सममित बहुपद का मूल्यांकन

Question

चलो एक हो सममित बहुपद , यानी, एक बहुपद ऐसा है कि च ( एक्स ) = च ( σ ( x ) ) सभी के लिए एक्स ∈ कश्मीर n और सभी क्रमपरिवर्तन σ ∈ एस एन । सुविधा के लिए, हम मान सकते हैं कि K एक परिमित क्षेत्र है, गणना के मॉडल के साथ मुद्दों को संबोधित करने से बचने के लिए।$f:\mathbb{K}^n \to \mathbb{K}$$f(x)=f(\sigma(x))$$x \in \mathbb{K}^n$$\sigma \in S_n$$\mathbb{K}$

चलो की गणना की जटिलता को निरूपित च , यानी, एक एल्गोरिथ्म की जटिलता है कि, यह देखते हुए एक्स , रिटर्न च ( एक्स ) । हम किसी भी तरह की विशेषताएँ कर सकते हैं सी ( च ) , के गुणों के आधार पर च ? उदाहरण के लिए, क्या हम गारंटी देते हैं कि सभी सममित बहुपद f के लिए C ( f ) बहुपद ( n ) है ?$C(f)$$f$$x$$f(x)$$C(f)$$f$$C(f)$$n$$f$

विशेष मामले के रूप में, ऐसा लगता है कि (ए) हम समय पाली ( एन ) में पावर योग बहुपद की गणना कर सकते हैं , और (बी) हम न्यूटन की पहचान का उपयोग करके समय पाली ( एन ) में प्राथमिक सममित बहुपद की गणना कर सकते हैं । एक परिणाम के रूप में, यदि च एकपदीयों की एक भारित योग जहां कोई चर एक सत्ता में की तुलना में अधिक उठाया है है 1 (यानी, अगर च multilinear है), तो च बहुपद समय में की जा सकती (क्योंकि यह एक भारित राशि के रूप में व्यक्त किया जा सकता प्राथमिक सममित बहुपद)। उदाहरण के लिए, जब K = G F ($\text{poly}(n)$$\text{poly}(n)$$f$$f$$f$ , फिर हर सममित बहुपद को बहुपद समय में गणना की जा सकती है। क्या इससे ज्यादा कोई कुछ कह सकता है?$\mathbb{K}=GF(2)$

Comments

यदि आप पर गणना करने में रुचि रखते हैं तो आप गणना के मॉडल को स्पष्ट करना चाह सकते हैं। $\mathbb{R}$

— केव

@ केव, आह, उत्कृष्ट बिंदु। मुझे लगता है कि मैं किसी एक क्षेत्र पर सुपर-केंद्रित नहीं हूं, इसलिए मुझे लगता है कि मैं उस मुद्दे को दूर करने के लिए परिमित क्षेत्रों के बारे में पूछूंगा। मुझे इस बारे में अधिक दिलचस्पी है कि क्या एक सममित बहुपद का मूल्यांकन करने की जटिलता का निर्धारण करने के लिए परिणाम या व्यवस्थित तकनीकें हैं । $f$

— डीडब्ल्यू

एफ कैसे निर्दिष्ट किया जाता है? यह मूल्यांकन की जटिलता के लिए महत्वपूर्ण है।

— थॉमस

@ थोमस, यह बात नहीं होनी चाहिए। किसी एक तय लिए , सी ( च ) अच्छी तरह से परिभाषित (यह गणना करने के लिए सबसे अच्छा एल्गोरिथ्म की जटिलता है च )। यह अच्छी तरह से परिभाषित है और यह निर्भर नहीं करता है कि f "निर्दिष्ट" कैसे है। (ध्यान दें कि च । कलन विधि के लिए एक इनपुट, इसलिए इसकी प्रतिनिधित्व से परिभाषित करने की जरूरत नहीं है नहीं है) या, दूसरे शब्दों में कहें रहे हैं: अगर मैं एक सममित कार्य हो च मैं गणना करना चाहते हैं, वहाँ किसी भी तकनीक या परिणाम हैं मदद करने के लिए मुझे गणना के लिए एक कुशल एल्गोरिथ्म लगता है च या निर्धारित करने के लिए कैसे कुशलतापूर्वक मेरी च गणना की जा सकती? $f$$C(f)$$f$$f$$f$$f$$f$$f$

— DW

@ थोमस, हाँ: यदि परिणाम या तकनीकें लागू होती हैं, जब डिग्री बहुत बड़ी नहीं होती है, तो यह उपयोगी लगता है। (उदाहरण के लिए, यदि डिग्री प्रत्येक चर के लिए अलग-अलग माना जाता है, तो कुछ सबसे छोटे स्थिर , क्या हम कुछ कह सकते हैं? मेरे प्रश्न का अंतिम पैराग्राफ केस c = 1 को संभालता है ; क्या हम और अधिक कह सकते हैं? या, वैकल्पिक रूप से, यदि f की कुल डिग्री बहुत बड़ी नहीं है, तो क्या हम कुछ कह सकते हैं?)$c$$c=1$$f$

— DW

Answer 1

सवाल काफी खुला हुआ लगता है। या शायद आप परिमित क्षेत्रों पर किसी भी संभव सममित बहुपद के समय-जटिलता का सटीक लक्षण वर्णन करना चाहते हैं?

किसी भी मामले में, कम से कम मेरी जानकारी में, सममितीय पॉलिमोमीक कंप्यूटिंग के समय-जटिलता के बारे में कई प्रसिद्ध परिणाम हैं:

1. यदि एक परिमित क्षेत्र पर एक प्राथमिक सममित बहुपद है तो इसे बहुपद के आकार की वर्दी T C 0 सर्किट द्वारा गणना की जा सकती है ।$f$$TC^0$

2. यदि एक विशेषता 0 क्षेत्र पर एक प्राथमिक सममित बहुपद है , तो इसे बहुपद-आकार की गहराई तीन समान बीजीय सर्किट (जैसा कि आपने पहले ही न्यूटन बहुपद का उल्लेख किया है; या लाग्रॉग इंटरपोलेशन फॉर्मूला द्वारा) की गणना की जा सकती है। और इसलिए मेरा मानना ​​है कि इसके बाद बहुपद-आकार के समान बूलियन सर्किट का अनुवाद होता है (हालांकि शायद निरंतर गहराई का नहीं) (लेकिन यह उस विशिष्ट क्षेत्र पर निर्भर हो सकता है जिसमें आप काम कर रहे हैं; सादगी के लिए आप पूर्णांकों की अंगूठी पर विचार कर सकते हैं; हालांकि इसके लिए; पूर्णांक I मान लें कि T C 0 किसी भी स्थिति में सममित बहुपद की गणना करने के लिए पर्याप्त है।)$f$$0$$TC^0$

3. यदि एक परिमित क्षेत्र पर एक सममित बहुपद है, तो f (ग्रिगोरिएव और रज्बोरोव (2000) [निम्नलिखित ग्रिगोरिएव और कारपिनस 1998]] के लिए गहराई तीन बीजगणितीय सर्किटों पर एक घातीय निचला भाग है । लेकिन, इसके बाद के संस्करण 1 में वर्णित के रूप में, केवल निरंतर गहन बूलियन सर्किट कम सीमा को यह मेल खाती है (जबकि देखते हैं में छोटे वर्दी बूलियन सर्किट टी सी 0 ; भी जिसका अर्थ है कि बहुआयामी पद बहुपद समय में गणनीय हैं)। $f$$f$$TC^0$

संभवतः सममित बहुपद के समय-जटिलता के बारे में अधिक ज्ञात परिणाम हैं ...