Subexponentially हार्ड ग्राफ समस्याओं का हल

25

अरोड़ा, बराक और स्टीयर के हाल के परिणाम के प्रकाश में, अद्वितीय खेलों और संबंधित समस्याओं के लिए Subexponential Algorithms , मैं ग्राफ़ की उन समस्याओं में दिलचस्पी रखता हूं जिनमें सब-प्रॉपर्टीअल टाइम एल्गोरिदम हैं, लेकिन माना जाता है कि बहुपद नहीं है। एक प्रसिद्ध उदाहरण ग्राफ समाकृतिकता जिनमें से subexponential एल्गोरिथ्म है $2^{O(n^{1/2} \log n)}$ चलाने के समय। एक अन्य उदाहरण लॉग-क्लिक समस्या है जो अर्ध-बहुपद समय ( $n^{O(\log n)}$ ) में हल करने योग्य है ।

मैं दिलचस्प उदाहरणों की तलाश कर रहा हूं और अधिमानतः सबपोनोनेंशियल हार्ड ग्राफ समस्याओं के सर्वेक्षण का संदर्भ (जरूरी नहीं कि $NP$ अपूर्ण)। इसके अलावा, क्या कोई $NP$ पूर्ण ग्राफ़िकल सबफ़ंडोनॉन्फ़ेशनल समय एल्गोरिदम के साथ समस्याएँ हैं?

इम्पेग्लियाज़ो, पटुरी और ज़ेन ने दिखाया कि एक्सपोनेंशियल टाइम हाइपोथीसिस का अर्थ है कि क्लिक, के-कलरबिलिटी और वर्टेक्स कवर को $2^{\Omega(n)}$ समय की आवश्यकता है।

cc.complexity-theory reference-request

— मोहम्मद अल-तुर्कस्टनी
स्रोत

2

पूर्णता के लिए: लॉग-CLIQUE =

{(G, k) | G has n vertices, k = \log n and G has a clique of size k}

$\{(G, k) | G \text{ has }n\text{ vertices, }k = \log n\text{ and }G\text{ has a clique of size }k\}$

— MS Dousti

20

जिस तरह से मैक्स गुट समस्या करके, पूर्ण व्यापकता में, समय में हल किया जा सकता जहांइनपुट का आकार है। $2^{\tilde O(\sqrt N)}$ $N$

यह तुच्छ है यदि ग्राफ को आसन्न मैट्रिक्स के माध्यम से दर्शाया जाता है, क्योंकि तब , और एक क्रूर बल खोज में समय लगेगा । $N=|V|^2$ $2^{O(|V|)}$

लेकिन हम एक ही भी बाध्य करता है, तो ग्राफ समीपता सूचियों का प्रतिनिधित्व करती है प्राप्त कर सकते हैं समय से चल रहा है की एक एल्गोरिथ्म के माध्यम से, । देखने के लिए कैसे, के एक हो जाओ $2^{\tilde O(\sqrt{|V| + |E|})}$ टाइम एल्गोरिथ्म एन पी-सम्पूर्ण निर्णय समस्या है जिसमें हम एक ग्राफ के लिए दिया जाता हैऔरऔर हम अगर वहाँ आकार का एक गुट है जानना चाहता हूँ। $2^{\tilde O(\sqrt{|V| + |E|})}$ $G=(V,E)$ $k$ $\geq k$

एल्गोरिथ्म बस डिग्री के सभी कोने को हटा और उन पर किनारों घटना, जब तक हम एक सबसेट पर एक शिखर प्रेरित subgraph के साथ छोड़ दिया जाता है, तो इसे फिर से करता है, और इतने पर कोने की, प्रत्येक डिग्री के , या एक खाली ग्राफ के साथ। उत्तरार्द्ध मामले में, हम जानते हैं कि आकार का कोई गुट मौजूद कर सकते हैं। पूर्व के मामले में, हम समय पर चलने वाली एक क्रूर बल खोज करते हैं । ध्यान दें और $< k$ $V'$ $\geq k$ $\geq k$ $|V'|^k$ $|E| \geq k\cdot |V'| /2$ , ताकि वह , और इसलिए एक जानवर बल खोज समय में चल रहा वास्तव में समय से चल रहा है $k\leq |V'|$ $|E| \geq k^2/2$ $|V'|^k$ । $2^{O(\sqrt{|E|} \cdot \log |V|)}$

— लुका ट्रेविसन
स्रोत

12

दरअसल, कई कारणों से इन प्रकार के लिए Impagliazzo, Paturi और ज़ेन ने तर्क दिया कि जब के बारे में पूछ

