क्या कम्प्यूटेबिलिटी सिद्धांत में एक परिणाम है जो सापेक्षता नहीं करता है?

मैं सिन्थेटिक कम्प्यूटेबिलिटी थ्योरी में लेडी बाउर के पेपर फर्स्ट स्टेप्स को पढ़ रहा था । निष्कर्ष में वह नोट करता है

हमारे स्वयंसिद्धीकरण की अपनी सीमा है: यह कम्प्यूटेबिलिटी सिद्धांत में किसी भी परिणाम को साबित नहीं कर सकता है जो ऑर्कल कंपाइलेशन से संबंधित होने में विफल रहता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि सिद्धांत की व्याख्या आंशिक रूप से पुनरावर्ती कार्यों से निर्मित प्रभावी टोपोस के एक प्रकार में की जा सकती है, जिसमें एक तांडव तक पहुंच होती है।

इससे मुझे कम्प्यूटेबिलिटी में गैर-रिलेटिविंग परिणामों के बारे में आश्चर्य हुआ। संगणना सिद्धांत से मुझे पता है कि सभी परिणाम oracles के साथ संगणना से संबंधित हैं।

क्या कम्प्यूटेबिलिटी सिद्धांत में परिणाम हैं जो सापेक्षता नहीं करते हैं? Ie परिणाम जो कम्प्यूटेबिलिटी के लिए धारण करते हैं लेकिन कुछ ओरेकल के सापेक्ष कम्प्यूटेबिलिटी के लिए नहीं पकड़ते हैं?

परिणाम से मेरा मतलब है कि कम्प्यूटेबिलिटी सिद्धांत में एक ज्ञात प्रमेय है, न कि कुछ पका हुआ कथन। यदि रिलेटिवेशन की धारणा परिणाम के लिए मायने नहीं रखती है, तो यह वह नहीं है जो मैं खोज रहा हूं।

यह जानना भी दिलचस्प है कि क्या परिणाम को सिंथेटिक कम्प्यूटेबिलिटी थ्योरी की भाषा में कहा जा सकता है या नहीं।

computability relativization

— गुमनाम
स्रोत

हर कोई IP = PSPACE जैसे जटिलता सिद्धांत में गैर-सापेक्ष परिणामों के बारे में जानता है। मैं गैर relativizing के बारे में पूछ रहा हूँ कम्प्यूटेबिलिटी सिद्धांत resuts, नहीं जटिलता सिद्धांत का परिणाम है।

— बेनामी

@ इरफान: आपकी टिप्पणी सवाल के लिए प्रासंगिक नहीं है। मेरा प्रश्न कम्प्यूटेबिलिटी सिद्धांत के बारे में है, आप जटिलता सिद्धांत के बारे में बात कर रहे हैं। मैं गैर-पुनर्मूल्यांकन परिणामों की तलाश कर रहा हूं, जो समय के प्रमेय सिद्धांत से संबंधित है। यदि आपके पास समय के पदानुक्रम प्रमेय और सापेक्षता के बारे में कोई प्रश्न है तो आप एक अलग प्रश्न पोस्ट कर सकते हैं।

— बेनामी

प्रासंगिक सामान: एच। रोजर्स द्वारा तैयार की गई समरूपता का अनुमान रिचर्ड ए शोर में प्रतिपादित किया गया है; समरूपता अनुमान (1979): इसमें एक ट्यूरिंग डिग्री जैसे कि isomorphic to (आंशिक के साथ ट्यूरिंग डिग्री की संरचना नहीं है आदेश )। एक देखें समान lo.logic पर सवाल

a

$\mathbf{a}$

D (\geq a)

$\mathcal{D}(\geq \mathbf{a})$

D

$\mathcal{D}$

\leq_{T}

$\leq_{T}$

— Marzio डी BIASI

अच्छा प्रश्न :-)

— बाउर

@ मर्जियो: दिलचस्प। " तो इसका मतलब यह है कि भाषा में एक पहला आदेश वाक्य है जिसमें केवल जो Turing डिग्री के बारे में सही है, लेकिन जो झूठी है अगर आप कुछ (निश्चित रूप से) के लिए Turing डिग्री को वाक्य से संबंधित हैं। , ट्यूरिंग डिग्री में काम करना सभी ट्यूरिंग मशीनों को रूप में एक्सेस देने के बराबर है ) इसलिए, इस बात का प्रमाण कि सच है से संबंधित नहीं किया जा सकता है । $\varphi$ $\leq_T$ $\geq_Tx$ $x$ $\geq_Tx$ $x$ $\varphi$ $x$ "लेकिन वास्तव में परिणाम नहीं है। संगणना सिद्धांत, यह एक मेटा प्रमेय के लिए पकाया जाता है।

φ

$\varphi$

— बेनामी

जवाबों:

