एनपी-पूर्ण समस्याओं में चरण संक्रमण कितना आम है?

Question

यह सर्वविदित है कि कई एनपी-पूर्ण समस्याएं चरण संक्रमण का प्रदर्शन करती हैं । मैं एक एल्गोरिथ्म के सापेक्ष इनपुट की कठोरता के बजाय, भाषा में शामिल होने के संबंध में चरण संक्रमण में यहां दिलचस्पी रखता हूं।

अवधारणा को असंदिग्ध बनाने के लिए, हमें औपचारिक रूप से इसे निम्न प्रकार से परिभाषित करना चाहिए। एक भाषा चरण संक्रमण को दिखाती है (जो सम्मान के संबंध में है), यदि$L$

1. एक ऑर्डर पैरामीटर , जो कि एक बहुपद समय, उदाहरण के वास्तविक मूल्यवान कार्य है।$r(x)$

2. एक दहलीज । यह या तो एक वास्तविक स्थिरांक है, या यह संभवतः पर निर्भर हो सकता है , वह है, ।$t$$n=|x|$$t=t(n)$

3. साथ लगभग हर के लिए , हमारे पास । ( लगभग हर साधन यहाँ है: सभी लेकिन गायब कई, अर्थात, अनुपात 1 के , )।$x$$r(x)<t$$x\in L$$n\rightarrow\infty$

4. साथ लगभग हर के लिए , हमारे पास ।$x$$r(x)>t$$x\notin L$

5. लगभग हर , यह उस । (अर्थात्, संक्रमणकालीन क्षेत्र "संकीर्ण" है)$x$$r(x)\neq t$

कई प्राकृतिक एनपी-पूर्ण समस्याएं इस अर्थ में चरण संक्रमण का प्रदर्शन करती हैं। उदाहरण सैट के कई प्रकार हैं, सभी मोनोटोन ग्राफ गुण, विभिन्न बाधा संतुष्टि समस्याएं, और शायद कई अन्य।

प्रश्न: कुछ "अच्छा" अपवाद कौन से हैं? वहाँ एक प्राकृतिक एन पी-सम्पूर्ण समस्या है, जो (शायद) करता है नहीं ऊपर अर्थ में एक चरण संक्रमण है?

Comments

आप शायद हालत 5 को सुधारना चाहते हैं, क्योंकि यह आसानी से किसी भी लिए बराबर नहीं है यह सुनिश्चित करने के लिए एक छोटा सा शोर जोड़कर इसे दरकिनार किया जा सकता है । को एक फ़ंक्शन और होने के लिए प्रतिबंधित करना (दोनों जिनमें से wlog किया जा सकता है), एक counterexample को NP पूर्ण समस्या होना चाहिए जिसे कोई भी एल्गोरिथ्म (एक कंप्यूटिंग ) मज़बूती से अनुमान नहीं लगा सकता है, अर्थात कठिन है समान वितरण से चुने गए उदाहरणों के साथ भी। मेरा अनुमान है कि आप लिए अभिप्रेत है कि उसके पास इतनी अधिक अभिव्यंजक शक्ति नहीं है। $t$$r(x)$$x$$r$$\pm 1$$t = 0$$r$$r$

— योनातन एन

इसलिए, यदि आप एक चरण संक्रमण को परिभाषित करते हैं, तो ऊपर के रूप में कठिन उदाहरण हैं, उच्च संभावना के साथ - एनपी पूरी समस्याओं के मामले में समस्या का अध्ययन करना है शायद समस्या की कुछ संपत्ति (प्रमाण) जैसे कि कठिन उदाहरण सबसे अधिक हैं। इसके विपरीत, यदि कोई प्रमाण था, तो उच्च आवृत्ति के साथ आसान उदाहरण हैं। उदाहरण के लिए एक यादृच्छिक ग्राफ चरण संक्रमण के पास एक किनारे घनत्व हो सकता है जो समस्याओं के समाधान में आसानी को प्रभावित कर सकता है।