बनाम

जटिलता आप सेट करने की जरूरत है

(गवाह के आकार है जो आप के हिस्से के रूप परिभाषित करने की जरूरत होने के लिए समस्या)। में

-clique मामले गवाह आकार की है

2^{Ω (n)}

$2^{\Omega(n)}$

2^{o (n)}

$2^{o(n)}$

n

$n$

k

$k$

छोटे

, जबकि आप कहते हैं, आप मान सकते हैं कि कम से कम

किनारों और इनपुट आकार साक्षी आकार से बहुत बड़ा है।

\log (\binom{| V |}{k}) \sim k \log | V |

$\log \binom{|V|}{k} \sim k\log |V|$

k

$k$

k | V |

$k|V|$

— बोअज़ बराक

22

के बाद से हर प्लानर ग्राफ कोने है treewidth $n$ , सभी समस्याओं का है, जिसमें व्याख्या करने योग्य हैंज्यादा से ज्यादा treewidth के रेखांकन के लिए समय ~(वहाँ इस तरह की समस्याओं के एक बहुत हैं) है subexponential समय एक निरंतर कारक कंप्यूटिंग द्वारा प्लानर रेखांकन पर एल्गोरिदम और फिर treewidth एल्गोरिथ्म चल रहा है, फार्म की runtimes में जिसके परिणामस्वरूप (चूहादान एल्गोरिथ्म के साथ branchwidth कंप्यूटिंग द्वारा उदाहरण के लिए) बहुपद समय में treewidth को सन्निकटन $O(\sqrt{n})$ $O^*(2^{O(k)})$ $k$ कोनेपर रेखांकन के लिए। उदाहरण हैं प्लानर इंडिपेंडेंट सेट और प्लेनर डोमिनेटिंग सेट, जो एनपी-कोर्स के पूर्ण होते हैं। $O^*(2^{O(\sqrt{n})})$ $n$

— बार्ट जानसन
स्रोत

15

उप-घातांक समय सॉल्वेबिलिटी (SUBEPT) और निश्चित पैरामीटर ट्रैक्टिबिलिटी (FPT) के बीच घनिष्ठ संबंध है । उनके बीच का लिंक निम्नलिखित पेपर में दिया गया है।

2006 के बाद से उपनिवेशी और मानकीकृत जटिलता सिद्धांत , यिजिया चेन और मार्टिन ग्रहे के बीच एक समरूपतावाद है ।

संक्षेप में, उन्होंने लघुकरण मानचित्रण नामक एक धारणा पेश की , जो एक पैरामीटर वाली समस्या को एक और पैरामीटर वाली समस्या मैप करता है । एक सामान्य समस्या को इनपुट आकार द्वारा पैरामीटरित समस्या के रूप में देखने से, हमारे पास निम्नलिखित कनेक्शन हैं। (पेपर में देखें प्रमेय 16) $(P,\nu)$ $(Q,\kappa)$

प्रमेय । SUBEPT iff में है एफपीटी में है। $(P,\nu)$ $(Q,\kappa)$

यहां की परिभाषाओं से सावधान रहें। आम तौर पर हम -clique की समस्या को में पैरामीटर के रूप में देखते हैं , इसलिए इसके लिए कोई घातीय समय एल्गोरिथ्म नहीं है जो घातीय समय की परिकल्पना है। लेकिन यहाँ हम इस समस्या को इनपुट आकार के द्वारा parameterized हो जाएं , इस प्रकार की समस्या में हल किया जा सकता $k$ $k$ $O(m+n)$ , जो एक उप-घातांक समय एल्गोरिथ्म है। और प्रमेय हमें बताता है कि-clique समस्या पैरामीटरके कुछ मोड़ के तहत तय की गई है, जो उचित है। $2^{O(\sqrt{m}\log m)}$ $k$ $k$

सामान्य तौर पर, एसईआरएफ-एसएआरएफ-कटौती (उप-घातीय कमी वाले परिवारों) के तहत SUBEPT में समस्याओं को FPT- कटौती के तहत FPT में समस्याओं में तब्दील किया जा सकता है। (पेपर में प्रमेय 20) इसके अलावा, कनेक्शन और भी मजबूत हैं क्योंकि उन्होंने घातीय समय जटिलता सिद्धांत और मानकीकृत जटिलता सिद्धांत में समस्याओं के एक पूरे पदानुक्रम के बीच एक समरूपता प्रमेय प्रदान किया है। (प्रमेय 25 और 47) यद्यपि समरूपता पूर्ण नहीं है (उनके बीच कुछ गायब लिंक हैं), इन समस्याओं के बारे में स्पष्ट तस्वीर होना अभी भी अच्छा है, और हम पैरामीटर जटिलता के माध्यम से उप-घातीय समय एल्गोरिदम का अध्ययन कर सकते हैं।

