पी से एनपी-कठोर और वापस फिर से जटिल जटिलता

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मैं समस्याओं के उदाहरणों की तलाश कर रहा हूं, जो संख्या , जहां समस्या की कठोरता में गैर-मोनोटोनिक है । अधिकांश समस्याओं (मेरे अनुभव में) का एकल चरण संक्रमण है, उदाहरण के लिए -SAT का (जहां समस्या P में है) से (जहां तक ) में एकल चरण संक्रमण है समस्या एनपी-पूर्ण है)। मैं उन समस्याओं में दिलचस्पी रखता हूँ जहाँ दोनों दिशाओं में चरण संक्रमण होते हैं (जैसे कि आसान से कठिन और इसके विपरीत) के रूप में बढ़ता है। $k \in \mathbb{N}$ $k$ $k$ $k \in \{1,2\}$ $k \ge 3$ $k$

मेरा प्रश्न कुछ हद तक कम्प्यूटेशनल कॉम्प्लेक्सिटी में कठोरता जम्प्स में पूछे गए प्रश्न के समान है , और वास्तव में कुछ प्रतिक्रियाएं मेरे प्रश्न के लिए प्रासंगिक हैं।

जिन उदाहरणों से मैं अवगत हूं:

$k$ प्लानर रेखांकन की -colorability: पी में छोड़कर जब , जहां यह NP- पूर्ण है। $k=3$
टर्मिनलों के साथ स्टेनर का पेड़ : पी में जब (सबसे छोटा - पथ पर गिरता है ) और जब (MST तक गिरता है), लेकिन NP- "के बीच में"। मुझे नहीं पता कि ये चरण परिवर्तन तेज हैं (जैसे, लिए P लेकिन लिए NP-hard )। इसके अलावा के परिवर्तन इनपुट उदाहरण के आकार पर निर्भर करते हैं, मेरे अन्य उदाहरणों के विपरीत। $k$ $k=2$ $s$ $t$ $k=n$ $k_0$ $k_0+1$ $k$
एक प्लानर फार्मूला modulo संतोषजनक कार्य की गणना : P में जब एक Mersenne ~~अभाज्य~~ संख्या , और # ~~(?) /~~ अन्य सभी मानों के लिए ( इस धागे में आरोन स्टर्लिंग से ) पूर्ण ? )। चरण संक्रमण के बहुत सारे! $n$ $n$ $n=2^k-1$ $n$
प्रेरित उपसमूह का पता लगाने: समस्या एक पूर्णांक लेकिन एक ग्राफ द्वारा पैराट्राइज्ड नहीं है। मौजूद ग्राफ़ में (जहाँ एक निश्चित प्रकार के सबग्राफ को दर्शाता है), जिसके लिए यह निर्धारित करना कि क्या किसी दिए गए ग्राफ़ लिए P में लिए P है? लेकिन NP लिए पूर्ण । ( उसी धागे में हसीन-चिह चांग से )। $H_1 \subseteq H_2 \subseteq H_3$ $\subseteq$ $H_i \subseteq G$ $G$ $i\in \{1,3\}$ $i=2$

— mikero
स्रोत

3

लघु सुधार पुनः उदाहरण (3): समस्या यदि कुछ प्राकृतिक संख्या लिए Mersenne- प्रकार पूर्णांक है, अर्थात, ; अभाज्य होना आवश्यक नहीं है। (उदाहरण के लिए, अभाज्य नहीं है।) जब तक इस रूप का नहीं है, समस्या # ।