हिगमैन एंबेडिंग प्रमेय: बारीक रूप से प्रस्तुत किए गए समूहों द्वारा बनाए गए बारीक रूप से उत्पन्न समूह, ठीक प्रस्तुत किए गए समूहों के सूक्ष्म रूप से उत्पन्न उपसमूह हैं। इसके अलावा, प्रत्येक कम्प्यूटेशनल रूप से प्रस्तुत समूह (यहां तक कि गणना की जाती है) एक बारीक प्रस्तुत समूह का एक उपसमूह है।

ध्यान दें कि यह कथन इस बात से संबंधित हो सकता है: " पूरी तरह से प्रस्तुत समूह (कुछ ओरेकल ) ठीक-ठाक रूप से प्रस्तुत समूहों के सूक्ष्म रूप से उत्पन्न उपसमूह हैं," लेकिन यह नहीं है, क्योंकि कोई यह साबित नहीं कर सकता है कि कुछ अप्राप्य हैं -संयुक्त रूप से प्रस्तुत समूह जो कम्प्यूटेशनल रूप से प्रस्तुत नहीं किए गए हैं। $O$ $O$ $O$ $O$

वास्तव में, मुझे लगता है कि कम्प्यूटेबिलिटी सिद्धांत के किसी भी गैर-रिलेटिविंग परिणाम में इस स्वाद का कुछ होना चाहिए, क्योंकि परिणाम का कुछ हिस्सा या इसके प्रमाण को किसी तरह ओरेकल साथ संगणना से सच्ची कम्प्यूटेबिलिटी "नेल डाउन" होना चाहिए । इस मामले में, यह परिमितता है जो नाखूनों को "वास्तविक कम्प्यूटेबिलिटी" कहती है। ध्यान दें कि, जैसा कि स्कॉट आरोनसन ने पूछा था, यह परिणाम अभिकलन (ट्यूरिंग मशीन, रैम, आदि) के किसी भी सामान्य मॉडल के लिए अपरिवर्तनीय है, लेकिन फिर से relativize नहीं करता (फिर से, क्योंकि "वास्तविक गणना" के सामान्य मॉडल के सभी कुछ साझा करते हैं) आम "परिमित संपत्ति")। $O$

दूसरी ओर, कोई यह तर्क दे सकता है कि यह इस प्रश्न के लिए "गणना" नहीं करता है, क्योंकि यह समूहों का उपयोग करने वाले संगणना की परिभाषा की तुलना में अधिक है क्योंकि यह "अभिकलन सिद्धांत का परिणाम है।" दूसरी ओर, यह कम्प्यूटेबिलिटी की एक परिभाषा है जो मॉडल के लिए मजबूत है जो अभी तक सापेक्ष नहीं है । (इसके विपरीत, कहते हैं, क्लेन के कम्प्यूटेशनल कार्यों का लक्षण वर्णन जो आसानी से संबंधित हो जाता है, कार्यों के जेनरेटिंग सेट में आपके ओरेकल की विशेषता फ़ंक्शन को जोड़ता है। हिगमैन एंबेडिंग के संदर्भ में समूहों के लिए कोई अनुरूप संचालन नहीं लगता है।)

— जोशुआ ग्रोचो
स्रोत

क्या यह परिमितता (बनाम अनन्तता) है जो आपके उदाहरण, या गणनीयता (बनाम बेशुमारता) को अलग करती है?

— आंद्रेस सलामन

मेरे अज्ञानता का बहाना है, लेकिन हिगमैन की प्रमेय वर्दी है? यानी, एक कम्प्यूटेशनल रूप से प्रस्तुत समूह को देखते हुए, क्या हम समान रूप से एक वित्तपोषित समूह की गणना कर सकते हैं जिसमें यह शामिल है?

— बाउर २ '’१

उफ़, कृपया "सूक्ष्म रूप से उत्पन्न" को मेरे प्रश्न में "सूक्ष्मता से प्रस्तुत" द्वारा प्रतिस्थापित करें। यह एक तुच्छ त्रुटि थी। मैं इस बारे में सोच रहा हूं कि क्या हम "सामान्य रूप से प्रस्तुत" को कुछ और सामान्य रूप से बदल सकते हैं।

— बाउर २ Andrej ’

S A T^{O}

$SAT^O$

N P^{O}

$NP^O$

@AndrewMorgan: सहमत। मुझे लगता है कि गाँठ जीनस एक अच्छा उम्मीदवार होगा :)।

— जोशुआ ग्रोको

यह कुछ ऐसा है जिसके बारे में मैंने अक्सर सोचा है!