— user3483902

Answer 1

इस क्षेत्र के विशेषज्ञ शोधकर्ता मूल रूप से कहते हैं कि चरण संक्रमण एनपी की संपूर्ण समस्याओं की एक सार्वभौमिक विशेषता है, हालांकि इसे अभी तक औपचारिक रूप से तैयार नहीं किया गया है या इसे सख्ती से प्रमाणित नहीं किया गया है और यह अभी तक व्यापक क्षेत्र में व्यापक रूप से माना / प्रसारित नहीं किया गया है (यह एक अनुभवजन्य-उन्मुख से अधिक निकलता है) अध्ययन की शाखा)। इसका लगभग एक खुला अनुमान है। इसके पुख्ता सबूत हैं। गैर-चरण-संक्रमण एनपी पूर्ण समस्याओं के लिए कोई प्रशंसनीय उम्मीदवार नहीं हैं। यहाँ दो रेफ जो इस पोव का समर्थन करते हैं:

• एनपी-पूर्ण समस्याओं में चरण संक्रमण: संभावना, दहनशील विज्ञान और कंप्यूटर विज्ञान / मूर के लिए एक चुनौती

• चरण संक्रमण व्यवहार / वाल्श (पीपीटी)

यहाँ मुखरता की सच्चाई का एक मोटा रेखाचित्र है। यह पूरी तरह से एनपी में निहित पी के साथ करना है। एक NP पूर्ण समस्या / भाषा में ऐसे उदाहरण होने चाहिए जो P समय में हल करने योग्य होते हैं और अन्य जो कि P। NP में घातीय (या कम से कम सुपरपोलीनोमियल-) समय में हल करने योग्य होते हैं। लेकिन हमेशा "समूह" के लिए P "गैर-P" उदाहरणों से कुछ तरीका होना चाहिए। इसलिए पी और गैर-पी उदाहरणों के बीच हमेशा कुछ "संक्रमण मानदंड" होने चाहिए। संक्षेप में, शायद यह घटना पी maybe एनपी के साथ आंतरिक रूप से युग्मित है!

एक और मोटा तर्क: सभी एनपी पूरी समस्याओं में कटौती के माध्यम से विनिमेय हैं। यदि एक चरण में संक्रमण एक ही में पाया जाता है, तो यह उन सभी में पाया जाना चाहिए।

इसके लिए अधिक परिस्थितिजन्य साक्ष्य, हाल ही में (~ 2010) यह दिखाया गया था कि चरणीय संक्रमण यादृच्छिक ग्राफ पर क्लिक-डिटेक्शन के लिए मोनोटोन सर्किट पर कम सीमा के लिए दिखाता है।

• क्लोनिंग / रॉसमैन का पता लगाने की औसत स्थिति जटिलता

पूर्ण प्रकटीकरण: मोशे वर्डी ने विशेष रूप से सैट में चरण संक्रमणों का अध्ययन किया है और इस बात / वीडियो में अधिक संदेहपूर्ण दृश्य है।

• चरण संक्रमण और कम्प्यूटेशनल जटिलता

Comments

मोशे वर्डी बात पर अच्छा लिंक, धन्यवाद! बस बिंदु घर लाने के लिए, एनपी-पूर्ण पहनावा के चरण संक्रमण से उदाहरण जटिलता में कठिनाई नहीं होती है । एम। वर्डी ने इसका उल्लेख नहीं किया है, लेकिन सर्वेक्षण प्रसार 3SAT के लिए महत्वपूर्ण थ्रेशोल्ड (सकारात्मक अंत पर) के पास लाखों चर / खंडों के साथ उदाहरणों को हल करता है और थोड़ी देर के लिए जाना जाता है, एर्दोस पर एचएएम चक्र के लिए लगभग निश्चित बहुपद समय रेखाएं हैं। -रेनी यादृच्छिक रेखांकन।

— user834

Answer 2

ग्राफ़, जैसे ग्राफ़ लें , जो सभी ग्राफ़्स के संग्रह से समान रूप से यादृच्छिक रूप से चुने गए ग्राफ़ होते हैं, जिनमें n नोड होते हैं, और m किनारों होते हैं। इस प्रकार के ग्राफ़ में किनारों की उम्मीद है- । रैंडम ग्राफ ग्राफ के लिए चरण संक्रमण हैमिल्टनियन चक्रों को खोजने के लिए कठिन नहीं है। पेपर http://arxiv.org/pdf/1105.5443.pdf है । इस पत्र में चरण संक्रमण को ऊपर के रूप में परिभाषित नहीं किया गया है, लेकिन वे बताते हैं कि हैमिल्टन के साथ हैमिल्टनियन चक्र की समस्या के कठिन उदाहरणों और गैर हैमिल्टन के बीच संबंध है।$G_{n,m}$$n$$m$$\binom{n}{2}$$m$$G_{n,m}$