P

$\mathsf{P}$

n

$n$

n = 2^{k} - 1

$n=2^k-1$

k

$k$

n

$n$

2^{11} - 1

$2^{11}-1$

n

$n$

P

$\mathsf{P}$

— आरोन स्टर्लिंग

धन्यवाद @Aaron स्टर्लिंग - मैंने उस उदाहरण को उचित रूप से संशोधित किया है।

— mikero 22

1

प्रमुख सुधार पुनः उदाहरण (3): सूत्र को भी मोनोटोन होना चाहिए, दो बार पढ़ा जाना चाहिए, और आकार क्लॉज़ होना चाहिए, जहां , ट्रैक्टेबल होने के लिए। यह जिन-यी कै और पिनान लू द्वारा सिद्ध किया गया था। यह नहीं है कि कैसे Valiant ने इसे प्रेरित किया। उन्होंने खंड का आकार 3 तय किया और फिर सिर्फ मापांक अलग किया। यह विशेषता में कठिन होने के लिए जाना जाता था। 0. वैरिएंट ने कठोरता मॉड 2 और ट्रैक्टिबिलिटी मॉड 7 दिखाया। कठोरता mod 2 is # कठोरता, न कि # P- कठोरता। मैं नहीं जानता कि आप जिन समस्याओं का वर्णन कर रहे हैं, उनका परिवार कितना मानकीकृत है।

k

$k$

n = 2^{k} - 1

$n = 2^k - 1$

\otimes P = #_{2} P

$\otimes P = \#_2 P$

— टायसन विलियम्स

1

इस बारे में अधिक जानकारी के लिए, पेपर संदर्भों सहित, विकिपीडिया पर होलोग्राफिक_ एल्गोरिथ्म # इतिहास देखें ।

— टायसन विलियम्स

उदाहरण के बारे में एक चिंता का विषय है (4): मुझे आशा है कि आप इसका मतलब यह निरूपित की प्राप्ति की जा रही -graph । लेकिन हम यह कैसे कह सकते हैं कि थीटा प्रिज्म पिरामिड? ध्यान दें कि हम प्रेरित उपसमूह के बारे में बात कर रहे हैं उप-अंश नहीं।

H \subseteq G

$H \subseteq G$

G

$G$

s

$s$

H

$H$

\subseteq

$\subseteq$

\subseteq

$\subseteq$

— साइरिएक एंटनी

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समस्या जटिलता की गैर-एकरसता के साथ एक क्षेत्र संपत्ति परीक्षण है। Let सभी -vertex रेखांकन का सेट है , और एक ग्राफ संपत्ति कहते हैं। एक सामान्य समस्या यह निर्धारित करना है कि क्या ग्राफ में संपत्ति (यानी ) है या किसी अर्थ में संपत्ति होने से 'दूर' है। क्या है, और ग्राफ़ पर आपके पास किस प्रकार की क्वेरी पहुंच है, इसके आधार पर , समस्या काफी कठिन हो सकती है। $\mathcal{G}_n$ $n$ $P \subseteq \mathcal{G}_n$ $G$ $P$ $G \in P$ $P$ $P$

लेकिन यह देखना आसान है कि समस्या गैर-मोनोटोन है, अगर हमारे पास , तो तथ्य यह है कि आसानी से परीक्षण योग्य है या तो इसका मतलब यह नहीं है कि आसानी से परीक्षण योग्य है या वह है। $S \subset P \subset T$ $P$ $S$ $T$

यह देखने के लिए, यह निरीक्षण करने के लिए पर्याप्त है कि और दोनों तुच्छ रूप से परीक्षण योग्य हैं, लेकिन कुछ गुणों के लिए, मजबूत निचले सीमा मौजूद हैं। $P = \mathcal{G}_n$ $P = \emptyset$

— हारून रोथ
स्रोत

क्या आप एक गैर-तुच्छ उदाहरण का उल्लेख (या इंगित) कर सकते हैं? मुझे लगता है कि आप पहले से ही कुछ जानते हैं। यह भी दिलचस्प पी देखते हैं कि क्या है एनपी पी एनपी चरण संक्रमण।

\to

$\to$

\to

$\to$

\to

$\to$

— Cyriac एंटनी

20

किसी दिए गए ग्राफ के लिए और एक पूर्णांक , की मई की शक्ति , द्वारा सूचित किया जाता , एक ही शिखर ऐसी है कि दो अलग-अलग कोने में निकट हैं सेट है अगर में उनकी दूरी पर है सबसे । की मई की शक्ति विभाजन ग्राफ समस्या पूछता है कि किसी दिए गए ग्राफ है एक विभाजन ग्राफ की मई की शक्ति। $G$ $k\ge 1$ $k$ $G$ $G^k$ $G^k$ $G$ $k$ $k$ $k$

