सेमीफाइनल प्रोग्रामिंग (एसडीपी) शून्य का दोहराव अंतराल कब है?

Question

मैं साहित्य में एसडीपी द्वैत अंतराल के लुप्त होने का सटीक लक्षण वर्णन नहीं कर पाया। या, "मजबूत द्वंद्व" कब पकड़ता है?

उदाहरण के लिए, जब कोई लसेरे और एसओएस एसडीपी के बीच आगे और पीछे जाता है, तो सिद्धांत रूप में एक द्वैत अंतराल होता है। हालांकि, किसी भी तरह से कुछ "तुच्छ" कारण लगता है कि यह अंतर क्यों नहीं है।

स्लेटर की स्थिति पर्याप्त प्रतीत होती है लेकिन आवश्यक नहीं है और यह सभी उत्तल कार्यक्रमों पर लागू होता है। मैं उम्मीद कर रहा हूँ कि SDPs के लिए विशेष रूप से मजबूत कुछ सच हो सकता है। मुझे स्लैटर की स्थिति का उपयोग करने के किसी भी स्पष्ट उदाहरण को देखने के लिए समान रूप से खुशी होगी , जो द्वैत अंतराल के लुप्त होने को साबित करने के लिए है।

Answer 1

एसडीपी के लिए द्वैत का अधिक जटिल सिद्धांत है जो सटीक है: स्लेटर की स्थिति की तरह कोई 'अतिरिक्त स्थिति' नहीं है। यह रमण के कारण है । (एसओएस को शामिल करने वाले किसी अन्य के लिए, देखें [केएस 12] ।) ईमानदार होने के लिए, मैंने कभी इन कागजों को समझने की कोशिश नहीं की और अगर किसी ने मेरे लिए उन्हें डंबल किया तो वह खुश होंगे।

इस कार्य का एक उल्लेखनीय परिणाम यह है कि किसी दिए गए एसडीपी की जांच करने की समस्या एनपी में है और यदि यह सह-संबंध में है तो ही। (हालांकि, मुझे लगता है कि विशेषज्ञों को उम्मीद है कि समस्या न तो है। सबसे अच्छा ऊपरी ज्ञात PSPACE है।)

Comments

बहुत उपयोगी उत्तर के लिए बहुत बहुत धन्यवाद! मुझे यह देखो! (क्या संयोग है कि पिछले हफ्तों में मैं भी डैनियल केन के साथ आपके पेपर के माध्यम से काम करने की कोशिश कर रहा हूं। यह बहुत कम शिक्षाप्रद पेपर है! यह एक शिक्षाप्रद पेपर है! मैं सोच रहा था कि क्या आप एलटीएफ के लिए भी ऐसा करते हैं? यथार्थवादी गतिविधियाँ जैसे ReLU।)

— क्रमिक

Answer 2

SDP के लिए मानक रूप में स्लाटर की स्थिति एक सकारात्मक निश्चित के अस्तित्व को कम कर देती है जो affine बाधाओं संतुष्ट करता है । मुझे लगता है कि यह किसी भी एसडीपी के लिए संतुष्ट है जिसे आप कॉम्बिनेटरियल ऑप्टिमाइज़ेशन / सन्निकटन एल्गोरिदम साहित्य में पा सकते हैं। उदाहरण के लिए, Goemans-Williamson Max-Cut SDP के लिए, व्यवहार्यता बाधाएँ और हैं पहचान मैट्रिक्स एक सकारात्मक निश्चित व्यवहार्य समाधान है।

$$\min\{ \mathrm{tr}(C^T X): \mathrm{tr}(A_1^T X) = b_1, \ldots, \mathrm{tr}(A_m^T X) = b_m, X \succeq 0\},$$ $X\succ 0$$\mathrm{tr}(A_i^T X) = b_i$$\{X: X_{1,1} = 1, \ldots, X_{n,n} = 1, X\succeq 0\}$

जहां तक ​​स्क्वेर्स पदानुक्रम के लासेरे / सम का है, लैसेरे ने दिखाया कि यदि बहुपद अवरोधों द्वारा निर्धारित व्यवहार्य सेट में एक आंतरिक बिंदु है, तो कोई द्वैत अंतराल नहीं है। आप इस पत्र में एक कमजोर स्थिति पा सकते हैं ।

Comments

संदर्भ के लिए बहुत बहुत धन्यवाद! तो क्या स्लाटर की स्थिति एसडीपी के लिए भी एक आवश्यक शर्त है? या अन्य आवश्यक शर्तें हैं? (मैं जल्द ही आपके द्वारा संदर्भित पत्रों को देखने जा रहा हूं, लेकिन मैं सोच रहा था कि क्या आप इस बारे में कुछ कह सकते हैं कि आपकी कमजोर स्थिति का क्या मतलब है? "आपका मतलब है कि दूसरे पेपर में स्थिति अभी भी एक पर्याप्त स्थिति है और आवश्यक नहीं है स्थिति लेकिन पहले पेपर में पर्याप्त स्थिति की तुलना में सरल है?)

— क्रमिक

यह मानक स्लाटर स्थिति है, मेरे पास एसडीपीस के लिए विशेष है, जो मामलों को सरल करता है क्योंकि सभी बाधाएं एफएएन बाधा के अलावा, सभी बाधाएं हैं। यह शर्त आवश्यक नहीं है। मुझे नहीं लगता कि या तो एसओएस की स्थिति या तो आवश्यक है, लेकिन "कमजोर" एक को आंतरिक बिंदु के अस्तित्व की आवश्यकता नहीं है, इसलिए इसे सत्यापित करना आसान हो सकता है।

— साशो निकोलेव

धन्यवाद! तो एक आवश्यक शर्त ज्ञात नहीं है?

— क्रमांक

Answer 3

वहाँ एक अच्छा (मुझे लगता है ....) जब मजबूत द्वंद्व धारण के लक्षण वर्णन है, या {\ em सभी} उद्देश्य कार्यों के लिए विफल रहता है।

हम कहते हैं कि सेमीफाइनल {\ em सिस्टम}

$(P_{SD}) \,\, \sum_{i=1}^m x_i A_i \preceq B$

है बुरी तरह बर्ताव किया यहाँ अगर है एक उद्देश्य समारोह जो एसडीपी के लिए$c$

$\sup c^T x \,\, s.t. \,\, \sum_{i=1}^m x_i A_i \preceq B$

एक परिमित इष्टतम मूल्य है, लेकिन दोहरी SDP में समान मूल्य के साथ समाधान नहीं है: यानी, कुछ लिए मजबूत द्वंद्व विफल रहता है$c.$

$(P_{SD})$ है अच्छी तरह व्यवहार करता है, तो यह बुरी तरह बर्ताव किया नहीं है। यही है, हर उद्देश्य फ़ंक्शन के लिए मजबूत द्वंद्व धारण करता है। (यानी, प्रत्येक लिए जिसके लिए primal SDP का परिमित इष्टतम मूल्य है, दोहरे का एक ही मान वाला समाधान है)।$c$

बेशक, यदि स्लेटर की स्थिति है, तो अच्छी तरह से व्यवहार किया जाता है, लेकिन यह समझ में नहीं आता है।$(P_{SD})$

https://arxiv.org/pdf/1709.02423.pdf

SIAM रिव्यू में जल्द ही पेपर आ रहा है। मुझे उम्मीद है कि लोग इसे पसंद करेंगे :)