बहुपद कर्नेल के लिए

K-FLIP SAT पैराट्राइज्ड समस्या को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:

इनपुट: एक 3-CNF फॉर्मूला $\varphi$ साथ में $n$ चर और एक सच काम $\sigma : [n] \to \{0,1\}$
पैरामीटर: $k$
प्रश्न: क्या हम असाइनमेंट को बदल सकते हैं $\sigma$ एक तृप्ति कार्य में $\sigma'$ के लिये $\varphi$ अधिक से अधिक सच मूल्य flipping $k$ चर?

FPT ( Stefan Szeider: The Parameterized Complexity of k-Flip Local Search for MAX और MAX SAT) में समस्या ~~स्पष्ट रूप से~~ है । असतत अनुकूलन 8 (1): 139-145 (2011 )

क्या यह एक बहुपद कर्नेल मानता है? (उचित जटिलता मान्यताओं के तहत)

हाल की क्रॉस-कंपोजिशन तकनीक ( हंस एल। बोडलेंडर, बार्ट एमपी जेन्सन, स्टीफन क्रैट्स, "कर्नेलाइजेशन लोअर बाउंड्स बाइ क्रॉस-कंपोज़िशन" ) इस समस्या के लिए अप्रयुक्त लगते हैं। और वे समान समस्याओं के लिए भी अप्रयुक्त लगते हैं जो पूछते हैं कि क्या एनपी-हार्ड समस्या का दिया गया समाधान स्थानीय खोज द्वारा दिए गए उदाहरण से दिया जा सकता है (दिए गए उदाहरण के पड़ोसियों को खोज को सीमित करके, कुछ प्राकृतिक दूरी के उपाय के तहत)।

parameterized-complexity fixed-parameter-tractable

— मारजियो दे बियासी
स्रोत

कूल, लेकिन यह समस्या स्पष्ट रूप से एफपीटी क्यों है? यदि आप इसे 2-CNF के साथ बनाते हैं, तो कश्मीर चर बिल्कुल नहीं बदलता है, तो मेरा मानना है कि समस्या के-क्लेक के समतुल्य है। मैं एक पेपर पर काम कर रहा हूं जिसमें सटीक-के-फ्लिप समस्याओं पर कुछ परिणाम शामिल हैं।

— माइकल वीहर

मुझे लगता है कि यह FPT में कहने का मतलब यह है कि इसमें हल है

f (k) \cdot n^{O (1)}

$f(k) \cdot n^{O(1)}$ समय।

— माइकल वीहर

मुझे लगता है कि यह XP में कह रहा है इसका मतलब है कि यह में हल है

n^{f (k)}

$n^{f(k)}$ समय।

— माइकल वीहर

मुझे सटीक-के-फ्लिप समस्या और अति-के-फ्लिप समस्या के बीच संबंध नहीं पता है। मैंने शुरू में सोचा था कि आप कह रहे थे कि atmost-k-flip समस्या इस अर्थ में आसान है कि atmost-k-flip FPT है। मैं आसान कहता हूं क्योंकि सटीक-k- फ्लिप FPT नहीं हो सकता है जब तक कि ETH झूठा न हो। इसका कारण यह है कि यह k-clique के बराबर है और यह ज्ञात है कि

f (k) \cdot n^{O (1)}

$f(k) \cdot n^{O(1)}$ k-clique के लिए समय एल्गोरिदम ETH झूठा है।

— माइकल वीहर

@ मिचेल वेबर: ऑप्स, यू आर राइट (मैं गलत फालतू कमेंट डिलीट करता हूं), सवाल को पॉलिश करने की जरूरत है (मैंने इस समस्या को "at-most k FLIPS" के रूप में परिभाषित किया है)। ASAP मैं पेपर (ओं) पर नज़र डालूंगा, उनमें से एक स्टीफ़न स्ज़ीडर होना चाहिए, "k- फ्लिप लोकल सर्च ऑफ़ सैट और मैक्स सैट" का पैरामीटाइज्ड कॉम्प्लेक्सिटी होना चाहिए) जिसमें यह कहा गया है कि k-FLIP SAT है बंधे-आकार वाले खंडों के लिए एफपीटी।