के लिए , समस्या रैखिक समय में व्याख्या करने योग्य। इसका कारण यह है कि विभाजन रेखांकन को रेखीय समय में जाना जाता है (अच्छी तरह से ज्ञात)। $k=1$
के लिए , समस्या एनपी पूरा हो गया है। यह Lau और Corneil द्वारा उचित अंतराल, विभाजन और कॉर्डल ग्राफ , SIAM J. Discrete Math।, 18 (2004), 83-102 की शक्तियों को पहचानने में सिद्ध होता है । $k=2$
के लिए , समस्या तुच्छ है: केवल पूरा रेखांकन कर रहे हैं एक विभाजन ग्राफ की मई की शक्तियों। $k\ge 3$ $k$

— vb ले
स्रोत

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इस तरह की समस्याओं में से एक प्लानेर ग्राफ़ के किनारे का रंग है जहाँ पैरामीटर - एक ग्राफ की अधिकतम डिग्री है। जब या होते हैं तो इसके लिए बहुपद सटीक एल्गोरिदम ज्ञात होते हैं ( यहाँ देखें ), जबकि ऐसे एल्गोरिदम ज्ञात नहीं हैं और इन मामलों के लिए कोई NP- कठोरता प्रमाण नहीं हैं । $\Delta$ $\Delta=2$ $\Delta\geqslant 7$ $3\leqslant\Delta\leqslant 6$

संबंधित प्रश्न पर यहां चर्चा की गई है ।

— ऑलेक्ज़ेंडर बॉन्डारेंको
स्रोत

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यह निर्धारित करना कि क्या ग्राफ इसके लिए एक हावी गुट है: $G$

$diam(G)=1$ तुच्छ है - उत्तर हमेशा 'हां' है
$diam(G)=2$ एनपी-पूर्ण है
$diam(G)=3$ NP- पूर्ण है
$diam(G)\ge 4$ तुच्छ है - उत्तर हमेशा 'नहीं' है

केस डायम ब्रैंडस्टैड और क्रैट्सच के कारण है , और केस डायम मेरा हालिया पेपर में नोट किया गया है । $diam(G)=3$ $diam(G)=2$

— ऑस्टिन बुकानन
स्रोत

+1 अच्छा जवाब। गुटबंदी हावी क्या है?

— मोहम्मद अल-तुर्कस्टनी 12

1

बस ऐसा लगता है - एक वर्चस्व सेट जो एक गुट भी है ।

— ऑस्टिन बुकानन

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क्या यह उस घटना का उदाहरण है जिसे आप खोज रहे हैं?

K-Clique समस्या पर विचार करें, जहाँ k उस क्लिक्स का आकार है जिसे हम खोज रहे हैं। तो समस्या यह है कि "क्या ग्राफ के G में n कोने पर आकार k का एक समूह है?"

सभी स्थिरांक k के लिए, समस्या P में है (जानवर बल एल्गोरिथ्म समय में चलता है । के बड़े मूल्यों के लिए, उदाहरण के लिए जैसे n / 2, यह NP-complete है। जब k, n के बहुत पास हो जाता है, जैसे कुछ स्थिर c के लिए nc, तो समस्या P में फिर से होती है क्योंकि हम आकार nc के सभी सबसेट के उपसमुच्चय पर खोज कर सकते हैं और जांच सकते हैं कि उनमें से कोई भी एक प्रतिरूप तो नहीं बनाता है। (केवल ऐसे उपसमुच्चय हैं, जो कि c स्थिर है जब बहुपद होता है।) $O(n^k)$ $O(n^c)$

— रॉबिन कोठारी
स्रोत

7

यह घटना केवल इसलिए है क्योंकि हम k के रूप में min (k, nk) के रूप में देख सकते हैं, और या तो k-clique या k-indept सेट (वास्तव में एक ही समस्या) को हल कर सकते हैं। यदि हम इस कारण से 0 <k <= n / 2 के बारे में सोचते हैं, तो कश्मीर में जटिलता सख्ती से बढ़ रही है।

