रेखांकन के एक वर्ग के लिए संदर्भ जो आदेश दिए जाने पर सबग्राफ दूरी को संरक्षित करता है

12

हम कहते हैं कि एक ग्राफ पास संपत्ति यदि इसके शीर्षों को को इस तरह से किया जा सकता है तो ग्राफ को कोने से प्रेरित में सभी के लिए । दूसरे शब्दों में हमारे आदेश में अगला शीर्ष जोड़ना वर्तमान ग्राफ की दूरी मीट्रिक को प्रभावित नहीं करता है। $G$ $M$ $v_1, v_2, \ldots v_n$ $H_i$ $\{v_1, \ldots, v_i\}$ $dist_{H_i} (v_j, v_k) = dist_G(v_j, v_k)$ $j,k \leq i$

इस तरह के ग्राफ का एक उदाहरण नियमित ग्रिड है। $n \times n$

क्या इस संपत्ति या रेखांकन का कोई नाम है? क्या उनका अध्ययन किया गया है?

reference-request graph-theory

— मीच
स्रोत

एक ग्राफ का एक सरल उदाहरण है कि है नहीं इस संपत्ति है के लिए चक्र । ऐसा इसलिए है, क्योंकि किसी भी आदेश के लिए, को कनेक्ट करना होगा, और इसलिए समय पर , लंबाई की एक पंक्ति है , और इसलिए कुछ दो कोने हैं दूरी अलग।

k

$k$

k \geq 5

$k \ge 5$

H_{i}

$H_i$

i = ⌊ k / 2 ⌋ + 2 < k

$i = \lfloor k/2 \rfloor +2 < k$

H_{i}

$H_i$

i - 1

$i-1$

i - 1 > ⌊ k / 2 ⌋

$i-1 > \lfloor k/2 \rfloor$

— एंड्रयू मॉर्गन

दूसरी ओर, एक अच्छा आदेश को खोजने के लिए एक प्राकृतिक उम्मीदवार की एक मनमाना चुनाव से एक BFS करना है । को कुछ अतिरिक्त किनारों के साथ बीएफएस के पेड़ के रूप में देखने से ऐसा लगता है कि संपत्ति होने में एकमात्र बाधा है कि कुछ "जैसा" होना चाहिए जैसे कि में लिए एक चक्र । " " से मेरा मतलब है कि cycle है ताकिमें । यदि हम ऐसे चक्र को "न्यूनतम" कहते हैं, तो क्या यह सही है कि संपत्ति

v_{1}, \dots, v_{n}

$v_1, \ldots, v_n$

v_{1}

$v_1$

G

$G$

M

$M$

k

$k$

k \geq 5

$k \ge 5$

G

$G$

k

$k$

v_{1}, \dots, v_{k}, v_{k + 1} = v_{1}

$v_1, \ldots, v_k, v_{k+1}=v_1$

k \geq 5

$k \ge 5$

d (v_{i}, v_{j}) = | i - j |

$d(v_i,v_j) = |i-j|$

G

$G$

M

$M$ कम से कम 5 की लंबाई के न्यूनतम चक्रों के शून्य के बराबर है?

— एंड्रयू मॉर्गन

1

एक क्यूब में एक प्रेरित और आइसोमेट्रिक 6-चक्र होता है (क्यूब के दो विपरीत छोरों को हटा दें; जो बचा है वह 6-चक्र है) लेकिन दूरी-संरक्षण तरीके (जैसे बीएफएस) में आदेश दिया जा सकता है। तो आपके चक्र हमेशा बाधाएं नहीं हैं। यह उदाहरण यह भी दर्शाता है कि कुछ अन्य आदेशों के काम करने पर भी, दूरी को बनाए रखने वाले ऊर्ध्व को निकालने वाले लालच फंस सकते हैं।

k

$k$

— डेविड एपस्टीन

8

ऐसा लगता है कि आप ग्राफ़ों के बारे में पूछ रहे हैं, जो इस पत्र में अध्ययन किए गए ग्राफ़ के एक वर्ग के रूप में एक दूरस्थ-संरक्षण उन्मूलन आदेश को स्वीकार करते हैं :

http://epubs.siam.org/doi/abs/10.1137/S0895480195291230?journalCode=sjdmec

— JimN
स्रोत

2

लेखक के वेबपेज पर भी स्वतंत्र रूप से उपलब्ध है: lif-sud.univ-mrs.fr/%7Echepoi/dpo.ps

— फ्लोरेंट

8

मेरे पास आपके ग्राफ़ की पूरी कक्षा के लिए कोई उत्तर नहीं है, लेकिन ग्राफ़ के तीन उपवर्ग जिनके पास यह गुण है, दूरी-वंशानुगत ग्राफ़ , कॉर्डल ग्राफ़ और माध्य ग्राफ़ हैं ।

दूरी-वंशानुगत रेखांकन संपत्ति द्वारा परिभाषित किया गया है कि हर जुड़े प्रेरित उपसमूह में समान दूरी है। तो आप एक मनमाने ढंग से शुरू होने वाले वर्टेक्स को चुन सकते हैं और फिर प्रत्येक क्रमिक शीर्ष को चुन सकते हैं, जो पहले से चुने हुए वर्टेक्स से सटे किसी भी पहले से चुने गए वर्टेक्स के रूप में हो। $v_1$

कॉर्डल ग्राफ़ वे ग्राफ़ होते हैं, जिनके पास संपत्ति के साथ एक ऑर्डर होता है जिसे प्रत्येक क्रमिक शीर्ष, जब जोड़ा जाता है, तो अपने पड़ोसियों के लिए एक क्लिच होता है। यह आदेश स्पष्ट रूप से दूरी-संरक्षण है।

