सुपरलारिथैमिक सर्किट जटिलता कम सीमा के साथ 1 चर में स्पष्ट बहुपद?

तर्कों की गणना करके, कोई यह दिखा सकता है कि 1 चर में डिग्री n के बहुपद मौजूद हैं (यानी, का कुछ सर्किट जटिलता एन। इसके अलावा, एक दिखा सकता है कि की तरह एक बहुपद को कम से कम गुणन की आवश्यकता होती है (आपको बस एक उच्च डिग्री प्राप्त करने की आवश्यकता है)। क्या 1 चर में बहुपद के कोई स्पष्ट उदाहरण हैं, जो जटिलता पर एक सुपरलॉगिथिमिक लोअर बाउंड है? (किसी भी क्षेत्र में परिणाम दिलचस्प होंगे) $a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0)$ $x^n$ $\log_2 n$

— मैट जल्दबाजी
स्रोत

क्या आप एक परिमित क्षेत्र पर सर्किट जटिलता साथ मन में उदाहरण हैं ? मैं यह नहीं देखता कि कैसे एक गिनती तर्क एक अनंत क्षेत्र पर काम करेगा, और तर्कसंगत से अधिक मुझे यकीन है कि पैटरसन-स्टॉकमेयर के बाउंड तंग है (नीचे मेरा जवाब भी देखें)।

n

$n$

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

— जोशुआ ग्रूको

आपके द्वारा उल्लिखित sqrt (n) केवल एक गुणा (किसी क्षेत्र पर) की संख्या पर एक ऊपरी सीमा है, लेकिन यदि हम संचालन के रूप में परिवर्धन और गुणन दोनों को गिनते हैं, तो हमें लगभग हर बहुपद के लिए अनंत क्षेत्र में n संचालन की आवश्यकता है, बस क्योंकि बहुपद में n विशिष्ट गुणांक होते हैं और n संचालन से कम के साथ सभी संभव बहुपद का मूल्यांकन करने का कोई तरीका नहीं है (मुझे यकीन नहीं है कि इसे एक गिनती तर्क कहा जाना चाहिए या नहीं)।

— मैट हैस्टिंग 22

मुझे लगता है कि आपको बयान में थोड़ा और सटीक होना होगा "एनडीएस से कम के साथ सभी संभव बहुपद का मूल्यांकन करने का कोई तरीका नहीं है।" इसकी व्याख्या करने का एक तरीका यह है: यदि हम बहुपद बारे में सोचते हैं कि बहुपद के रूप में न केवल में , बल्कि के चर के रूप में भी व्यवहार करता (या, इसके , मान लें कि बीजगणितीय रूप से स्वतंत्र हैं), तो परिणाम है कि यह n परिवर्धन की आवश्यकता है पैन (1966) है और सिर्फ एक गिनती तर्क नहीं है (हालांकि यह बहुत मुश्किल नहीं है)। अन्यथा, मुझे पूरा यकीन नहीं है कि आप उस कथन का क्या परिणाम दे रहे हैं।

\sum a_{i} x^{i}

$\sum a_i x^i$

x

$x$

a_{i}

$a_i$

a_{i}

$a_i$

— जोशुआ ग्रूचो

मेरा मतलब है: सर्किट में जोड़ और गुणा द्वार हैं। किसी दिए गए गेट के लिए इनपुट पिछले गेट, या x, या कुछ स्थिरांक के आउटपुट हो सकते हैं। प्रश्न यह है: किसी दिए गए बहुपद के लिए, क्या हम उस परिपथ में स्थिरांक का एक परिपथ और विकल्प चुन सकते हैं? लेकिन, हमारे पास बहुपद की एक (n + 1) -डिमेंशनल स्पेस है, लेकिन अगर हम n गेट्स ("संरचना" से कम) वाले सर्किट की संरचना को ठीक करते हैं, तो मेरा मतलब है कि कौन से गेट अन्य गेट्स के आउटपुट का उपयोग करते हैं) और सभी पर विचार करें। स्थिरांक के संभावित विकल्प यह बहुपद के एक आयामी स्थान से कम देता है जिसे गणना की जा सकती है।

— मैट हैस्टिंग्स

Btw --- मुझे लगता है कि गुणांक पर आगे प्रतिबंध के बिना आर या सी पर स्पष्ट उदाहरण का निर्माण ज्यादातर हल हो जाता है। दूसरी ओर, स्पष्ट उदाहरणों का निर्माण करना जहां सभी गुणांक aii पूर्णांक हैं और बहुत तेज़ी से नहीं बढ़ रहे हैं, यह अभी भी खुला है? आपके द्वारा उल्लेखित सर्वेक्षण में सभी पूर्णांक स्थिरांक के साथ एक उदाहरण है, लेकिन वे दोगुनी तेजी से बढ़ते हैं।

— मैट hastings 15

पैटरसन और Stockmeyer शो है कि ज्यादातर के लिए परिमेय संख्याओं के -tuples , मूल्यांकन की आवश्यकता है $n$ $(a_1, \dotsc, a_n)$ $\prod_{i=1}^{n} (x - a_i)$ अंकगणितीय संचालन, और यह तंग है। $\Omega(\sqrt{n})$

निम्नलिखित बहुपद के एक लघुगणकीय कारक के भीतर प्राप्त बाध्य, Strassen, Schnorr, और Heintz और Sieveking के परिणामों से: , , (rational के लिए जो एक पूर्णांक नहीं है), आदि सटीक संदर्भों के लिए और इस पर अधिक जानकारी के लिए,von zur Gathen के सर्वेक्षण केpp। 324-325 देखें। $\sqrt{n}$ $\sum_{i=1}^{n} 2^{2^{i}} x^{i}$ $\sum_{i=1}^{n} e^{2 \pi i / 2^{i}} x^{i}$ $\sum_{i=1}^{n} i^{r} x^{i}$ $r$

— जोशुआ ग्रोचो
स्रोत

धन्यवाद। तो, ऐसा लगता है कि खुली समस्या यह है कि यदि आप परिचालनों को भी परिचालनों के रूप में गिनते हैं, तो एक बहुपद का निर्माण कर सकते हैं, जिसे sqrt (n) संक्रियाओं की आवश्यकता है, एक निर्माण के लक्ष्य के साथ जिसे n संक्रियाओं की आवश्यकता है। इसके प्रति कोई परिणाम? (मुझे इसमें संदेह है, क्योंकि जिस पद्धति में केवल sqrt (n) गुणन की आवश्यकता है, परिवर्धन कुछ मैट्रिक्स गुणन देता है और यह संभवतः मैट्रिक्स-स्केलर गुणन की जटिलता पर कम सीमा को कम कर देता है)

— मैट जल्दबाजी