कॉम्बिनेटरों का अधूरा आधार

Question

यह इस प्रश्न से प्रेरित है । Let सभी कॉम्बीनेटरों का संग्रह हो, जिसमें केवल दो बँधे हुए चर हों। क्या पूर्ण है?$\mathcal{C}$$\mathcal{C}$

मेरा मानना ​​है कि उत्तर नकारात्मक है, हालांकि मैं इसके लिए एक संदर्भ नहीं ढूंढ पा रहा था। मुझे कॉम्बिनेटर के सेटों के दहनशील अपूर्णता के प्रमाणों के संदर्भ में भी दिलचस्पी होगी (मैं देख सकता हूं कि केवल एक बाउंड चर के साथ कॉम्बिनेटरों से मिलकर सेट क्यों अपूर्ण है, इसलिए इन सेटों में सिर्फ तत्वों के अधिक से अधिक शामिल होने के लिए संघर्ष किया गया है )।$\mathcal{D}$$\mathcal{D}$

Comments

क्या आप स्पष्ट कर सकते हैं कि आप एक संयोजन (= बंद लैम्ब्डा शब्द) के बाध्य चर की संख्या से क्या मतलब है? लंबोदर सार की कुल संख्या?

— नोम ज़ेलेबर्गर

हां, मेरा यही मतलब है।

— 19/07 को tci

वास्तव में, शायद यह वही नहीं है जो आपका मतलब था ... शायद आप का मतलब है कि लैम्ब्डा एब्स्ट्रक्शन में उपयोग किए जाने वाले अलग-अलग वैरिएबल की कुल संख्या, उदाहरण के लिए चार लैम्ब्डा अमूर्त होने के बावजूद दो अलग-अलग बाध्य चर हैं? उस मामले में, ऐसा प्रतीत होता है कि रिक स्टेटमैन ने इस प्रश्न का उत्तर दिया (नकारात्मक रूप से), " दो चर पर्याप्त नहीं हैं "। $(\lambda x.x(\lambda y.y))(\lambda x.\lambda y.x y)$

— नोआम ज़िलबर्गर

सही। मुझे लगता है कि यह वह उत्तर है जिसकी मैं तलाश कर रहा था, और मुझे निश्चित रूप से उम्मीद थी कि यह स्टेटमैन का परिणाम होगा। मैंने अभी तक जाँच नहीं की है, लेकिन मुझे लगता है कि यह मेरे द्वारा उल्लेखित प्रश्न का नकारात्मक उत्तर भी देगा। यदि आप इसे एक उत्तर के रूप में पोस्ट करते हैं, तो मैं खुशी से इसे स्वीकार करूंगा।

— tci

Answer 1

[जवाब में टिप्पणी का विस्तार करते हुए।]

सबसे पहले, एक संयोजन (= बंद अवधि) में बाध्य चर की गिनती के बारे में सिर्फ एक स्पष्टीकरण । मैं इस प्रश्न की व्याख्या करता हूं जैसे कि इसलिए कि उदाहरण के लिए चार होने के बावजूद दो बाध्य चर होने के रूप में गिना जाता है बाइंडरों (यानी, लैम्ब्डा कपोल-कल्पना)। मतगणना का यह तरीका शुरू में मेरे लिए थोड़ा अजीब था, क्योंकि यह Alpha -conversion के तहत अपरिवर्तित नहीं है : उदाहरण के लिए, is से तक -असमान , लेकिनमें अलग बाध्य चर नाम की कुल संख्या  टी टी = ( λ एक्स । एक्स ( λ y । y ) ) ( λ एक्स । λ y । y एक्स ) α टी α टी ' = ( λ एक्स । एक्स ( λ y । y ) ) ( λ एक । λ ख । ख एक ) टी $t$

$$\text{the total number of distinct bound variable names in }t$$ $t = (\lambda x.x(\lambda y.y))(\lambda x.\lambda y.yx)$$\alpha$$t$$\alpha$$t' = (\lambda x.x(\lambda y.y))(\lambda a.\lambda b.ba)$$t'$चार अलग-अलग बाध्य चर नाम हैं। हालाँकि, यह वास्तव में कोई समस्या नहीं है, क्योंकि किसी बंद टर्म को लिखने के लिए आवश्यक अलग-अलग बाध्य चर नामों की न्यूनतम संख्या बराबर है और बाद की धारणा के तहत अपरिवर्तनीय है रूपांतरण।के एक subterm में नि: शुल्क चर की अधिकतम संख्या  टी $t$ $$\text{the maximum number of free variables in a subterm of }t$$ $\alpha$

तो, let सभी कॉम्बीनेटरों का संग्रह होना चाहिए जो कि दो अलग-अलग बाउंड वैरिएबल्स का उपयोग करके लिखा जा सकता है, या समान रूप से उन सभी कॉम्बीनेटरों के संग्रह का उपयोग किया जा सकता है, जिनके सबमर्सरों में अधिकतर दो फ्री वैरिएबल हैं।$\mathcal{C}$

प्रमेय (स्टेटमैन) : संयुक्त रूप से पूर्ण नहीं है।$\mathcal{C}$

ऐसा लगता है कि इसका मूल प्रमाण रिक स्टेटमैन की एक तकनीकी रिपोर्ट में निहित है:

• संयोजक Hereditately आदेश दो के। कार्नेगी मेलन मठ विभाग तकनीकी रिपोर्ट 88-33, अगस्त 1988। ( पीडीएफ )

स्टेटमैन कॉम्बिनेटरों के एक अनिवार्य रूप से आइसोमोर्फिक संग्रह को परिभाषित करता है जिसे वह "हॉट" कहता है, "क्रमिक रूप से क्रम दो" के लिए। टेक रिपोर्ट वास्तव में दिखाती है कि हॉट के लिए शब्द समस्या (यानी, असमानता) इस तथ्य के बावजूद अभी भी अवांछनीय है, कि यह पूरी तरह से दहनशील नहीं है। स्टेटमैन ने बाद में इस प्रमाण के साथ एक छोटा स्व-लिखित पेपर लिखा कि हॉट कॉम्बिनेटरियल पूरी तरह से नहीं है:$\beta$

• दो चर पर्याप्त नहीं हैं। सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान, पीपी पर 9 वीं इतालवी सम्मेलन की कार्यवाही। 406-409, 2005 ( ACM )

किसी भी मामले में, जैसा कि मूल तकनीकी रिपोर्ट के सार में चमकता है, सबूत का विचार यह दिखाना है कि HOT "निश्चित स्तर द्वारा पदानुक्रम" है। यही कारण है, वह की एक धारणा को परिभाषित करता है रैंक एक गर्म Combinator के लिए, और combinators के एक परिवार , ऐसी है कि प्रत्येक रैंक है और नहीं है रैंक के गर्म combinators के किसी भी संयोजन को -equivalent । इसका तात्पर्य यह है कि HOT, कम्बिनेटरियल रूप से पूर्ण नहीं है, क्योंकि यदि combinator कुछ लिए रैंक के HOT समापक के संयोजन से प्राप्त किया जा सकता है।एच एन एन + 1 β एन एस = λ एक्स । λ य । λ जेड । ( x z ) ( y z ) n n H n n + $Hn$$Hn$$n+1$$\beta$$n$$S = \lambda x.\lambda y.\lambda z.(xz)(yz)$$n$$n$, तो ऐसा कोई अन्य कॉम्बीनेटर कर सकता है, विशेष रूप से रैंक का कॉम्बीनेटर ।$Hn$$n+1$