Comments

जुड़ा हुआ पेपर ठीक इसके विपरीत दिखा रहा है, कि एर्डोस-रेनी के यादृच्छिक ग्राफ़ में हैमिल्टनियन चक्रों का चरण संक्रमण एक चरण संक्रमण (हैमिल्टन चक्र की संभावना में दिखाई देता है) दिखाता है, लेकिन अनिवार्य कठिनाई में कोई महत्वपूर्ण पिक नहीं दिखाता है। यह सर्वविदित है कि Erdos-Renyi यादृच्छिक रेखांकन के लिए लगभग सभी संभावित संभाव्य बहुपद समय एल्गोरिदम हैं, चरण संक्रमण में हर जगह, महत्वपूर्ण सीमा पर भी। मुझे क्षमा करें, लेकिन मुझे इस उत्तर के लिए एक उत्तर देना होगा।

— बजे user834

Answer 3

जब तक आप खिंचाव नहीं करते, तब तक नियमित रूप से रेखांकन के रंग को असतत संक्रमणों की एक श्रृंखला होती है, विशेष रूप से चरणबद्ध नहीं।

यहाँ रंग परिणामों की एक तालिका है, कि मैं SAT17 को प्रस्तुत करूंगा। ध्यान दें कि 6 नियमित रेखांकन के 3 रंग कुछ उदाहरणों को छोड़कर असंभव है। इसी तरह दसवें डिग्री ग्राफ के 4 रंग ... C3D5N180 ग्राफ हल्के मुश्किल हैं। C4D9 गोल्डन पॉइंट केवल C4D9N180 पर अस्थायी रूप से है; C4D9 रेखांकन आकार का सबसे कठिन 4cnfs है जिसका मैंने सामना किया है, इसलिए C4D9 एक "हार्ड स्पॉट" के रूप में योग्य है। C5D16 गोल्डन पॉइंट को अस्तित्व में बताया गया है, लेकिन यह 5 स्पॉट से 6 कलरिंग तक हार्ड स्पॉट क्षेत्र में होगा।

          Universal Constants of Regular Graph Coloring

रंग सूत्र में lgC * N वैरिएबल की कुल प्रति lgC चर हैं; किनारों में C * M क्लॉज की कुल संख्या के लिए C रंग के खंड होते हैं। अतिरिक्त रंगों को बाहर निकालने के लिए प्रति शीर्ष पर कुछ अतिरिक्त खंड हैं। गोल्डन पॉइंट्स सबसे छोटे N होते हैं जैसे: N कोने के साथ डिग्री डी रेखांकन पर C रंगक्षमता लगभग हमेशा संतोषजनक होती है, प्रायिकता 1 के करीब। उच्च संभावना के लिए, N यादृच्छिक उदाहरण संतोषजनक थे। वेरी हाई के लिए, एन * एन संतोषजनक थे। सुपर हाई के लिए, एन * एन * एन यादृच्छिक उदाहरण संतोषजनक थे।

उच्च संभावना (1 - 1 / एन) सुनहरे रंग के बिंदु हैं:

C3D5N180 C4D6N18 C4D7N35 C4D8N60 C4D9N180? C5D10N25 C5D11N42 C5D12N72

बहुत उच्च संभावना (1 - 1 / (एन * एन)) सुनहरे रंग बिंदु हैं:

C3D5N230? C4D6N18 C4D7N36 C4D8N68 C4D9N ??? C5D10N32 C5D11N50 C5D12N78

सुपर हाई प्रोबेबिलिटी (1 - 1 / (एन * एन * एन)) सुनहरे रंग के बिंदु हैं:

C3D5N ??? C4D6N22 C4D7N58 C4D8N72? C4D9N ??? C5D10N38 C5D11N58 C5D12N ??

अध्ययन में सभी यादृच्छिक उदाहरण संतोषजनक थे। रैखिक संभाव्यता बिंदुओं ने सैकड़ों संतोषजनक सूत्रों की जाँच की। द्विघात संभाव्यता बिंदुओं ने हज़ारों संतोषजनक योगों की जाँच की। क्यूबिक प्रायिकता बिंदुओं ने सैकड़ों हज़ारों संतोषजनक सूत्रों की जाँच की। C4D9 और C5D13 अंक कठिन हैं। C5D16 बिंदु को अस्तित्व में बताया गया है। एक पांच रंग सोलहवीं डिग्री यादृच्छिक उदाहरण अनुमान साबित होगा।