— Marzio De Biasi

समस्या बहुपद कर्नेल नहीं है जब तक कि एनपी coNP / पाली में न हो। हमारे पेपर से क्रॉस-कंपोजीशन तकनीक एक नॉनवेज तरीके से लागू होती है।

मुझे दिखाते हैं कि क्लासिक वर्टेक्स कवर समस्या या k-FLIP-SAT समस्या में कैसे पार करती है; उद्धृत पेपर में परिणामों से, यह पर्याप्त है। लगातार, हम एक बहुपद-कालिक एल्गोरिथ्म का निर्माण करते हैं जिसका इनपुट वर्टेक्स कवर उदाहरणों का एक क्रम है $(G_1,k), (G_2, k), \ldots, (G_t, k)$ कि सभी समान मूल्य साझा करते हैं $k$ और सब ठीक है $n$ कोने। आउटपुट इसका एक उदाहरण है $k$ -एफएलआईपी सैट के एक पैरामीटर मान के साथ $O(k + \log t)$ , जो क्रॉस-कंपोज़िशन के लिए पर्याप्त रूप से छोटा है, जैसे कि $k$ -एफएलआईपी सैट का उदाहरण है हां यदि इनपुट ग्राफ में से किसी एक का आकार का एक शीर्ष कवर है $k$ । एक इनपुट (जो OR के मान को परिवर्तित नहीं करता है) को डुप्लिकेट करके हम यह सुनिश्चित कर सकते हैं कि इनपुट की संख्या $t$ दो की शक्ति है।

रचना इस प्रकार आगे बढ़ती है। प्रत्येक इनपुट ग्राफ ग्राफ में कोने की संख्या $G_i$ जैसा $v_{i,1}, v_{i,2}, \ldots, v_{i,n}$ । प्रत्येक इनपुट ग्राफ के प्रत्येक शीर्ष के लिए FLIP-SAT उदाहरण में एक संगत चर बनाएं। इसके अतिरिक्त, एक चयनकर्ता चर बनाएं $u_i$ प्रत्येक इनपुट आवृत्ति संख्या के लिए $i \in [t]$ । प्रत्येक इनपुट ग्राफ के लिए $G_i$ , हम सूत्र में कुछ खंड जोड़ते हैं। प्रत्येक किनारे के लिए $\{v_{i,x}, v_{i,y}\}$ ग्राफ के $G_i$ , क्लॉज जोड़ें $(v_{i,x} \vee v_{i,y} \vee \neg u_i)$ सूत्र, जो सांकेतिक शब्दों में बदलना होगा "या तो इस किनारे के समापन बिंदुओं में से एक सही या उदाहरण के लिए सेट है $i$ सक्रिय नहीं है "। प्रारंभिक असाइनमेंट में, सभी शीर्ष-चर को गलत और सभी चयनकर्ता चर पर सेट किया गया है $u_i$ झूठे को सेट किया जाता है, ताकि ये खंड सभी संतुष्ट हों। रचना में OR- व्यवहार का निर्माण करने के लिए हम यह सुनिश्चित करने के लिए सूत्र में वृद्धि करेंगे कि एक संतोषजनक असाइनमेंट कम से कम एक चयनकर्ता को सही पर सेट करता है, और उसके बाद चयनित ग्राफ़ का एक शीर्ष कवर भी बनाना होगा।

यह सुनिश्चित करने के लिए कि इनपुट्स की संख्या की तुलना में फ्लिप दूरी को छोटा रखते हुए हम यह चयन कर सकते हैं $t$ , हम एक पूर्ण बाइनरी ट्री की संरचना का उपयोग करते हैं $t$ पत्तियां, जिनकी ऊंचाई है $\log t$ । से पत्तियों की संख्या $1$ सेवा $t$ और सहयोगी $i$ चर के साथ-पत्ती $u_i$ यदि इनपुट पर नियंत्रण है $i$ सक्रिय है या नहीं। बाइनरी ट्री के प्रत्येक आंतरिक नोड के लिए एक नया चर बनाएं। प्रत्येक आंतरिक नोड के लिए, इसके संगत चर को होने दें $x$ और इसके दो बच्चों के चर होंगे $y$ तथा $z$ । क्लॉज जोड़ें $(\neg x \vee y \vee z)$ वह सूत्र जो निहितार्थ को पकड़ता है $(x \rightarrow (y \vee z))$ , जो लागू कर रहा है $x$ केवल तभी सत्य हो सकता है जब उसका कोई बच्चा सच्चा हो। सूत्र को पूरा करने के लिए, एक एकल खंड जोड़ें, जिसमें कहा गया है कि द्विआधारी वृक्ष के मूल नोड का चर सही होना चाहिए। प्रारंभिक सत्य असाइनमेंट में, आंतरिक नोड्स के लिए सभी वेरिएबल्स का मान गलत पर सेट किया गया है, जो कि सिंगलटन क्लॉज को छोड़कर सभी वेरिएबल के सभी क्लॉज को संतुष्ट करता है।

