय बहुपद के बंटवारे क्षेत्र पी डिग्री के घ डिग्री केवल घ से अधिक एफ क्यू ।$P$$\mathbb{F}_q$$\mathbb{F}_q$$P$$P$$P$$d$$d$$\mathbb{F}_q$

• जॉर्डन विहित रूप का एक सामान्यीकरण है, जिसे प्राथमिक तर्कसंगत विहित रूप (PRCF) कहा जाता है , जिसमें फ़ील्ड एक्सटेंशन को नीचे लिखने की आवश्यकता नहीं होती है। विशेष रूप से, अगर एक में प्रविष्टियों के साथ एक मैट्रिक्स है एफ क्यू , तो हम लिख सकते हैं एक = पी - 1 क्यू पी कुछ मैट्रिक्स के लिए पी , क्यू में प्रविष्टियों के साथ एफ क्यू , जहां इसके अलावा क्यू PRCF में है। साथ ही, यदि हम दिखावा कि प्रविष्टियों एक एक क्षेत्र में रहते हैं एफ ' का विस्तार एफ$A$$\mathbb{F}_q$$A = P^{-1}QP$$P,Q$$\mathbb{F}_q$$Q$$A$$\mathbb{F}'$$\mathbb{F}_q$जिसमें A के सभी स्वदेशी शामिल हैं , तो Q वास्तव में JCF में होगा। इस प्रकार हम A के JCF को PRCF के कंप्यूटिंग के विशेष मामले के रूप में देख सकते हैं।$A$$Q$$A$

• PRCF के रूप का उपयोग करना, हम कंप्यूटिंग के JCF कारक बन सकते हैं एक के रूप में$A$

  1. एक से अधिक एफ q के PRCF कंप्यूटिंग$A$$\mathbb{F}_q$

  2. प्रत्येक ब्लॉक के PRCF कंप्यूटिंग सी की PRCF में (विकिपीडिया लेख से अंकन उधार) एक , एक विस्तार क्षेत्र पर एफ ' , जहां एफ ' के सभी eigenvalues शामिल करने के लिए चुना जाता है $C$$A$$\mathbb{F}'$$\mathbb{F}'$$C$

  इस गुणन के साथ महत्वपूर्ण लाभ यह है कि ब्लॉक की विशेषता बहुआयामी पद है सी सब हो जाएगा अलघुकरणीय , और इसलिए, हमारी पहली अवलोकन द्वारा, हम चुन सकते हैं एफ ' डिग्री के आकार के लिए सी (जो ज्यादा से ज्यादा है n से अधिक) एफ क्ष । नकारात्मक पक्ष यह है कि अब हमें JCF के प्रत्येक ब्लॉक का प्रतिनिधित्व करने के लिए अलग-अलग एक्सटेंशन फ़ील्ड का उपयोग करना होगा, इसलिए प्रतिनिधित्व एटिपिकल और जटिल है।$C$$\mathbb{F}'$$C$$n$$\mathbb{F}_q$

इस प्रकार, कुशलता से PRCF गणना करने की क्षमता को देखते हुए, हम JCF का एक उपयुक्त एन्कोडिंग कुशलता से गणना कर सकता है, और इस एन्कोडिंग कि JCF के किसी विशेष ब्लॉक के साथ काम करने में ज्यादा से ज्यादा डिग्री का ही विस्तार क्षेत्र के भीतर किया जा सकता है तो है n से अधिक एफ एन ।$n$$\mathbb{F}_n$

PRCF की कुशलता से गणना करने के लिए, पेपर " A Rational Canonical Form Algorithm " (KR Matthews, Math। Bohemica 117 (1992) 315-324) PRCF की गणना करने के लिए एक कुशल एल्गोरिथ्म देता है, जब A के विशिष्ट बहुपद का गुणन ज्ञात होता है। । तय विशेषता के लिए (जैसे हम किया है), परिमित क्षेत्रों से अधिक फैक्टरिंग univariate बहुआयामी पद नियतात्मक बहुपद समय (देखें उदाहरण के लिए "में किया जा सकता परिमित क्षेत्रों से अधिक बहुपदों के लिए एक नई Factorization एल्गोरिथ्म पर (एच Niederreitter और आर Gottfert, गणित"। की संगणना 64 (1995) 347-353)।, इसलिए PRCF को कुशलता से गणना की जा सकती है।$A$

Comments

क्या जेसीएफ की कुशलता से गणना की जा सकती है? वैसे भी, इसके अस्तित्व को क्षेत्र के विस्तार की आवश्यकता हो सकती है।

— एमिल जेकाबेक

@ EmilJe Emábek धन्यवाद- मुझे लगता है कि मैंने निहित धारणा के तहत काम किया था कि यह आसान था, लेकिन मैं वास्तव में बारीकियों को नहीं जानता। ऐसा लगता है कि यह परिमित क्षेत्रों में फैली इकाइवरेट बहुपद के फैक्टरिंग से संबंधित है, जो उपरोक्त उद्देश्यों के लिए कुशलता से पर्याप्त रूप से किया जा सकता है, कम से कम विकिपीडिया के अनुसार । ...

— एंड्रयू मॉर्गन

इसलिए मेरा अनुमान है कि जेसीएफ को कुशलता से पाया जा सकता है, लेकिन मुझे पूरी तरह यकीन नहीं है। आप क्षेत्र का विस्तार करने का उल्लेख करते हैं- यह कमी के लिए आवश्यक है (निरंतर आकार के परिमित क्षेत्रों पर असतत लॉग आसान है), इसलिए इसे कोई आश्चर्य नहीं होना चाहिए। मैं हालांकि विस्तार की डिग्री के बारे में चिंता करता हूं- जबकि आइजनवालों में केवल डिग्री n है , मान x i और y i हैं, जो आइजेनवेल्स की शक्तियों का रैखिक संयोजन हैं, इसलिए उन्हें आकार n के क्षेत्र में रहने की आवश्यकता हो सकती है ! । मैं अपने उत्तर में इन संभावित नुकसानों पर ध्यान दूंगा, हालांकि मुझे लगता है कि यह अभी भी आसपास रहने के लिए पर्याप्त विचारों का योगदान देता है। $n$$x_i$$y_i$$n!$

— एंड्रयू मॉर्गन

सही। तत्व मैट्रिक्स की विशेषता बहुपद के विभाजन क्षेत्र में रहते हैं, जो डिग्री n का एक मनमाना बहुपद हो सकता है, इसलिए विभाजन क्षेत्र में मोटे तौर पर exp ( spl) की डिग्री हो सकती हैn लॉग एन )(यदि मेरी गणना सही है)। लेकिन शायद इसे किसी तरह दरकिनार किया जा सकता था। चलो चार पॉली को फैक्ट करें (यहां तक ​​कि अलग-अलग डिग्री फैक्टराइजेशन भी पर्याप्त होना चाहिए)। क्या हम किसी भी तरह से प्रत्येक कारक की जड़ों के अनुरूप आइगेंसस्पेस की पहचान कर सकते हैं? पूर्ण JCF के बजाय, हम मूल क्षेत्र पर एक ब्लॉक विकर्ण मैट्रिक्स प्राप्त करेंगे, जहां प्रत्येक ब्लॉक में eigenvalues ​​होगा ...$\exp(\sqrt{n\log n})$

— Emil Jeřábek

... अधिकतम n पर डिग्री के विस्तार में । तब हम प्रत्येक ब्लॉक को अलग से संसाधित कर सकते हैं। (यह सिर्फ एक अस्पष्ट विचार है, मैंने इसे काम करने की कोशिश नहीं की है।)$n$

— एमिल जेकाबेक