प्रेरणा

दूसरे दिन, मैं सार्वजनिक परिवहन के साथ शहर के चारों ओर यात्रा कर रहा था और मैंने दो स्थानों के बीच सबसे कम समय के कनेक्शन को खोजने की समस्या को हल करने के लिए एक दिलचस्प ग्राफ समस्या बनाई।

हम सभी शास्त्रीय "सबसे छोटा रास्ता समस्या" जानते हैं: एक निर्देशित ग्राफ को देखते हुए के साथ किनारे लंबाई $G=(V,E)$ और दो कोने , बीच कम से कम पथ ढूंढने और (यानी, पथ की कुल बढ़त-लंबाई कम से कम)। गैर-नकारात्मक बढ़त-लंबाई को मानते हुए, विभिन्न एल्गोरिदम हैं और समस्या आसान है। $w_e\in\mathbb{R}_0^+,\,e\in E$ $s,t\in V$ $s$ $t$

यह उस मामले के लिए एक अच्छा मॉडल है, जो हम चल रहे हैं, उदाहरण के लिए। सड़क के हमारे नेटवर्क में कोने चौराहे हैं और प्रत्येक किनारे की लंबाई लंबाई है - मीटर में, उदाहरण के लिए। एज-वेट्स की एक और संभावित व्याख्या वह समय है जो हमें इसके एक कोने से दूसरे तक जाने के लिए लेता है। यह वह व्याख्या है जो अब मुझे रुचती है। $w_e$

मुसीबत

मैं अब निम्नलिखित स्थिति का मॉडल बनाना चाहता हूं। मैं सार्वजनिक परिवहन के माध्यम से एक शहर में बिंदु बी करने के लिए बिंदु A से यात्रा करते हैं और करना चाहते हैं समय को कम । सार्वजनिक परिवहन नेटवर्क को आसानी से एक निर्देशित ग्राफ के रूप में तैयार किया जा सकता है जैसा कि आप उम्मीद करेंगे। दिलचस्प हिस्सा एज-वेट (वह मॉडल समय) है - सार्वजनिक परिवहन (उदाहरण के लिए बसें) केवल कुछ निश्चित अंतराल में ही निकलते हैं, जो हर पड़ाव के लिए अलग होते हैं (ग्राफ में वर्टेक्स)। दूसरे शब्दों में - किनारे-वज़न स्थिर नहीं होते हैं, वे उस समय के आधार पर बदलते हैं जो हम किनारे का उपयोग करना चाहते हैं।

$G=(V,E)$ $w\colon E\times \mathbb{R}_0^+\rightarrow\mathbb{R}_0^+$ $v$ $u$ $t=10$ $5$ $v$ $t=8$ $w(vu,8)=7$ $w(vu,10)=5$

$P=v_1v_2\ldots v_{k-1} v_k$ $k=1$ $w(P)=0$ $w(P)=w(P')+w(v_{k-1}v_k,w(P'))$ $P'$ $P$ $v_k$

$w$

w (e, t) \leq w (e, t + Δ) + Δ for all e \in E, Δ \geq 0,

$w(e,t)\leq w(e,t+\Delta)+\Delta \text{ for all }e\in E,\Delta\geq 0,$

Δ

$\Delta$

यदि फ़ंक्शन "अच्छी तरह से व्यवहार करता है" तो इस समस्या को शास्त्रीय शॉर्टेस्ट पथ समस्या में कम करना संभव हो सकता है। लेकिन हम पूछ सकते हैं कि जब वजन-कार्य जंगली हो जाता है तो क्या होता है। और अगर हम इंतजार करने पर धारणा छोड़ दें तो क्या होगा?

प्रशन

मेरे प्रश्न निम्नलिखित हैं।

क्या इस समस्या को पहले पूछा गया है? यह स्वाभाविक लगता है।
क्या इस पर कोई शोध है? यह मुझे लगता है कि मुख्य रूप से वेट-फंक्शन के गुणों के संबंध में पूछे जाने वाले और अध्ययन किए जाने वाले विभिन्न उपप्रोग्राम हैं।
क्या हम इस समस्या को कम कर सकते हैं (संभवतः कुछ मान्यताओं के तहत) शास्त्रीय लघु पथ समस्या के लिए?

graph-algorithms shortest-path

— JS_
स्रोत

T

$T$

V^{'} = T \times V

$V' = T \times V$

(t_{0}, v_{0}) \to (t_{1}, v_{1})

$(t_0,v_0) \to (t_1,v_1)$

t_{1} = w ((v_{0}, v_{1}), t_{0})

$t_1 = w((v_0,v_1),t_0)$

T

$T$

w

$w$

T

$T$

इस समस्या का एक सरल संस्करण (जहां किनारे वजन समय पर रैखिक रूप से निर्भर करता है) को " पैरामीट्रिक सबसे छोटा रास्ता " कहा जाता है ।

— नील यंग

8

$n^{\Theta(\log n)}$

दिजाकस्ट्रा के एल्गोरिथ्म का उपयोग वास्तव में इस समस्या के लिए किया जा सकता है, जब प्रतीक्षा नीति लागू की जाती है, अर्थात, अंतिम आगमन समय को कम करने पर एक नोड पर प्रतीक्षा करें। प्रतीक्षारत नीति के बिना स्थिति बहुत अधिक विकट है: सबसे छोटा मार्ग सरल नहीं हो सकता है, सबसे छोटा पथ का उपपथ, उपपथ के दो अंत बिंदुओं के बीच सबसे छोटा नहीं हो सकता है, अनंत संख्या में किनारों से गुजरने वाले रास्तों में परिमित समय हो सकता है, आदि। अधिक चर्चा के लिए Orda और Rom द्वारा फिर से पेपर देखें ।

— ह्सियन-चिह चांग h h
स्रोत

3

क्या आप "कम से कम nondec बढ़ते रास्तों" की समस्या से अवगत हैं? इसे इन जैसे मॉडल स्थितियों में परिभाषित किया गया था। यद्यपि यह आपके फॉर्मूलेशन की तुलना में थोड़ा कम अभिव्यंजक है, इसके लिए तेजी से algs हैं।

— रेयान विलियम्स
स्रोत

1

यदि आप मानते हैं कि समय अभिन्न है (जो सार्वजनिक पारगमन के मामले में समझ में आता है), तो आप समय-विस्तारित नेटवर्क बना सकते हैं, जैसे कि समय-समय पर अधिकतम-प्रवाह (या सबसे तेज प्रवाह) के लिए फोर्ड-फुलकर्सन द्वारा सुझाए गए के समान है और इसके बजाय इस ग्राफ में सबसे छोटा रास्ता खोजें।

— हीलियम
स्रोत

समय के कार्यों के रूप में लंबाई के साथ सबसे छोटी दूरी की समस्या

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