अधिक जानकारी के लिए, जौर्म फ्लम और मार्टिन ग्रोह द्वारा, जटिलता स्तंभ के संपादक, जैकब टोरान के साथ मिलकर सर्वेक्षण देखें ।

— ह्सियन-चिह चांग h h
स्रोत

हाँ। btw, फ्लम और ग्रोह ने सर्वेक्षण लिखा; तोरन कॉम्प्लेक्सिटी कॉलम के संपादक हैं।

— एंडी ड्रकर

@Andy: सुधार के लिए धन्यवाद। मैं तदनुसार लेख को संशोधित करूंगा।

— Hsien-Chih चांग 張顯

12

एक अन्य उदाहरण कॉप और रॉबर्स गेम हो सकता है, जो कि एनपी-हार्ड है, लेकिन छोरों के साथ ग्राफ़ पर समय में हल करने योग्य है । XML Fedor V. Fomin, Petr A. Golovach, Jan Kratochvíl, Nicolas Nisse, Karol Suchan: में BibTeX ग्रंथ सूची रिकॉर्ड एक ग्राफ पर एक तेज डाकू का पीछा करते हुए। या। कंप्यूटर। विज्ञान। 411 (7-9): 1167-1181 (2010) $2^{o(n)}$

— कस्यािक्सस
स्रोत

3

ओह, यह शर्मनाक हो सकता है, लेकिन मुझे लंबे समय से विश्वास था कि

भार की समस्याओं में उप-घातांक समय एल्गोरिदम नहीं है, सिर्फ इसलिए कि घातीय समय परिकल्पना। :(

N P

$\mathsf{NP}$

— सीन-चिह चांग।

6

कोई शर्म की बात है ... लेकिन, एक आसान तरीका यह सच नहीं है को देखने के लिए कोई भी कदम नहीं है

-हार्ड भाषा

, और उसके बाद के रूप में एक 'गद्देदार' संस्करण

, जिसमें 'हां' उदाहरणों के रूप में हैं

, के साथ

, कुछ तय करने के लिए

। तब

है

N P

$NP$

L \in N P T I M E (n^{k})

$L \in NPTIME(n^k)$

L^{'}

$L'$

(x, 1^{| x |^{c}})

$(x, 1^{|x|^c})$

x \in L

$x \in L$

c > k

$c > k$

L^{'}

$L'$

N P

$NP$ , लेकिन एक नियतात्मक एल्गोरिथ्म समय में अनिवार्य रूप से

चल रहा है

।

2^{n^{k / c}}

$2^{n^{k/c}}$

— एंडी ड्रकर

7

क्लिक के लिए सर्वश्रेष्ठ सन्निकटन एल्गोरिथ्म एक अविश्वसनीय रूप से खराब सन्निकटन कारक (याद रखें कि का सन्निकटन कारक तुच्छ है)। $n/\text{polylog } n$ $n$

विभिन्न कठोरता मान्यताओं के तहत सन्निकटन के परिणाम की कठोरता होती है जो इसे काफी मेल नहीं खाते हैं, लेकिन फिर भी कठोरता देते हैं । व्यक्तिगत रूप से, मेरा मानना है कि अनुमानित है, जैसा कि बहुपद-काल एल्गोरिदम कभी भी करेगा। $n^{1-o(1)}$ $n/\text{polylog } n$

लेकिन क्‍लिक के लिए आसानी से अर्ध-बहुपद काल में किया जा सकता है। $n/\text{polylog } n$

एनपी-हार्ड समस्या एक ऐसी समस्या है जिसमें एसएटी से बहुपद-समय की कमी होती है। यहां तक कि अगर सैट की जरूरत है समय , इस बार से अनुवाद कर सकते हैं समस्या हम को कम करने के लिए। उत्तरार्द्ध है, तो इनपुट आकार एन, यह मामला हो सकता है कि एक छोटे से लगातार के लिए । $2^{\Omega(n)}$ $2^{\Omega(N^\epsilon)}$ $N=n^{1/\epsilon}$ $\epsilon$

— दाना मोशकोविट्ज़
स्रोत