— हारून रोथ

4

@ ऐरन: मुझे डर है कि आपका तर्क सही नहीं है। आकार n is k का एक क्‍लिक ढूँढना आकार k का एक स्वतंत्र सेट खोजने से बहुत अलग है। आपको इस तथ्य से भ्रमित होना चाहिए कि एक ग्राफ जी में आकार k का एक गुच्छ खोजना जी के पूरक में आकार k का एक स्वतंत्र सेट खोजने के बराबर है

— Tsuyoshi Ito

Tsuyoshi: हाँ, बिल्कुल। मेरा यह कहने का इरादा है कि WLOG, आप k <= n / 2 मान सकते हैं, यदि नहीं, तो पूरक ग्राफ लें और k '= nk के लिए समस्या हल करें। और हां, इस पर प्रकाश डाला गया है कि कश्मीर में जटिलता बढ़ रही है।

— हारून रोथ

1

@ ऐरन: "यदि नहीं, तो पूरक ग्राफ लें और k '= nk के लिए समस्या को हल करें।" यह बिल्कुल गलत दावा है कि मैं आपत्ति करने की कोशिश कर रहा हूं। मैंने जो कहा, उसे दोहराने दो: "एक ग्राफ G में आकार k का एक गुच्छ खोजना G के पूरक में आकार k का एक स्वतंत्र सेट खोजने के बराबर है ।" G के आकार में k का एक गुच्छ खोजना G खोजने के बराबर नहीं है। जी। के सप्लीमेंट में साइज़ n a k का

— क्लीक

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आह येस। :-) यह मूर्खतापूर्ण था, मैं अपनी आपत्ति को वापस लेता हूं। यहाँ जो चल रहा है वह केवल द्विपद [n, k] = द्विपद [n, nk] है, और इसलिए संपूर्ण खोज का समय चल रहा है k <n / 2 के लिए मोनोटोन बढ़ रहा है, और k / n / 2 के लिए मोनोटोन कम हो रहा है।

— आरोन रोथ

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यहाँ एक उदाहरण है जो उस प्रकार का हो सकता है जिसे आप खोज रहे हैं। पैरामीटर एक पूर्णांक नहीं है, हालांकि, यह संख्याओं की एक जोड़ी है। (हालांकि उनमें से एक को एक पैरामीटर समस्या बनाने के लिए तय किया जा सकता है।)

समस्या निर्देशांक (x, y) पर एक ग्राफ G के टुटे बहुपद का मूल्यांकन करना है। हम निर्देशांक को पूर्णांक होने के लिए प्रतिबंधित कर सकते हैं। समस्या पी में है अगर (x, y) अंक (1, 1), (-1, -1), (0, -1), (-1,0) में से एक है, या संतोषजनक (x-1) ) (y-1) = 1। अन्यथा यह # पी-हार्ड है।

मुझे यह टुट्टे बहुपद पर विकिपीडिया के लेख से मिला ।

— रॉबिन कोठारी
स्रोत

12

मैट्रिक्स मोडुलो के स्थायी कंप्यूटिंग के प्रश्न के बारे में क्या ? के लिए यह है आसान (के बाद से स्थायी = निर्धारक), और बहादुर (में " स्थायी कंप्यूटिंग की जटिलता ") से पता चला है कि यह गणना की जा सकती सापेक्ष समय में के लिए गौसियन उन्मूलन के एक संशोधित संस्करण द्वारा । लेकिन जो शक्ति नहीं है , वह UP-Hard है। $k$ $k=2$ $2^d$ $O(n^{4d-3})$ $d \geq 2$ $k$ $2$

— केविन कोस्टेलो
स्रोत

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इस घटना के साथ एक और समस्या विभाजन ग्राफ़ पर MINIMUM -SPANNER की समस्या है। $t$

एक निरंतर के लिए , एक -spanner एक जुड़ा ग्राफ के एक जुड़ा स्पैनिंग subgraph है के इस तरह के कोने हर जोड़ी के लिए कि और , के बीच की दूरी और में ज्यादा से ज्यादा है के दिनों में उनकी दूरी । MINIMUM -SPANNER समस्या किसी दिए गए ग्राफ़ के किनारों की न्यूनतम संख्या के साथ एक -spanner मांगती है। $t$ $t$ $G$ $H$ $G$ $x$ $y$ $x$ $y$ $H$ $t$ $G$ $t$ $t$

