क्या बैकअप समस्या NP- पूर्ण है?

Question

निम्नलिखित निर्णय समस्या एनपी-पूर्ण है:

चलो $G$ एक अप्रत्यक्ष ग्राफ और हो $b \le c$ दो पूर्णांक। क्या प्रत्येक शीर्ष के लिए चयन करना संभव है$G$ बिल्कुल सही $b$ विभिन्न पड़ोसियों जैसे कि कोई भी नोड अधिक नहीं चुना जाता है $c$ बार।

मुकदमा $b = 1$ किसी भी के लिए हल किया जा सकता है $c$ बहुपद मिलान का उपयोग करते हुए बहुपद समय में।

प्रेरणा: प्रत्येक नोड को जगह देना चाहता है $b$ विभिन्न पड़ोसियों पर बैकअप, लेकिन प्रत्येक नोड में केवल स्टोर करने की क्षमता है $c$ बैकअप।

Answer 1

मुझे लगता है कि निम्नलिखित अधिकतम प्रवाह पर आधारित एक बहुपद-समय एल्गोरिथ्म है। चलो$G(V,E), b, c$ इनपुट हो।

• एक निर्देशित द्विदलीय ग्राफ का निर्माण $H(L,R,F)$ साथ में $L$ तथा $R$ बाएँ और दाएँ विभाजन होने और $F$से निर्देशित किनारों की जा रही है $L$ सेवा $R$।
• चलो $|V| = n$। वहां$n$ में कोने $L$ तथा $n$ में कोने $R$।
• प्रत्येक शीर्ष $v \in V$ में एक "कॉपी" है $L$ (जैसे कि $v_l$) और में एक प्रति $R$ (जैसे कि $v_r$)।
• अगर $(u,v) \in E$ से एक निर्देशित किनारा जोड़ें $u_l$ सेवा $v_r$। ऐसे प्रत्येक किनारे की क्षमता 1 है।
• "स्रोत" नोड जोड़ें $s$ और से निर्देशित किनारों को जोड़ें $s$ में प्रत्येक शीर्ष पर $L$। ऐसे प्रत्येक किनारे की क्षमता है$b$।
• एक "सिंक" नोड जोड़ें $t$ और प्रत्येक शीर्ष से निर्देशित किनारों को जोड़ें $R$ सेवा $t$। ऐसे प्रत्येक किनारे की क्षमता है$c$।
• से अधिकतम प्रवाह ज्ञात कीजिए $s$ सेवा $t$।

दिया गया ग्राफ $G$ एक समाधान है अगर और केवल अगर अधिकतम प्रवाह संतृप्त हर किनारे से ऊपर गणना की $s$ सेवा $L$, यानी, हर किनारे से प्रवाह $s$ सेवा $L$ के बराबर है $b$।

Comments

वास्तव में, यह वास्तव में इच्छित समाधान है जब मैं इसे होमवर्क समस्या के रूप में निर्दिष्ट करता हूं।

— जेफε