अगर "कम्प्यूटेबिलिटी थ्योरी में परिणाम," से आपका मतलब है कि मशीन मॉडल (ट्यूरिंग मशीन, रैम मशीन, आदि) की पसंद के संबंध में परिणाम हैं, तो मुझे ऐसे परिणाम का एक भी उदाहरण नहीं पता है, और मैं निश्चित रूप से याद होगा अगर मैंने एक देखा था।

निकटतम मैं एक उत्तर का सुझाव दे सकता हूं: मुझे लगता है कि कम्प्यूटेबिलिटी सिद्धांत में कई दिलचस्प सवाल हैं जो मशीन मॉडल पर निर्भर हो सकते हैं। उदाहरण के लिए: व्यस्त बीवर फ़ंक्शन, ट्यूरिंग मशीनों के संदर्भ में अपनी सामान्य परिभाषा के साथ, आमतौर पर विषम है? क्या बीबी (20) का मूल्य ZFC से स्वतंत्र है? इन सवालों के जवाब जो भी हैं, वे निश्चित रूप से बी बी फ़ंक्शन के संबंधित एनालॉग्स के लिए अलग हो सकते हैं।

— स्कॉट आरोनसन
स्रोत

यहां अधिक या कम तुच्छ उदाहरण दिया गया है: ट्यूरिंग मशीनों के लिए रुकने की समस्या पर विचार करें जो विशेष रूप से निषिद्ध हैं (गणना मॉडल की परिभाषा के अनुसार) एक ओरेकल तक पहुंचने से। यह बिना किसी तांडव और तुच्छ तांडव के दोनों के लिए अनिर्वचनीय है, और फिर भी यह समस्या को रोकने के लिए एक दैवज्ञ के सापेक्ष है। (समस्या खुद एक नक्षत्र के सापेक्ष नहीं बदलती है क्योंकि यह दैवज्ञ तक पहुँच नहीं सकता है, लेकिन (अप्रतिबंधित) TM जो समस्या का निर्णय लेता है वह अधिक शक्तिशाली हो जाता है जो दी गई दी जाती है।)

बहुत सारे अन्य उदाहरण भी हैं। बस गणना मॉडल के साथ थोड़ा खेलें और आप अन्य समान परिणाम पा सकते हैं।

— फिलिप व्हाइट
स्रोत

बस जिज्ञासु: इस जवाब में क्या गलत है? शायद डाउनवोटर्स यह नहीं मानते हैं कि ट्यूरिंग मशीन को एक ऑरेकल तक पहुंचने से रोकना संभव है और इसके बारे में आगे स्पष्टीकरण की आवश्यकता है?

— फिलिप व्हाइट

यह मशीन को एक ओरेकल की अनुमति देने के लिए सापेक्षताकरण की बहुत उचित परिभाषा की तरह प्रतीत नहीं होता है, लेकिन फिर इसे ओरेकल का उपयोग करने की अनुमति नहीं देता है।

— डेविड एप्पस्टीन

दिलचस्प है कि मैं क्या देख रहा हूँ नहीं। मैं कम्प्यूटेबिलिटी थ्योरी में एक ज्ञात परिणाम की तलाश में हूं जो इस तरह के परिणाम को पकाने के लिए एक तर्क नहीं, एक तर्क नहीं करता है।

— बेनामी

निम्नलिखित कथन पर विचार करें: H (ऑर्कल्स के बिना ट्यूरिंग मशीनों के लिए समस्या हल करना) संगणना योग्य नहीं है। दूसरी ओर एच एक रुकने की समस्या के सापेक्ष संकलित है। यहां तक कि अगर हम इस कथन को रिलेट करने के तरीके के रूप में मानते हैं, तो यह एक दिलचस्प नहीं है। संभवत: किसी भी बयान को खारिज करने का एक समान तरीका है जो इसे गलत बनाता है। एक relativization कहीं एक ओरेकल संलग्न नहीं है। एक मज़बूत तर्क दिलचस्प होता है जब वह कुछ दिलचस्प तर्कों को बनाए रखता है, इसलिए यदि कोई कथन संबंध नहीं बनाता है तो हम जानते हैं कि तर्कों का वर्ग कथन को प्रमाणित नहीं कर सकता है।

— केवह २

बीजीएस में relativization विधि जैसे उदाहरण लें। यह दिलचस्प है क्योंकि यह सरल विकर्ण तर्क को संरक्षित करता है ताकि वे पी बनाम एनपी का निपटान न कर सकें। यदि एक relativization इस तरह के तर्कों को संरक्षित नहीं करता है, तो यह संभवतः बयानों को रिलेटिव करने का एक दिलचस्प तरीका नहीं है। एक अच्छा सापेक्षिककरण जितना संभव हो उतना ज्ञात तर्कों और सिद्ध परिणामों के लिए दृढ़ रहना चाहिए, यह जितना कम दिलचस्प हो उतना कम संरक्षित करता है।

— केवह