एक शीर्ष-लेबल DAG की सामयिक सामयिक गणना करना

आज्ञा देना एक निर्देशित चक्रीय ग्राफ है , और एक लेबलिंग फ़ंक्शन है जो प्रत्येक परिमाण को कुछ परिमित वर्णमाला में एक लेबल मैपिंग करता है । लेखन एक संस्थानिक तरह की एक द्विभाजन है से के लिए (यानी, के एक आदेश एक क्रम में) ऐसा है कि जब भी $G = (V, E)$ $\lambda$ $v \in V$ $\lambda(v)$ $L$ $n := |V|$ $G$ $\sigma$ $\{1, \ldots, n\}$ $V$ $V$ $(v, v') \in E$ तो (यानी, अगर वहाँ से बढ़त है के तो से पहले होता है अनुक्रम में)। लेबल की शब्द है में । $\sigma^{-1}(v) < \sigma^{-1}(v')$ $v$ $v'$ $v$ $v'$ $\sigma$ $\sigma(1) \cdots \sigma(n)$ $L^n$

यह देखते हुए , मैं कुशलता से के टोपोलॉजिकल प्रकार के लेबल को दोहराना चाहूंगा । टोपोलॉजिकल प्रकार के लेबल की गणना करने की जटिलता क्या है? बेशक, चूंकि घातीय रूप से कई हो सकते हैं, मैं आउटपुट के आकार के एक फ़ंक्शन के रूप में, या देरी के संदर्भ में जटिलता का अध्ययन करना चाहता हूं। विशेष रूप से, बहुपद देरी के साथ गणना की जा सकती है? (या यहां तक कि लगातार देरी?) $(G, \lambda)$ $G$

उस स्थिति में जहां सभी कोने अलग-अलग लेबल ले जाते हैं (या, समतुल्य रूप से, स्वयं द्वारा लेबल किए गए हैं), मुझे पता है कि लेबल को लगातार परिशोधन समय में गणना की जा सकती है, इस परिणाम पर पॉसेट्स के रैखिक विस्तार की गणना करना (जो एक डीएजी के सामयिक प्रकार की गणना के समान है)। हालाँकि, जब शीर्षकों को मनमाने ढंग से लेबल किया जाता है, तो यह मामला हो सकता है कि बहुत बड़ी संख्या में टोपोलॉजिकल प्रकारों में एक ही लेबल होता है, इसलिए आप केवल टोपोलॉजिकल प्रकारों की गणना नहीं कर सकते हैं और लेबल की गणना करने के लिए एक कुशल तरीका प्राप्त करने के लिए उनके लेबल की गणना करते हैं। । पॉसेट शब्दावली में, लेबल वाले DAG को लेबल के रूप में देखा जा सकता है $G$ $\{1, \ldots, n\}$ $G$ $(G, \lambda)$ पोसेट, और मैं उन लोगों के बारे में गणना परिणाम नहीं पा सका।

मैं पहले से ही अपने अन्य सवालों के जवाब के लिए कुछ संबंधित समस्याओं की कठोरता को जानता हूं। विशेष रूप से, मुझे पता है कि लेक्सोग्राफिक रूप से न्यूनतम लेबल की खोज एनपी-हार्ड है । मुझे यह भी पता है कि किसी दिए गए लेबल को कुछ टोपोलॉजिकल सॉर्ट द्वारा प्राप्त किया जा सकता है या नहीं यह तय करना एनपी-हार्ड है ( इस समस्या की कठोरता से : एक उम्मीदवार लेबल अनुक्रम , एक टॉपोलॉजिकल सॉर्ट के लिए पूछें जहां प्रत्येक शीर्ष स्थान पर होना चाहिए। जहां सही लेबल में होता है $s$ $G$ $s$ )। हालाँकि, मुझे नहीं लगता कि इसमें से कोई भी गणना के लिए कठोरता का अर्थ है, जैसा कि आप किसी भी क्रम में गणना कर सकते हैं जो आपको पसंद है (जरूरी नहीं कि लक्सिकोग्राफिक), और एक एन्यूमरेशन एल्गोरिथ्म का उपयोग कुशलता से तय करने के लिए नहीं किया जा सकता है कि क्या एक लेबल प्राप्त करने योग्य है, यहां तक कि लगातार देरी के साथ (जैसा कि पहले विस्तार करने के लिए तेजी से कई अनुक्रम हो सकते हैं)।

ध्यान दें कि, पहले लेबल (बस किसी भी टोपोलॉजिकल सॉर्ट को लेना) को एन्यूमरेट करना आसान है । तुलना में किसी अन्य लेबल को एन्यूमरेट करने के लिए , आप यह बताकर आगे बढ़ सकते हैं कि का कुछ तत्व किसी स्थान पर जहां : हर आज़माएं और , और जांचें कि क्या $s$ एक सांस्थितिकीय तरह जहां है स्थान पर है , जो स्पष्ट रूप PTIME में किया जा सकता। लेकिन जैसा कि आप अधिक से अधिक लेबल का उत्पादन करते हैं, मुझे यकीन नहीं है कि इस दृष्टिकोण को कैसे सामान्य किया जाए। $s$ $v$ $V$ $i \in \{1, \ldots, n\}$ $s_i \neq \lambda(v)$ $v$ $i$ $G$ $v$ $i$