यह सूत्र और सत्य असाइनमेंट का वर्णन पूरा करता है। पैरामीटर सेट करें $k'$ FLIP DISTANCE समस्या के बराबर होना $(k + \log t + 1)$ , जो उपयुक्त रूप से एक क्रॉस-रचना के लिए बाध्य है। यह दिखाना बाकी है कि हम फ्लिप कर सकते हैं $k'$ कुछ इनपुट ग्राफ के सूत्र को सही बनाने के लिए चर $G_i$ आकार का एक शीर्ष कवर है $k$ ।

उल्टी दिशा में, मान लीजिए कि $G_i$ का आकार है- $k$ शीर्ष आवरण। ठीक $k$ के अनुरूप चर $k$ उन्हें flipping द्वारा सच में कवर में कोने। चयनकर्ता चर सेट करें $u_i$ कि इनपुट सांकेतिक शब्दों में बदलना करने के लिए सच है $i$ सक्रिय है, और के चर फ्लिप $\log t$ पत्ती के मार्ग पर आंतरिक बाइनरी ट्री नोड्स $i$ सत्य की जड़ तक। यह सत्यापित करना आसान है कि यह एक संतोषजनक असाइनमेंट है: बाइनरी ट्री में निहितार्थ सभी संतुष्ट हैं, रूट नोड का मूल्य सही है, जो कि किनारों की जांच करते हैं $G_{i'}$ के लिये $i' \neq i$ संतुष्ट रहें क्योंकि $u_{i'}$ झूठा बना रहता है, जबकि ग्राफ के लिए खंड $G_i$ संतुष्ट हैं क्योंकि हर किनारे के लिए हम कम से कम एक समापन बिंदु को सच करते हैं।

आगे की दिशा के लिए, मान लें कि सूत्र को सबसे अधिक फ़्लिप करके संतुष्ट किया जा सकता है $k + \log t + 1$ चर। फिर हमें रूट नोड के वेरिएबल को सही पर फ्लिप करना चाहिए। बाइनरी ट्री में निहितार्थ यह कहते हैं कि एक पत्ते का कम से कम एक चयनकर्ता चर सच है, कहते हैं $u_i$ । बाइनरी ट्री में एन्कोड किए गए निहितार्थों को संतुष्ट करने के लिए, रास्ते के सभी आंतरिक नोड्स $u_i$ मूल के लिए निर्धारित किया गया था, के लिए लेखांकन $1 + \log t$ flips। जबसे $u_i$ यह सच है, ग्राफ़ के लिए किए गए खंड $G_i$ शाब्दिक पर संतुष्ट नहीं हैं $\neg u_i$ , इसलिए वे संतुष्ट हैं क्योंकि प्रत्येक किनारे के अंत बिंदुओं में से एक है $G_i$ सच पर सेट है। कम से कम $1 + \log t$ बाइनरी ट्री के चर सबसे अधिक फ़्लिप किए गए थे $k$ इस समाधान में सत्य के लिए वर्टेक्स-चर को फ़्लिप किया जाता है। यह आकार के एक शीर्ष आवरण को कूटबद्ध करता है $k$ में $G_i$ और साबित करता है कि इनपुट में से एक एक यस-उदाहरण है। इससे प्रमाण पूरा हो जाता है।

— बार्ट जानसन
स्रोत

यह कागज इस तरह के संपीड़न से मजबूत परिणाम देता है।

धन्यवाद!!! (मैंने तुरंत संदर्भ ;-) से "एट अल" हटा दिया। अच्छा सबूत (IMO आपको इसे एक पेपर में प्रकाशित करना चाहिए)।

— मार्जियो डी बियासी