हम लॉग-स्पेस को कुशल संगणना (पॉलीग्ल-स्पेस के बजाय) के मॉडल के रूप में क्यों मानते हैं?

Question

यह एक ठोस जवाब के साथ एक के बजाय एक व्यक्तिपरक प्रश्न हो सकता है, लेकिन वैसे भी।

जटिलता सिद्धांत में हम कुशल संगणना की धारणा का अध्ययन करते हैं। जैसे वर्ग बहुपद समय के लिए होते हैं , और L का मतलब लॉग स्पेस होता है । उन दोनों को एक प्रकार की "दक्षता" के रूप में दर्शाया जाता है, और वे कुछ समस्याओं की कठिनाइयों को अच्छी तरह से पकड़ लेते हैं।$\mathsf{P}$$\mathsf{L}$

लेकिन और L के बीच अंतर है : जबकि बहुपद समय, P को उन समस्याओं के मिलन के रूप में परिभाषित किया जाता है जो किसी भी निरंतर k के लिए O ( n k ) समय में चलती हैं , अर्थात$\mathsf{P}$$\mathsf{L}$$\mathsf{P}$$O(n^k)$$k$

,$\mathsf{P} = \bigcup_{k \geq 0} \mathsf{TIME[n^k]}$

लॉग स्पेस, , को S P A C E [ लॉग एन ] के रूप में परिभाषित किया गया है । यदि हम P की परिभाषा की नकल करते हैं , तो यह बन जाता है$\mathsf{L}$$\mathsf{SPACE[\log n]}$$\mathsf{P}$

,$\mathsf{PolyL} = \bigcup_{k \geq 0} \mathsf{SPACE[\log^k n]}$

जहाँ को बहुवचन स्थान का वर्ग कहा जाता है । मेरा सवाल यह है कि:$\mathsf{PolyL}$

हम पॉलीग्ल स्पेस के बजाय कुशल गणना की धारणा के रूप में लॉग स्पेस का उपयोग क्यों करते हैं?

एक मुख्य मुद्दा पूरी समस्या सेट के बारे में हो सकता है। लॉगस्पेस के तहत कई-एक कटौती, और एल दोनों में पूरी समस्याएं हैं। इसके विपरीत, अगर P o l y y L में इस तरह की कटौती के तहत पूरी समस्याएं हैं, तो हम अंतरिक्ष पदानुक्रम प्रमेय के विपरीत होंगे। लेकिन क्या होगा अगर हम बहुवचन में कटौती करने के लिए चले गए? क्या हम ऐसी समस्याओं से बच सकते हैं? सामान्य में, अगर हम फिट करने के लिए अपनी पूरी कोशिश पी ओ एल वाई एल दक्षता की धारणा में, और (यदि आवश्यक) को संशोधित परिभाषा के कुछ हर अच्छे गुण एक "अच्छा" वर्ग होना चाहिए प्राप्त करने के लिए, कितनी दूर हम जा सकते हैं?$\mathsf{P}$$\mathsf{L}$$\mathsf{PolyL}$$\mathsf{PolyL}$

क्या पॉलीग्ल स्पेस के बजाय लॉग स्पेस का उपयोग करने का कोई सैद्धांतिक और / या व्यावहारिक कारण है?

Comments

सीन-चिह, अच्छा सवाल।

— मोहम्मद अल-तुर्कस्टनी

$polyL \ne P$$P$$polyL$$polyL$$P$ $polyL$$polyL$, आप पापादिमित्रिउ की जटिलता पाठ्यपुस्तक की जांच कर सकते हैं , विशेष रूप से अध्याय 16 के अंत में अभ्यास और चर्चा।

— डैनियल अपॉन

$polyL$$P$

$\mathsf{P}$

$P$

Answer 1

सबसे छोटा वर्ग जिसमें रैखिक समय और सबरूटीन्स के तहत बंद पी है। लॉग स्पेस वाला सबसे छोटा वर्ग है और सबरूटीन्स के तहत बंद किया गया है। इसलिए पी और एल क्रमशः समय और स्थान के लिए सबसे छोटे मजबूत वर्ग हैं, यही कारण है कि वे मॉडलिंग को कुशल संगणना के लिए सही मानते हैं।

Comments

यह पूछे गए वास्तविक प्रश्न का सबसे अच्छा उत्तर लगता है।

— डेरिक स्टोले

इन सभी अच्छे उत्तरों के बीच, मुझे लगता है कि लांस का उत्तर सबसे सटीक है, और मैं इसे स्वीकार करूंगा। लेकिन अभी भी हर विचारशील जवाब के लिए बहुत धन्यवाद!

— 14

इसके अलावा, यह एक खुली समस्या है कि क्या पी = एल।

— डिएगो डे एस्ट्राडा

Answer 2

$\text{SPACE}[\log^2 n] \subseteq \text{P}$$\log^{k-1}(n)$$\text{NSPACE}$$[\log^k n]$$\text{-complete}$

$\text{PLOSS} = \bigcup_k \text{TISP}[n^k, k \, \log^2 n]$$\text{DCFL} \subseteq \text{PLOSS}$$\text{SC}^2$$\text{SC}^k$

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$\mathsf{QuasiP} = \bigcup_{k \geq 0} \mathsf{TIME}[2^{\log^k n}]$$\mathsf{P}$

क्या यह एक ज्ञात खुली समस्या है? क्या आप एक संदर्भ प्रदान कर सकते हैं?

