अनुमान: सभी एफपीटी एनपी-पूर्ण भाषा निश्चित-पैरामीटर-आइसोमॉर्फिक हैं

Question

बर्मन-हार्टमैनिस अनुमान: सभी एनपी-पूर्ण भाषा एक जैसे दिखते हैं, इस अर्थ में कि वे एक-दूसरे से संबंधित हो सकते हैं बहुपद समय समरूपता [1]।

मुझे "बहुपद समय" के एक अधिक बारीक-बारीक संस्करण में दिलचस्पी है, अर्थात् यदि हम पैरामीटर किए गए कटौती का उपयोग करते हैं।

एक पैरामिट्रीकृत समस्या का एक सबसेट है , जहां एक परिमित वर्णमाला और है गैर नकारात्मक संख्या का सेट है। एक पैरामीटर समस्या का एक उदाहरण इसलिए एक जोड़ी , जहां पैरामीटर है। Σ जेड≥0(मैं,कश्मीर)$Σ^∗ × Z \geq 0$$Σ$$Z\geq 0$$(I, k)$$k$

एक पैरामिट्रीकृत समस्या एक पैरामिट्रीकृत समस्या के लिए तय पैरामीटर है कम करने योग्य अगर वहाँ मौजूद कार्यों , : , और एक बहुपद पी (·) इस तरह के that_1 , (I (I, k), g (k)) के किसी भी उदाहरण (I, k) के लिए समय ( _2 संगणनीय का एक उदाहरण है f (k) · p (| I |) और (I, k) And I_1 अगर और केवल अगर ( ∈ (I, k), g (k)) π if_2 । यदि वे एक-दूसरे के लिए निर्धारित-पैरामीटर reducible हैं, तो दो पैरामीटर वाली समस्याएं निश्चित-पैरामीटर समतुल्य हैं।π 2 चछजेड≥0→जेड≥0 Φ : Σ *×जेड≥0→ Σ * पी(·)(मैं,कश्मीर) π 1 ( Φ (मैं,कश्मीर),जी(कश्मीर)) π 2 च(कश्मीर)·पी( | मैं |$π_1$$π_2$$f$$g$$Z≥0 → Z≥0$$Φ : Σ∗ × Z≥0 → Σ^∗$$p(·)$$(I, k)$$π_1$$(Φ(I, k), g(k))$$π_2$$f(k) · p(|I|)$ ( Φ ( मैं , कश्मीर ) , जी ( कश्मीर ) ) ∈ π$(I, k) ∈ π_1$$(Φ(I, k), g(k)) ∈ π_2$

कुछ एनपी-पूर्ण समस्याएं एफपीटी हैं, उदाहरण के लिए, वर्टेक्स कवर समस्या का निर्णय संस्करण एनपी-पूर्ण है, इसमें $O(1.2738^k + kn)$ एल्गोरिथ्म [2] है। एफपीटी समस्या के बेहतर निश्चित पैरामीटर में कमी को पूरा करना, जो एनपी-कम्प्लीट है, एक बेहतर एल्गोरिथ्म का कारण बन सकता है, उदाहरण के लिए, मल्टीवे कट समस्या के "उपरोक्त गारंटी संस्करण" में कमी करके, समय ओ में एक एल्गोरिथ्म का नेतृत्व कर सकता है। * (4 ^ k)$O^*(4^k)$ AGVC के लिए (ऊपर गारंटी वर्टेक्स कवर) समस्या [3], जो कि मूल $O^*(15^k)$ एल्गोरिथ्म [4] से बेहतर है।

$\textbf{My Conjecture: All FPT NP-complete languages are fixed-parameter-isomorphic.}$

क्या यह अनुमान सही है?

[१] बर्मन, एल।; हार्टमैनिस, जे। (1977), "आइसोमॉर्फिज्म और एनपी और अन्य संपूर्ण सेटों का घनत्व", एसआईएएम जर्नल ऑन कंप्यूटिंग 6 (2): 305–322।

[२] जे। चेन, आईए कंज और जी। ज़ेड, वर्टेक्स कवर के लिए बेहतर ऊपरी सीमा, थोर। कॉमपूत। विज्ञान।, 411 (2010), पीपी। 3736-3756।

[३] एम। साइगन, एम। पिलिप्सीचुक, एम। पिलिप्सीचुक, और जो वोज्त्सजिस्क, मल्टीवे कट आईपीसी २०११ में निचले सीमा के ऊपर परिचालित किया गया।

[४] एम। महाजन और वी। रमन, गारंटीकृत मूल्यों से ऊपर परिमाण: मैक्ससैट और अधिकतमक, जे। एल्गोरिदम, ३१ (१ ९९९), पीपी ३३५-३५४।

Comments

मुझे समझ में नहीं आ रहा है कि "एफपीटी एनपी-पूर्ण भाषा" से आपका क्या मतलब है। FPT होने से भाषा की कोई स्वाभाविक धारणा नहीं है; सवाल यह है कि क्या एक भाषा / पैरामीटर जोड़ी FPT है।

— हक बेनेट

ध्यान दें कि एक निश्चित पैरामीटर की कमी बस एक एफपीटी समस्या को हल कर सकती है, और लक्ष्य समस्या के एक तुच्छ हां / नहीं उदाहरण को आउटपुट कर सकती है।

— सर्ज गैस्पर्स

Answer 1

सर्ज गैस्पर्स ने पहले ही उल्लेख किया है कि आपका अनुमान तुच्छ रूप से सत्य क्यों है।
हालांकि, वास्तव में एक बहुपद-समय निश्चित-पैरामीटर आइसोमोर्फिज्म प्राप्त कर सकता है ,
जो मुझे अब महसूस होता है कि यह बहुत कम तुच्छ नहीं है, क्योंकि यह
सामान्य अर्थों में कमी के साथ गैर-तुच्छ एफपीटी समस्याओं के प्रत्येक आदेशित जोड़ी पर लागू होता है।

चलो एक पूर्णांक के लिए एफपीटी एल्गोरिथ्म के डिग्री की तुलना में अधिक है कि हो सकता है , और जाने और एक हाँ और की क्रमश: कोई उदाहरण हो । निम्नलिखित एक बहुपद-समय निश्चित पैरामीटर कमी होगी जो कि से तक :π 1 वाई एन π 2 π 1 π $c$$\pi_1$
$Y$$N$$\pi_2$
$\pi_1$$\pi_2$

चरणों के लिए पर FPT एल्गोरिथम आज़माएं। यदि वह उत्तर देता है, तो उस उत्तर से संकेत के अनुसार या को आउटपुट करें । अन्यथा, उत्पादन से एक साधारण बहुपद समय में कमी को लागू करने का नतीजा को । सुधार और बहुपद क्रम स्पष्ट हैं। चूँकि लिए FPT एल्गोरिथ्म की डिग्री से अधिक है , इसलिए ऐसा होता है कि प्रत्येक निश्चित , केवल बहुत ही इनपुट लंबाई , जिसके लिए FPT एल्गोरिथम का अधिकतम रनटाइम कम नहीं होता है$\pi_1$$n^{\hspace{.02 in}c}$
$Y$$N$
$\pi_1$$\pi_2$


$\:$$c$$\pi_1$$k$$n$$n^{\hspace{.02 in}c}$ । इस प्रकार, प्रत्येक निश्चित , उपरोक्त कमी में केवल बहुत सारे आउटपुट हैं। _ इसलिए यह आपकी निश्चित-पैरामीटर स्थिति को संतुष्ट करता है।$\:$$k$$\:$