इसी तरह, माध्य रेखांकन (आपके ग्रिड उदाहरण सहित) में वह संपत्ति होती है, जो किसी भी चौड़ाई-पहले ऑर्डर करने के लिए, प्रत्येक वर्टेक्स में जोड़े जाने के समय एक हाइपरक्यूब पड़ोस होता है। (एपपस्टीन एट अल, "मीडिया थ्योरी", स्प्रिंगर, 2008 के पृष्ठ 76-77 देखें)। फिर, इस संपत्ति का मतलब है कि इसके अलावा पिछले कोने के बीच की दूरी को बदल नहीं सकते हैं।

ऐसे वर्णनों का एक वर्ग है जो मुझे एक नाम के लिए नहीं जानता है, जो कॉर्डल और दूरी-वंशानुगत रेखांकन दोनों को सामान्य करता है, जिसे बहुपद समय में पहचाना जा सकता है और आपकी संपत्ति है। वे जुड़े हुए ग्राफ़ हैं जो एक-एक करके शीर्ष जोड़कर बनाए जा सकते हैं, जहाँ प्रत्येक नए वर्टेक्स के पड़ोसी पिछले ग्राफ़ के बंद पड़ोसों में से एक के सबसेट होते हैं। वे लगभग (लेकिन काफी नहीं) विघटित रेखांकन के समान हैं, अंतर यह है कि नए शीर्ष को उस शीर्ष से सटे होने की आवश्यकता नहीं है जिसका पड़ोस कॉपी किया जा रहा है। एक कॉर्डल ग्राफ का उन्मूलन आदेश इस प्रकार का एक निर्माण है जहां प्रत्येक नया शीर्ष एक पड़ोस का एक सबसेट सब्मिट चुनता है। इसी प्रकार दूरी-वंशानुगत रेखांकन में इस प्रकार का निर्माण होता है जहाँ प्रत्येक नए शीर्ष के पड़ोसी एक पूर्ण रूप से बंद पड़ोस, एक खुला पड़ोस या एक एकल शीर्ष होते हैं। प्रत्येक नए शीर्ष को पिछले कोने की दूरी नहीं बदल सकती है, इसलिए इस निर्माण अनुक्रम में वह संपत्ति है जिसकी आप तलाश कर रहे हैं।

यदि आप एक वर्टेक्स v को "रिमूवेबल" के रूप में परिभाषित करते हैं यदि यह इस क्रम में अंतिम हो सकता है (इसका एक खुला पड़ोस है जो किसी और के बंद पड़ोस का एक उपसमुच्चय है) तो अन्य रिमूवेबल वर्टेन्स को हटाने से v की निष्कासन क्षमता नहीं बदलती है : यदि v का पड़ोस u का उपसमूह है, और हम u को पड़ोस के रूप में हटाते हैं, जो कि w का सबसेट है, तो v अभी भी हटाने योग्य है, क्योंकि इसका पड़ोस अभी भी w का सबसेट है। इसलिए, हटाने के कदमों के अनुक्रम जिन्हें हम एंटीमैट्रोइड बनाने के लिए एक ग्राफ को नीचे ले जाने के लिए अनुसरण कर सकते हैं, और एक ऐसा अनुक्रम बहुपत्नी काल में एक लालची एल्गोरिथ्म द्वारा पाया जा सकता है जो एक हटाने योग्य शीर्ष को बार-बार हटाता है जब भी यह एक मिल सकता है। इस एल्गोरिदम के आउटपुट को उलट देने से दिए गए ग्राफ के लिए निर्माण अनुक्रम मिलता है। क्यूब का ग्राफ एक ग्राफ का उदाहरण देता है जिसमें आपकी संपत्ति (एक औसत ग्राफ) है लेकिन इस तरह से रचनात्मक नहीं है। मुझे लगता है कि इस तरह से बनाए जा सकने वाले माध्य रेखांकन बिल्कुल वर्गाकार हैं (जिनमें नियमित ग्रिड शामिल हैं)। जिन ग्राफों में इस प्रकार का निर्माण क्रम होता है, उनमें वे सभी ग्राफ़ शामिल होते हैं, जिनमें एक सार्वभौमिक वर्टेक्स होता है, जैसे कि व्हील ग्राफ़ , इसलिए (कॉर्डल ग्राफ़ और दूरी-वंशानुगत ग्राफ़ के विपरीत) वे सही नहीं होते हैं और प्रेरित ग्रेग्राफ के तहत बंद नहीं होते हैं।

— डेविड एप्पस्टीन
स्रोत

ग्राफ़ के इस वर्ग की संपत्ति जो आप सुनिश्चित नहीं हैं, एक वर्चस्व उन्मूलन आदेश की याद दिलाती है। यह पेपर मूल प्रश्न के लिए प्रासंगिक लगता है: epubs.siam.org/doi/abs/10.1137/…

— JimN

मुझे लगता है कि डोमेटलॉन एलिमिनेशन ऑर्डर डल्समैंटलीबिलिटी के समान ही हो सकता है। लेकिन आपको उस पेपर को वास्तविक उत्तर में जोड़ना चाहिए, क्योंकि इसका "डिस्टेंस-प्रोटेक्शन एलिमिनेशन ऑर्डरिंग" वास्तव में वही लगता है जो मूल प्रश्न पूछ रहा है।

— डेविड एप्पस्टीन