— मोहम्मद अल-तुर्कस्टनी

$\text{SC}^2$

ध्यान दें कि एससी का नाम निक पिप्पेन्जर ने स्टीव कुक के साथ कथित रूप से पारस्परिक व्यवस्था में एनसी को उनके नाम पर रखने के लिए रखा था :)

— सुरेश वेंकट

$\mathsf{P}$$\mathsf{P}$$\mathsf{QuasiP}$$\mathsf{polyL}$$\mathsf{L}$$\mathsf{P}$$\mathsf{SPACE}[\log^k n] \subseteq \mathsf{P}$$k$$\mathsf{L^k}$

— Hsien-Chih चांग h ien

Answer 3

$2^{O(\log n)} = \operatorname{poly}(n)$

$\text{NSPACE}[\log^k n] \subseteq \text{SPACE}[\log^{2k}n]$

$\text{SC}^k = \text{TISP}[\operatorname{poly}(n), \log^k n]$

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$\mathsf{polyL}$$\mathsf{NL}$$\mathsf{polyL}$

$\{1\}$

आप सही हैं, बेवकूफ सवाल के लिए खेद है :(

— शिन-चीह चांग

Answer 4

मुझे लगता है कि अन्य सभी उत्तर बहुत अच्छे हैं; मैं इस मुद्दे पर एक अलग दृष्टिकोण देने की कोशिश करूँगा।

मुझे नहीं पता कि वास्तविक दुनिया में पी मॉडल "कुशल" गणना कितनी अच्छी है, लेकिन हम इसके अच्छे क्लोजर गुणों और अन्य गणितीय कारणों के कारण वर्ग को पसंद करते हैं। इसी प्रकार, एल भी कुछ पूर्वोक्त कारणों से एक अच्छा वर्ग है।

हालाँकि, जैसा कि आपने टिप्पणी की, यदि हम अर्ध-बहुपद समय के लिए "कुशल" की हमारी परिभाषा को शिथिल करते हैं, तो पॉलीएल भी कुशल है। हम जटिलता सिद्धांत पर चर्चा कर सकते हैं जहां हम वर्गों को बहुवचन संसाधनों का उपयोग करने के लिए कुछ संसाधन पर बाध्य लॉगरिदमिक के साथ परिभाषित करते हैं। इसके विपरीत, हम एनसी, एनएल इत्यादि की हमारी परिभाषाओं को भी शांत करेंगे, इसके बजाय अर्ध-बहुपद आकार सर्किट की अनुमति देंगे। यदि हम ऐसा करते हैं, तो NC ₁ , L, NL और NC सभी वर्ग PolyL के साथ मेल खाते हैं। इस अर्थ में PolyL एक मजबूत वर्ग है क्योंकि कई प्राकृतिक कक्षाएं इसके साथ मेल खाती हैं। लॉग -> बहुवचन और बहुपद -> अर्ध-बहुपद के साथ जटिलता सिद्धांत पर अधिक जानकारी के लिए, बैरिंगटन द्वारा क्वासिपोलिनोमियल आकार सर्किट वर्ग देखें ।

पॉलीएल या इसी तरह की कक्षाओं को क्वासी-एसी ₀ का अध्ययन करने का एक अन्य कारण यह है कि जबकि (कहे) ParityP और PH के बीच एक अलंकृत पृथक्करण का अर्थ है कि PARITY AC ₀ में समाहित नहीं है , रिवर्स निहितार्थ को सही नहीं जाना जाता है। दूसरी ओर, पक्षपात अर्ध-एसी ₀ में समाहित नहीं है, यदि और केवल तभी जब पैरिटीपी और पीएच के बीच एक अलंकार पृथक्करण हो। इसी तरह, वर्ग अर्ध-टीसी ₀ और अर्ध-एसी ₀ भिन्न हैं यदि और केवल अगर सीएच और पीएच के बीच एक अलंकार पृथक्करण है। तो सामान्य जटिलता वर्ग जैसे PH, ModPH, CH, आदि जब एक घातीय द्वारा सिद्ध किया जाता है, तो यह साबित करने के लिए कि ओरेकल परिणाम सामान्य कक्षाओं AC ₀ , ACC ₀ और TC के अर्ध-बहुपद संस्करणों में बदल जाते हैं।₀ क्रमशः। इसी तरह, (पीएच पी में निहित है टोडा की प्रमेय में इस्तेमाल तर्क ^पीपी ) है कि अर्ध एसी को दिखाने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता ₀ गहराई -3 अर्ध टीसी में निहित है ₀ । (मुझे नहीं पता कि क्या समान निष्कर्ष इन वर्गों के सामान्य संस्करणों के लिए जाना जाता है। मैंने इसे कुछ पत्रों में एक खुली समस्या के रूप में सूचीबद्ध देखा है।)

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आपका जवाब वास्तव में मदद करता है, आपकी राय साझा करने के लिए धन्यवाद। मुझे आश्चर्य है कि कुछ-कुछ एओटी का अध्ययन किया गया है !!

— Hsien-Chih चांग 張顯