"सभी-अलग हाइपरग्राफ रंग" - ज्ञात समस्या?

Question

मैं निम्नलिखित समस्या में दिलचस्पी रखता हूं: एक सेट X को देखते हुए और X_1 को सबसेट करता है, ..., X_n of X, k के रंगों के साथ X के तत्वों का रंग ढूंढता है जैसे कि प्रत्येक X_i में तत्व सभी अलग-अलग रंग के होते हैं। विशेष रूप से, मैं उस मामले को देख रहा हूं जहां सभी X_i आकार k के हैं। क्या यह साहित्य में किसी नाम से जाना जाता है? मैं जटिलता पर रंगीन उदाहरणों और परिणामों के लक्षण (पी बनाम एनपी-हार्ड) की तलाश कर रहा हूं। उदाहरण के लिए, k = 2 के लिए, रंगीन उदाहरण द्विभाजित रेखांकन के अनुरूप हैं, और इस प्रकार समस्या को बहुपद समय में हल किया जा सकता है।

Comments

हैं कि hypergraph घिरे डिग्री डी, रंग की अधिकतम संख्या है, तो प्रयोग करने योग्य थीटा (D / लॉग ट) है: देखने arxiv.org/abs/1009.5893 या arxiv.org/abs/1009.6144

— daveagp

यदि आप इन प्रकार के रंगों के साथ पाठ्यपुस्तक में रुचि रखते हैं, तो amazon.com/Introduction-Hypergraph-Theory-Vitaly-Voloshin/dp/ पर देखें। यदि आप हाइपरग्राफ रंग के अनुप्रयोगों के बारे में अधिक जानना चाहते हैं, तो एक नज़र डालें कागजी अनुसंधान।

Answer 1

मेरा मानना ​​है कि यह साहित्य में के-यूनिफॉर्म हाइपरग्राफ के लिए एक मजबूत के-कलरिंग की समस्या के रूप में जाना जाता है। यह शुरू करने के लिए एक अच्छी जगह होनी चाहिए: [PDF] ।

Answer 2

यह मुश्किल के रूप में अधिक से अधिक के रूप में भी है एक ग्राफ -coloring जी = ( एक्स , ई ) है, जहां ई प्रत्येक बनाकर बनाई है एक्स मैं एक गुट में। आपका प्रतिबंध कि सभी X i का आकार k है, का अर्थ है कि आप G के प्रत्येक किनारे को k vertices पर एक क्लिक के साथ कवर कर सकते हैं ।$k$$G=(X,E)$$E$$X_i$$X_i$$k$$G$$k$

Comments

वास्तव में। यह गैरी / जॉनसन में कवरिंग बाय क्लिक्स के रूपांतरण की तरह दिखता है। एन पी-सम्पूर्ण तय करने के लिए , लेकिन के लिए एक बहुपद समय एल्गोरिथ्म है कश्मीर ≤ 2 (के रूप में फाल्क का उल्लेख है)। $k \ge 3$$k \le 2$

— डैनियल अपॉन

यहां सुझाए गए का निर्माण , गैफमैन ग्राफ है। $G$

— एंड्रस सलामोन

ये सही है। वास्तव में Gaifman ग्राफ है। $G$

— सर्ज गैस्पर्स

Answer 3

मुश्किल के रूप में कम से कम के रूप में एक मनमाना ग्राफ -colouring जी = ( वी , ई ) । प्रत्येक किनारे के लिए e = { u , v } आपके पास एक सबसेट X e = { u , v , x ( e , 3 ) , x ( e , 4 ) , … , x ( e , k ) ) ; यहाँ प्रत्येक एक्स ( $k$$G = (V,E)$$e = \{u,v\}$$X_e = \{ u, v, x(e,3), x(e,4), \dotsc, x(e,k) \}$ एक डमी तत्व है जो किसी अन्य उपसमूह में मौजूद नहीं है। आप कर सकते हैं k -colour जी , आप आसानी से सेट प्रणाली (सिर्फ लालच से डमी तत्व रंग) के एक रंग, और इसके विपरीत पा सकते हैं।$x(e,j)$$k$$G$

Answer 4

एक रंग है जिसमें हर hyperedge है अनेक रंगों (या इंद्रधनुष ) भी एक के रूप में जाना जाता है मजबूत रंग ।

ध्यान दें कि हाइपरग्राफ का एक मजबूत रंग हाइपरग्राफ के गैफमैन ग्राफ का एक उचित रंग है। (दॅ Gaifman ग्राफ (या मौलिक ग्राफ या 2-खंड एक hypergraph के) किसी भी दो कोने है कि कुछ hyperedge में एक साथ प्रदर्शित के बीच किनारों को जोड़कर बना है।)

तो अगर आप एक r- एक समान हाइपरग्राफ एच के -colouring की तलाश कर रहे हैं , तो आप समान रूप से H के Gaifman ग्राफ़ के k -colouring की तलाश कर सकते हैं । मामले आर = 2 ग्राफ रंग है, जिसके लिए बहुपद समय है से मेल खाती है कश्मीर = 2 और के लिए एन पी-सम्पूर्ण कश्मीर ≥ 3 । स्पष्ट रूप से r < 2 तुच्छ है, k < r कोई समाधान नहीं है, और अन्य मामले सभी NP- पूर्ण हैं।$k$$r$$H$$k$$H$$r=2$$k=2$$k\ge 3$$r <2$$k\lt r$

एक उपयोगी संदर्भ जिसकी उपरोक्त परिभाषाएँ हैं, वो है विटाली आई। वोशिन, कलरिंग मिक्स्ड हाइपरग्राफ: थ्योरी, अल्गोरिथम और एप्लिकेशन , फील्ड्स इंस्टीट्यूट मोनोग्राफ 17 , एएमएस, 2002, आईएसबीएन 0-8218-2812-6। यह पुस्तक कमजोर रंगों के अधिक सामान्य मामले को कवर करती है, जिसमें दो प्रकार के रंगीन किनारों के संयोजन पर विशेष ध्यान दिया : सी -जेड्स, जिसमें एक सामान्य रंग के साथ कम से कम दो कोने होते हैं, और डी- वेड्स, जिनमें कम से कम दो कोने अलग होते हैं रंग की।$C$$D$

Comments

समस्या की एनपी-कठोरता के लिए एक प्रशस्ति पत्र के रूप में आप क्या सुझाएंगे? उपरोक्त पुस्तक?

— डोमटोटर

@domotorp नहीं, पुस्तक कमजोर रंग पर केंद्रित है। देखिए जुका का जवाब।

— आंद्रे सलामन