आंतरिक आयतों को नुकसान पहुँचाए बिना एक आयत का विभाजन

Question

$C$ एक अक्ष-समानांतर आयत है।

$C_1,\dots,C_n$ जोड़ीदार-आंतरिक-असंतुष्ट अक्ष-समानांतर आयताकार हैं जैसे कि , जैसे:$C_1\cup\dots\cup C_n \subsetneq C$

एक आयत के संरक्षण विभाजन की $C$ एक विभाजन है $C = E_1\cup\dots\cup E_N$ , ऐसी है कि $N\geq n$ , $E_i$ जोड़ो में-आंतरिक-संबंध तोड़ना अक्ष समानांतर आयताकार होते हैं, और हर के लिए $i=1,\dots,n$ : $C_i \subseteq E_i$ , अर्थात, प्रत्येक मौजूदा आयत एक नई नई आयत में समाहित है, जैसे:

एक छोटे एन के साथ एक आयत-संरक्षण विभाजन को खोजने के लिए एक एल्गोरिथ्म क्या है $N$?

विशेष रूप से, क्या $N=O(n)$ भागों के साथ एक आयत-संरक्षण विभाजन खोजने के लिए एक एल्गोरिथ्म है ?

Answer 1

नई उत्तर: निम्नलिखित सरल एल्गोरिथ्म asymptotically इष्टतम है:

आयत से प्रत्येक को मनमाने ढंग से अधिकतम सीमा तक , ताकि आयतें जोड़ीदार- रहें।$C_i$

छेदों की संख्या सबसे अधिक । यह asymptotically इष्टतम है, क्योंकि ऐसे कॉन्फ़िगरेशन हैं जिनमें छेद की संख्या कम से कम ।$k-2$$k-O(\sqrt k)$

प्रमाण इस पत्र में हैं ।

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पुराने उत्तर:

निम्नलिखित एल्गोरिथ्म, जबकि इष्टतम नहीं है, भागों के साथ एक आयत-संरक्षण विभाजन को खोजने के लिए स्पष्ट रूप से पर्याप्त है ।$N=O(n)$

एल्गोरिथ्म एक आयताकार बहुभुज साथ काम करता है , जिसे आयत से आरम्भ किया ।$P$$C$

चरण 1: एक आयत उठाओ जिनमें से एक पश्चिमी सीमा के निकट है (यानी, कोई अन्य आयत है के पश्चिमी ओर के बीच और की पश्चिमी सीमा )। भीतर रखें और इसे तब तक जब तक कि यह की पश्चिमी सीमा को न छू ले । चलो (के लिए ) के विस्तारित संस्करण हो । चलो । चरण 1 बार सभी तक दोहराएं$C_i$$P$$C_j$$C_i$$P$$C_i$$P$$P$$E_i$$i=1,\dots,n$$C_i$$P=P\setminus E_i$$n$$n$मूल आयतें रखी और फैली हुई हैं। नीचे की छवि में, आयतों को रखने का एक संभावित क्रम :$C_1,C_2,C_4,C_3$

अब, एक आयताकार बहुभुज (संभवतः डिस्कनेक्ट किया गया) है, जैसे:$P$

मेरा दावा है कि में अवतल कोने की संख्या सबसे अधिक । ऐसा इसलिए है क्योंकि जब भी से एक स्ट्रेक्ड आयत को हटाया जाता है , तो 3 संभावनाएँ होती हैं:$P$$2n$$P$

• 2 नए अवतल कोने जोड़े जाते हैं (जैसे रखने पर );$C_1,C_4$
• 3 नए अवतल कोने जोड़े जाते हैं और 1 हटा दिया जाता है (जैसे साथ );$C_3$
• 4 नए अवतल कोने जोड़े जाते हैं और 2 हटा दिए जाते हैं (जैसे साथ )।$C_2$

चरण 2: एक मौजूदा एल्गोरिथ्म का उपयोग करके अक्ष-समानांतर आयतों में विभाजन ( एक समीक्षा के लिए केइल 2000, पृष्ठ 10-13 और एप्पस्टीन 2009, पेज 3-5 देखें )।$P$

केइल एक प्रमेय का हवाला देते हैं जो कहता है कि एक न्यूनतम विभाजन में आयतों की संख्या 1 + समतल शीर्षों की संख्या से बंधी होती है। इसलिए, हमारे मामले में संख्या पर सबसे अधिक है , और विभाजन में आयतों की कुल संख्या ।$2n+1$$N\leq 3n+1$

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यह एल्गोरिथम इष्टतम नहीं है। उदाहरण के लिए, उपरोक्त उदाहरण में यह देता है जबकि इष्टतम समाधान में । तो दो प्रश्न शेष हैं:$N=13$$N=5$

A. क्या यह एल्गोरिथ्म सही है?

बी क्या इष्टतम खोजने के लिए एक बहुपद-समय एल्गोरिथ्म है , या कम से कम एक बेहतर सन्निकटन है?$N$

Comments

खैर, चरण 1 में, आप विभाजन कोशिकाओं को जोड़ते हैं, जिनमें से प्रत्येक में एक प्रारंभिक आयत होती है और दूसरे पर ओवरलैप नहीं होती है। चरण 2 में, आप शेष स्थान को विभाजित करते हैं, इसलिए चरण 2 में बनाई गई कोशिकाएं किसी भी प्रारंभिक आयत को नहीं काटती हैं। शुद्धता का प्रमाण सीधा लगता है, या मुझे कुछ याद नहीं है?

— बोसोन

@Boson बिंदु मुझे यकीन नहीं है कि अवतल कोने की संख्या अधिकतम । यह "स्पष्ट" लगता है कि केवल 3 संभावनाएं हैं जैसा कि मैंने लिखा था, लेकिन मैं कुछ अन्य संभावना को याद कर सकता हूं। $2n$

— ईगल सहगल-हलेवी