#P में दो कार्यों द्वारा विभाजन

Question

चलो एक मान पूर्णांक समारोह ऐसा है कि हो सकता है में है । इसे का पालन करता है कि एफ में है \ #P ? क्या यह मानने के कारण हैं कि हमेशा पकड़ रखने की संभावना नहीं है? किसी भी संदर्भ के बारे में मुझे पता होना चाहिए?2 एफ # पी $F$$2F$$\#P$$F$$\#P$

कुछ हद तक आश्चर्यजनक रूप से, यह स्थिति एक बहुत बड़े स्थिरांक के साथ आई थी, एक फ़ंक्शन $F$ लिए, जिसमें $F \in? \#P$ एक पुरानी खुली समस्या है।

नोट: मुझे कागज एम। ओगिवारा, एल। हेमाचंद्र के बारे में पता है, व्यवहार्य क्लोजर गुणों के लिए एक जटिलता सिद्धांत जहां एक संबंधित डिवीजन-बाय -2 समस्या का अध्ययन किया गया है (देखें थम 3.13)। हालांकि, उनकी समस्या अलग है, क्योंकि वे फर्श ऑपरेटर के माध्यम से सभी कार्यों के लिए विभाजन को परिभाषित करते हैं । इससे उन्हें समता की समस्याओं के लिए कुछ त्वरित कटौती करने की अनुमति मिली।

Comments

@Kaveh: यदि $f(x)$ एक है $\#P$ समारोह, और $g(y)$ फिर एक पाली समय समारोह, $f(g(y))$ में है $\#P$ , लेकिन $g(f(x))$ जरूरी नहीं (शायद)। उदाहरण के लिए, ऐसा कोई कारण नहीं प्रतीत होता है कि सभी नॉनपेगेटिव GapP फ़ंक्शंस \ #P में होने चाहिए $\#P$, लेकिन वे इस तरह से \ #P के लिए reducible हैं $\#P$।

— एमिल जेकाबेक

@ जोशुआग्रोचो: हाँ, यह "स्वीकार है अगर और केवल अगर आपने अनुमान लगाया कि दोनों लेक्सोग्राफिक में 2F गवाह हैं"।

@JoshuaGrochow यदि आप NO मंजिल फ़ंक्शन के साथ विभाजन करते हैं, तो ${\bf PP}$ निम्न जटिलता वर्ग तक गिर जाता है, जिसे मैंने अभी परिभाषित किया है, TorC पुस्तक पर Theorem 5.9 के माध्यम से। ${\bf UPPX} = \{ L |$एक बहुपद-समय predicate P और एक बहुपद q है, जो कि सभी $x$ , x ∉ L ⇒ | | { य | | y | ≤ q ( | x | ) ∧ P ( x , y ) } | | < 1 2 एक्स ∈ एल ⇒ | | { य | | y | ≤ q ( | x | ) ∧ P ( x , y ) } $\bf 1.$ $x \not \in L \Rightarrow ||\{y|$ $|y|\leq q(|x|) \wedge P(x,y)\}|| < 1$ $\bf 2.$ $x \in L \Rightarrow ||\{y|$ $|y|\leq q(|x|) \wedge P(x,y)\}|| \geq 1$$\}$ तब किसी को यह दिखाने की जरूरत है कि ${\bf UPPX}$ जटिलता पदानुक्रम में कहां है। यह उम्मीद की जा रही है कि ${\bf UPPX} = {\bf PP}$

— पे

यह बताना कितना मुश्किल है कि क्या #PP में कोई फंक्शन हमेशा होता है? मुझे उम्मीद है कि यह अविश्वसनीय है।

— पीटर शोर

@PeterShor: यह निश्चित रूप से अविश्वसनीय है। एक मशीन ले सकता है जो स्वीकार करता है अगर और केवल अगर गिनती गवाह सभी 1s है और इनपुट और एम के समान लंबाई बिल्कुल [उस लंबाई] चरणों में है।

Answer 1

मैं अपने अंतर्ज्ञान देने की कोशिश करता हूं कि मुझे क्यों लगता है कि यह पकड़ में आने की संभावना नहीं है। में अपनी पसंदीदा समस्या को लें , और इसे में एक समस्या में परिवर्तित करें , उदाहरण के लिए, हमारे फ़ंक्शन एक निश्चित निश्चित बढ़त वाले इनपुट 3-नियमित ग्राफ में हैमिल्टनियन चक्रों की संख्या हो सकती है। समता के तर्क से हम जानते हैं कि हमेशा सम है, इसलिए आप को परिभाषित कर सकते हैं और मुझे कोई कारण नहीं दिखाई देता है कि in ।$PPA$$\sharp P$$f$$f$$F:=f/2$$F$$\sharp P$

Comments

ठीक है। अब मैं उलझन में हूँ। नहीं करता तीन Hamiltonian चक्र है? $K_4$

— पीटर शोर

ठीक है ... मैंने जाँच की है। प्रमेय यह है कि प्रत्येक किनारा 3-नियमित ग्राफ में (अप्रत्यक्ष) हैमिल्टनियन चक्रों की एक समान संख्या में दिखाई देता है, ऐसा नहीं है कि कुल संख्या में हैमिल्टन चक्र भी हैं। है तो सही गिनती समस्या: एक तीन नियमित ग्राफ और बढ़त को देखते हुए , चलो में Hamiltonian चक्र की संख्या हो कि के माध्यम से जाने । है #P में? $e$$f$$G$$e$$F/2$

— पीटर शोर

वास्तव में, अजीब बात है कि किसी ने पहले ध्यान नहीं दिया ... मैंने इसे जोड़ा है।

— डोमटॉर्प

हालांकि आम तौर पर मैं आपके अंतर्ज्ञान से सहमत हूं, इस मामले में, मुझे लगता है कि वास्तव में #P में हो सकता है: Let e ​​= (v_1, v_2) G. Let u में किनारे हो, v_1 ​​के पड़ोसी हो जो कि aren ' टी वी २। निम्न एनपी मशीन में f / 2 स्वीकार करने वाले पथ हैं: एक हैमिल्टन चक्र का अनुमान लगाएं जिसमें किनारों (u, v_1) और (v_1, v_2) की जोड़ी शामिल है। (मुद्दा यह है कि समता का प्रमाण भी ऐसे हैम चक्रों और उन लोगों के बीच एक आक्षेप बनाता है, जिसमें (w, v_1) और (v_1, v_2) शामिल हैं।) इसलिए अंतर्ज्ञान के लिए काम करने के लिए आपको पीपीए में कुछ चाहिए जो कि जैसे जाता है। एक गिनती तर्क, या कि कुछ आसान $f/2$

— जीवनी

तथ्य सत्य नहीं है। उदाहरण के लिए, यह जाँचना आसान है कि यह 8 कोने पर सभी जुड़े हुए 3-नियमित रेखांकन के लिए विफल रहता है (देखें en.wikipedia.org/wiki/Table_of_simple_cubic_graphs#8_nodes सूची के लिए), क्यूब को छोड़कर (जो कि किनारे से सकर्मक है) ।

— एमिल जेकाबेक मोनिका