एक विभाजन ग्राफ एक ग्राफ जिसका शिखर सेट एक गुट और एक स्वतंत्र सेट में विभाजित किया जा सकता है।

में इस पत्र में यह दिखाया गया था कि विभाजन रेखांकन पर न्यूनतम 2-औजार एनपी मुश्किल थोड़ी देर के लिए प्रत्येक है , न्यूनतम -SPANNER विभाजन रेखांकन पर आसान है। $t \ge 3$ $t$

— user13136
स्रोत

10

प्रसिद्ध उदाहरण है -edge रंग। $k$

यह बहुपद समय में घटनीय है यदि अन्यथा यह -complete है । $k \ne \Delta$ $NP$

घन रेखांकन के लिए, किनारे के रंग के उपयोग के अस्तित्व को तय करना:

$k=2$ रंग तुच्छ हैं क्योंकि उत्तर हमेशा नहीं होता है।
$k=3$ रंग -complete हैं $NP$
$k \ge 4$ रंग तुच्छ है क्योंकि उत्तर हमेशा हां है।

होलियर, इयान (1981), "द एनपी-कम्प्लीट ऑफ एज-कलरिंग", एसआईएएम जर्नल ऑन कम्प्यूटिंग 10: 1818-720

http://en.wikipedia.org/wiki/Edge_coloring

— मोहम्मद अल-तुर्कस्टनी
स्रोत

क्या आप कृपया, एक संदर्भ जोड़ सकते हैं?

— ओलेकेंड्रा बोंडारेंको

10

यह एक दिलचस्प (और आश्चर्य की बात) उदाहरण है एक P NP-hard P P NP-hard चरण संक्रमण के लिए: $\to$ $\to$ $\to$ $\to \cdots$

निर्णय लेना है, तो पर एक पूर्ण ग्राफ कोने है, जिसमें प्रत्येक शिखर अन्य सभी कोने की एक सख्त रैंकिंग है, यह स्वीकार करते हैं एक लोकप्रिय मिलान अजीब के लिए पी में है भी लिए और एनपी कठिन । (पैरामीटर शीर्ष संख्या ।) $n$ $n$ $n$ $n$

सबूत में घोषणा की गई है इस पत्र ।

— user13136
स्रोत

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यदि कोई रंग उस पर दो बार दिखाई देता है तो एक किनारे के रंग के ग्राफ में एक रास्ता इंद्रधनुष है। एक ग्राफ है इंद्रधनुष के रंग अगर वहाँ कोने के प्रत्येक जोड़ी के बीच एक इंद्रधनुष मार्ग है। चलो RAINBOW- -COLORABILITY निर्णय लेने से किसी दिए गए ग्राफ का उपयोग कर रंग इंद्रधनुष हो सकता है की समस्या हो रंग। $k$ $k$

किसी भी ग्राफ , समस्या लिए आसान है क्योंकि यह जाँच करता है कि क्या एक पूर्ण ग्राफ़ है। के लिए विभाजन रेखांकन , समस्या यह है के लिए -Complete , और में के अन्य सभी मूल्यों के लिए । $G$ $k=1$ $G$ $\sf NP$ $k \in \{2,3\}$ $\sf P$ $k$

देखें चंद्रन, एल सुनील, दीपक Rajendraprasad, और मारेक TESAR। "स्प्लिट ग्राफ़ के इंद्रधनुषी रंग।" arXiv प्रीप्रिंट arXiv: 1404.4478 (2014)।

— Juho
स्रोत

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एक उप समूह एक ग्राफ के एक है डिस्कनेक्ट cutset यदि और डिस्कनेक्ट कर दिया गया। $U\subseteq V(G)$ $G$ $G[U]$ $G-U$

यह तय करना कि व्यास 1 का ग्राफ काट दिया गया है क्या तुच्छ है। समस्या 2 व्यास के रेखांकन पर एनपी-कठिन हो जाती है इस पेपर को देखें और व्यास के ग्राफ पर फिर से आसान है कम से कम 3 इस पेपर को देखें ।

— user13136
स्रोत