— a3nm
स्रोत

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टोपोलॉजिकल ऑर्डरिंग की गणना करने का सबसे सरल तरीका दी गई डीएजी पर गहराई से पहली खोज कर रहा है। वर्तमान वर्टीकल के अनविज्ञानी पड़ोसियों से निकाले जाने वाले अगले वर्टेक्स को चुनने के लचीलेपन का फायदा उठाकर विभिन्न टोपोलॉजिकल ऑर्डर तैयार किए जा सकते हैं । चूंकि, यह एक पुनरावर्ती प्रक्रिया है, जिसमें सभी संभावित ट्रैवर्सल्स (और इसलिए टोपोलॉजिकल ऑर्डर्स) की गणना की जाती है, जो अलग-अलग ऑर्डर चुनकर, जिसमें अपरिचित पड़ोसी ट्रैवर्स किए जाते हैं , सरल होगा । $v$ $u$ $u$

अब इसी तरह के लेबल की वजह से एक ही ट्रावेल को दोहराने की सीमा को सीमित करने के लिए, कोई भी गैर-पड़ोसी पड़ोसियों तुलना कर सकता है के समान लेबल रही है। दो लंबवत और पर विचार करें, जब ट्रैवर्सल तक पहुंचता है, तो समान रूप से पड़ोसी । निश्चित रूप से उनमें से किसी एक को चुनने से पहले एक ही डीएफएस वृक्ष उत्पन्न होगा और इसलिए उनमें से किसी एक से बचा जा सकता है। $v_1,v_2,...,v_k$ $u$ $v_i$ $v_j$ $u$

अब, सभी के पड़ोसियों की तुलना की एक ओवरहेड का कारण बन कुल समय पर है, लेकिन में और अधिक कुशलता से किया जा सकता है उचित डाटा संरचनाओं का उपयोग करके। $v_1,...,v_k$ $O(n^2)$ $\tilde{O}(n)$

— sbzk
स्रोत

आपके उत्तर के लिए धन्यवाद! हालांकि, मुझे समझ में नहीं आता है कि आप पहले पैराग्राफ में जो ट्वीक सुझाते हैं, वह यह सुनिश्चित करने के लिए पर्याप्त होगा कि बहुपद के बाद एक अलग तरह का टोपोलॉजिकल लेबल तैयार किया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि सभी तत्वों में समान लेबल है, तो एन्यूमरेट करने के लिए केवल एक टोपोलॉजिकल सॉर्ट लेबल है, लेकिन मुझे यकीन नहीं है कि मैं देख रहा हूं कि आपका एल्गोरिथ्म इसे क्यों नोटिस करेगा और पर्याप्त तेजी से समाप्त करेगा? (एक और बिंदु: आप "पड़ोसी" कहते हैं, लेकिन ग्राफ एक डीएजी है, क्या आपका मतलब "बच्चा" है?)

— a3nm

पहले पैरा में ट्विंक लेबलों के बावजूद सभी संभावित ऑर्डर उत्पन्न करना है। समान लेबल के मामले में आदेशों को सीमित करने के लिए, एक ही लेबल के कोने का चयन करने से बचने के लिए महत्वपूर्ण है अगर वे समान रूप से शेष अनविज़ित ग्राफ़ से जुड़े हुए लगते हैं। इसलिए, वे एक ही टोपोलॉजिकल ऑर्डर बनाने के लिए आइसोमॉर्फिक अनविसीड ग्राफ बनाएंगे।

— sbzk

उस मामले के लिए जहां सभी लेबल समान हैं, एक तुच्छ मामला है, अन्यथा यहां तक कि एक अलग लेबल से कई अलग-अलग ऑर्डर हो सकते हैं। कम्प्यूटेशन को कम करने का एक तरीका यह होगा कि आइसोमॉर्फ़िक परिकल्पित ग्राफ़ को संसाधित करने से बचें। अब मैं इस बात से सहमत है कि यह एक गारंटी नहीं दे सकता है करते

भूमि के ऊपर, लेकिन शायद एक अच्छा अनुमानी दे सकते हैं।

O (n^{2})

$O(n^2)$

— sbzk

स्पष्टीकरण के लिए धन्यवाद। हालाँकि, मैं एक बहुपद की तलाश कर रहा हूँ, जो सभी मामलों पर लागू होता है, न कि किसी सैद्धांतिक गारंटी के साथ अनुमान के लिए! :)

— a3nm